Lectura 5. De los contenidos a las premedidas (2)

Continuamos con las ideas esbozadas en la lectura 4. Sea (A_n) una sucesión de partes de un conjunto dado \Omega, decimos que es creciente si

A_n \subset A_{n+1}, n=1,2, \ldots.

Si verifica

A_{n+1} \subset A_n, n=1,2, \ldots,

decimos que es una sucesión decreciente. Las sucesiones crecientes y decrecientes tienen límites (esto es coinciden en ellas sus límites superior e inferior) siendo

\lim_n A_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n

el límite de la sucesión creciente y

\lim_n A_n = \cap_{n=1}^{\infty} A_n

el límite de la sucesión decreciente. Sea \mathcal{A} un anillo y \mu un contenido en dicho anillo. Decimos que \mu es

(i) semicontinua por abajo, si para toda sucesión creciente (A_n) de elementos del anillo tal que \lim_n A_n \in \mathcal{A}, se cumple que \lim_n \mu(A_n) = \mu (\lim_n A_n).

(ii) semicontinua por arriba, si para toda sucesión decreciente (B_n) de elementos del anillo tal que para algún p \in \mathbb{N} es \mu(A_p) < \infty y \lim_n B_n \in \mathcal{A}, se cumple que \lim_n \mu(B_n) = \mu(\lim_n B_n).

(iii) \emptyset-continua, si es semicontinua por arriba para toda sucesión decreciente con límite igual al conjunto vacío.

Estamos en condiciones de demostrar el siguiente resultado.

Sea \mathcal{R} un anillo y sea \mu un contenido sobre dicho anillo. Son equivalentes:
(a) \mu es \sigma-aditiva.
(b) \mu es semicontinua por abajo.
Demostración: (a) implica (b).Sea (A_n) una sucesión creciente de elementos del anillo cuyo límite \lim_n A_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n pertenece al anillo. Si para algún p \in \mathbb{N} es \mu(A_p) = + \infty, entonces el carácter monótono de \mu nos lleva a afirmar que
+\infty =\mu(A_q) \leq \mu(A_n) para todo n \geq q,
+\infty =\mu(A_q) \leq \mu(\cup_{n=1}^{\infty} A_n).
En consecuencia,
+\infty = \lim_n \mu(A_n),
+\infty = \mu(\cup_{n=1}^{\infty} A_n) = \mu (\lim_n A_n).
Es decir, \lim_n \mu(A_n) = \mu (\lim_n A_n).
Si suponemos que \mu(A_n) < + \infty para todo n, entonces podemos considerar la sucesión
B_1 = A_1, B_n = A_n - A_{n-1}, n \geq 2.
Dicha sucesión está formada por elementos del anillo y como (A_n) es creciente resulta que son disjuntos dos a dos y verifican
B_n \subset A_n, para todo n,
\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n.
Sólo resta recordar la propiedad sustractiva (\mu(A-B) = \mu(A)-\mu(B), para B \subset A y \mu(A)<+\infty) y la aditividad numerable para obtener
\mu(\lim_n A_n) = \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n) = \mu(\biguplus_{n=1}^{+\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n) = \mu(B_1)+ \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu(B_n)= \mu(A_1)+ \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu (A_n - A_{n-1}) = \mu(A_1) + \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu(A_n)-\mu(A_{n-1}) =\mu(A_1)-\mu(A_1)+ \lim_n \mu(A_n) = \lim_n \mu(A_n).
En conclusión \mu es semicontinua por abajo.
(b) implica (a). Sean ahora B_1, B_2, \ldots, elementos de \mathcal{R}, disjuntos dos a dos, cuya unión pertenece a dicho anillo. Definimos una nueva sucesión mediante
A_n = \biguplus_{k=1}^{n} B_k.
Es evidente que los elementos de (A_n) pertenecen al anillo y que la sucesión es creciente. Por tanto,
\mu(\lim_n A_n) = \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n) = \mu(\biguplus_{n=1}^{\infty}B_n) = \lim_n \mu(A_n) = \lim_n \mu(\biguplus_{k=1}^{n} B_k) = \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n).
Esto prueba que \mu es una premedida y termina la demostración.

Lectura 4. De los contenidos a las premedidas (1)

Consideremos un semianillo \mathcal{A} y sea \mu una premedida sobre el anillo. Veremos que se trata de un contenido. En efecto, recordemos que todo semianillo contiene al conjunto vacío por lo que si A,B son elementos de \mathcal{A}, disjuntos y con A \cup B \in \mathcal{A}, entonces podemos formar una sucesión B_n de elementos del semianillo mediante:

B_1 = A, B_2=B, B_n = \emptyset, n \geq 3.

Obviamente esta sucesión está formada por conjuntos disjuntos y es

\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = A \cup B.

Aplicando la aditividad numerable resulta

\mu(A \cup B) =\mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n) = \lim_{n} \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) = \mu(A)+\mu(B).

Por tanto, toda premedida es un contenido y por ello será monótona y finitamente subaditiva. Sin embargo, no todo contenido es una premedida y en la lectura anterior vimos una condición suficiente para que esto ocurra. Ahora trataremos de dar condiciones más fuertes y para ello nuestra estructura de soporte serán los anillos.

Sea \mathcal{R} un anillo y sea \mu un contenido (medida finita) sobre dicho anillo. Entonces son equivalentes

(a) \mu es \sigma-aditiva.

(b) \mu es numerablemente subaditiva.

Demostración: (a) implica (b). Supongamos que \mu es \sigma-aditiva y sea (A_n) una sucesión de elementos del anillo \mathcal{R}, definimos una nueva sucesión mediante

B_1 = A_1, B_n = A_n - \cup_{h=1}^{n-1} A_k, n \geq 2.

Como \mathcal{R} es un anillo, la sucesión (B_n) está formada por elementos de dicho anillo que por su construcción son disjuntos dos a dos y verifican

B_n \subset A_n, ,  n=1,2, \ldots,

\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n.

Por tanto, aplicando la monotonía de toda premedida es

\mu (\cup_{n=1}^{\infty} A_n) = \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu (B_n) = \lim_{n} \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) \leq \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu(A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Esto prueba que toda premedida es numerablemente subaditiva.

(b)  implica (a). Sabemos que todo contenido sobre un anillo verifica

\mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n) \geq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Si el contenido fuera numerablemente subaditivo entonces se daría la desigualdad recíproca y concluiríamos la igualdad. Esto termina la demostración.

Los resultados más interesantes precisan de las nociones de sucesión de conjuntos y de límites de dichas sucesiones. Veremos estos detalles en la siguiente lectura.

Lectura 3. Más propiedades

Hemos visto en la lectura anterior que todo contenido sobre al menos un semianillo es monótono y finitamente subaditivo.  También hemos visto que si los contenidos se establecen sobre los anillos las demostraciones son más simples y aparecen algunas propiedades más. En muchos textos se parte de esta idea. Por ejemplo,  si \mathcal{R} es un anillo, se dice que una función \mu: \mathcal{R} \rightarrow [0,+ \infty] es una medida finita si:

(i) \mu (\emptyset) = 0.

(ii) Para todos A,B de \mathcal{R}, disjuntos, es \mu(A \cup B) = \mu(A)+ \mu(B).

Es fácil probar que en este caso medida finita y contenido son equivalentes.  En efecto, si A_1, A_2, \ldots, A_n son elementos de \mathcal{R}, disjuntos dos a dos, entonces si suponemos que para n-1 con n-1 \geq 1 es

\mu (\biguplus_{i=1}^{n-1} A_i) = \sum_{i=1}^{n-1} \mu (A_i),

resultará

\mu (\biguplus_{i=1}^{n} A_i) = \mu ((\biguplus_{i=1}^{n-1} A_i )\biguplus A_n) = \mu (\biguplus_{i=1}^{n-1} A_i) + \mu (A_n) = \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i) + \mu (A_n) = \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i).

Así por inducción concluimos la aditividad finita. Obsérvese que todos los elementos considerados y sus uniones pertenecen al anillo \mathcal{R}. Esto también es esencial en la demostración de la siguiente propiedad.

Sea \mathcal {R} un anillo y sea \mu una medida finita sobre dicho anillo. Para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de disjuntos dos a dos tales que \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{R} tenemos que

\sum_{n=1}^{\infty} \mu (A_n) \leq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n).

Demostración. Sabemos que toda medida aditiva (contenido en este caso) es finitamente aditiva y  monótona por lo que de

\biguplus_{k=1}^{n} A_k \subset \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n, k=1, 2, \ldots, n

se sigue que

\sum_{k=1}^{n} \mu (A_k) \leq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n), k=1,2, \ldots, n.

Llevando al límite la desigualdad concluimos que

\sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) \leq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n).

Esto termina la demostración.

Esto permite afirmar que un contenido \mu sobre un anillo \mathcal{R} es una premedida si para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de elementos del anillo, disjuntos dos a dos, con \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{R}, se tiene que

\sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) \geq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n).

Lectura 2. Primeras propiedades

Sea \mathcal{A} un semianillo y sea \mu: \mathcal{A} \rightarrow [0, + \infty] un contenido. Podemos afirmar entonces que dicho contenido es monótono y además finitamente subaditivo. Para probar esta afirmación precisaremos de algunas de las propiedades más características de los semianillos.

(a) Todo contenido es monótono. En efecto, sean A,B elementos del semianillo \mathcal{A} tales que A \subset B. Podemos escribir

B = A \biguplus (B-A).

Ahora bien, la diferencia B-A no pertenece necesariamente al semianillo \mathcal{A} pero podemos encontrar C_1, C_2, \ldots, C_n, elementos de \mathcal{A}, disjuntos dos a dos, y tales que B-A = \biguplus_{j=1}^{n} C_j. Por tanto,

B = A \biguplus (\biguplus_{j=1}^{n} C_j),

por lo que aplicando la aditividad finita del contenido y su carácter no negativo, tenemos

\mu(B) = \mu(A) + \sum_{j=1}^{n} \mu (C_j) \geq \mu(A).

Esto termina la demostración.

En el caso de que \mathcal{A} sea un anillo, si A,B \in \mathcal{A},  entonces  B-A pertenece al anillo \mathcal{A}. Por ello, si  A \subset B, entonces la igualdad ya vista

B = A \biguplus (B-A),

permite escribir \mu(B) = \mu(A)+ \mu(B-A) y la no negatividad del contenido nos lleva directamente a la monotonía. Además si añadimos la condición \mu(A) < + \infty, concluimos que

\mu(B)- \mu(A) = \mu(B-A),

pues restando \mu(A) a ambos miembros de la última igualdad no tendríamos ninguna indeterminación (recordemos que estamos trabajando en \mathbb{R} ampliado).

Veamos ahora la subaditividad. Su prueba es un poco más complicada.

(b) Todo contenido es finitamente subaditivo.

Consideremos A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n, elementos del semianillo \mathcal{A} y sea A = \cup_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A}. Definimos los conjuntos

B_1 = A_1

B_2 = A_k - \cup_{j=1}^{k-1} A_j, k=2, \ldots, n.

Los elementos B_1, B_2, \ldots, B_n no pertenecen necesariamente al semianillo pero por su construcción son disjuntos dos a dos y verifican B_i \subset A_i, i=1,2, \ldots, n, \biguplus_{i=1}^{n} B_i = \cup_{i=1}^{n} A_i. Pero es más, la construcción de los B_i permite utilizar una propiedad de los subanillos mediante la cual cada B_i es unión disjunta de elementos C_{1}^{i}, \ldots, C_{r_{i}}^{i} pertenecientes al semianillo \mathcal{A}. Esto es,

B_i = \biguplus_{j=1}^{r_{i}} C_{j}^{i}, i=1,2, \ldots, n.

Por otro lado, tenemos que de B_i =\biguplus_{j=1}^{r_{i}} C_{j}^{i}\subset A_i para i=1,2, \ldots, n, concluimos que existen D_{1}^{i}, \ldots, D_{s_{i}}^{i}, pertenecientes a \mathcal{A} y disjuntos dos a dos, tales que

A_i = (\biguplus_{j=1}^{r_{i}} C_{j}^{i}) \biguplus (\biguplus_{j=1}^{s_{i}}D_{j}^{i}).

Esta igualdad es importante pues aplicando la aditividad finita vemos que

\mu(A_i) \geq \sum_{j=1}^{r_{i}} \mu (C_{j}^{i}), i=1,2, \ldots, n.

En efecto, resultará

\mu (\cup_{i=1}^{n} A_i) = \mu (\biguplus_{i=1}^{n} B_i) = \mu (\biguplus_{i=1}^{n} (\biguplus_{j=1}^{r_i} C_{j}^{i})) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{r_i} \mu (C_{j}^{i}) \leq \sum_{i=1}^{n} \mu (A_i).

Esto termina la demostración.

Sii partimos de un anillo, el resultado podría haberse obtenido de una forma más sencilla pues los conjuntos B_i pertenecen al anillo y bastaría aplicar la monotonía. Para acabar esta lectura vemos una última propiedad que se aplica a anillos y donde de nuevo apreciamos sus ventajas como soporte.

(c) Sea \mathcal{R} un anillo y sea \mu un contenido definido en dicho anillo. Para todos A,B \in \mathcal{R} es \mu (A \cup B) + \mu (A \cap B) = \mu (A) + \mu(B).

Sean A,B elementos del anillo \mathcal{R}, podemos escribir

A \cup B = A \biguplus (B-A),

B = (A \cap B) \biguplus (B-A),

por tanto

\mu (A \cup B) = \mu(A)+\mu(B-A),

\mu(B) = \mu(A \cap B) + \mu (B-A).

Si sumamos a la primera igualdad la cantidad \mu (A \cap B) y recordamos el valor de la segunda, vemos que

\mu (A \cup B) + \mu (A \cap B) = \mu(A)+ \mu (B-A) + \mu (A \cap B) = \mu (A)+ \mu (B).

Esto termina la demostración.

Lectura 1. Funciones de conjunto, contenidos, premedidas y medidas

Consideremos un conjunto no vacío \Omega  y sea \mathcal{A} una clase no vacía de partes de \Omega. Toda aplicación

f: \mathcal{A} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}

se denomina función de conjunto. Recordemos que \overline{\mathbb{R}} es la recta real ampliada. En general, nos van a interesar funciones de conjunto no negativas. Esto es, funciones de conjunto cuyos valores sean mayores o iguales que cero. Sea pues,

\mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,+\infty]

una función de conjunto no negativa, diremos que \mu es

  • monótona, si para todos A,B \in \mathcal{A}, tales que A \subset B, es \mu(A) \leq \mu(B),
  • finitamente aditiva (o aditiva), si para cualquier colección A_1, A_2, \ldots, A_n, de elementos de \mathcal{A}, disjuntos dos a dos y tales que \biguplus_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A} es \mu (\biguplus_{i=1}^{n} A_i) = \sum_{i=1}^{n} \mu (A_i),
  • numerablemente aditiva (\sigma-aditiva), si para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de elementos de \mathcal{A}, disjuntos dos a dos y tales que \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A}, se tiene que \mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n),
  • finitamente subaditiva, si para cualquier colección A_1, A_2, \ldots, A_n, de elementos de \mathcal{A} con \cup_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A}, es \mu ( \cup_{i=1}^{n} A_i) \leq \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i),
  • numerablemente subaditiva, si para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de elementos de \mathcal{A}, tales que \cup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A} es \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n )\leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Obsérvese que salvo la condición de monotonía, el resto de condiciones exige el cierre para las uniones (unas veces finitas y otras infinito numerables). Como sabemos, la estructura de anillo de conjuntos es la adecuada para garantizar al menos el cierre para la unión finita. Por ello resultaría natural exigir que la clase a la que se aplica la función de conjunto no negativa sea al menos un anillo. En muchos textos se hace así pero si queremos una mayor generalidad podemos usar la estructura de semianillo.  Además, también es conveniente exigir que la función de conjunto definida sobre el semianillo verifique \mu (\emptyset) = 0 (recordemos que el vacío es elemento de todo semianillo). Así pues, si \mathcal{A} es un semianillo sobre \Omega, diremos que una función de conjunto \mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,+\infty] , es

  • un contenido, si \mu es finitamente aditiva,
  • una premedida, si \mu es numerablemente aditiva,
  • una medida, si \mu es una premedida y \mathcal{A} es una \sigma-álgebra (o un \sigma-anillo),
  • una medida de probabilidad, si \mu es una medida sobre una \sigma-álgebra y \mu(\Omega) = 1.

Álgebra generada por una clase no vacía

Sea X un conjunto no vacío y sea \mathcal{M} una clase no vacía de partes de X. Probaremos el siguiente resultado.

Teorema
Definimos las clases
\mathcal{M}_1 = \{ \emptyset, X \} \cup \mathcal{M} \cup \{ A^c : A \in \mathcal{M} \},

\mathcal{M}_2 = \pi(\mathcal{M}_1)= \{B: B=\cap_{i=1}^{n} A_i : A_i \in \mathcal{M}_1 \},

\mathcal{M}_3 = \{C: C=\cup_{j=1}^{m} B_j : B_j \in \mathcal{M}_2 \}.

Entonces \mathcal{M}_3 es el álgebra generada por \mathcal{M}.

Demostración.

Por construcción es \mathcal{M} \subset \mathcal{M}_1 \subset \mathcal{M}_2 \subset \mathcal{M}_3. Sea \mathcal{A} un álgebra que incluye a \mathcal{M}, entonces incluirá al conjunto vacío, al propio X y a los complementarios de los elementos de \mathcal{M}. Así pues

\mathcal{M}_1 \subset \mathcal{A}.
Pero toda álgebra es un \pi-sistema por lo que incluirá a las intersecciones finitas de sus elementos y así concluiremos que

\mathcal{M}_2 \subset \mathcal{A}.

Finalmente, sabemos que toda álgebra es cerrada para las uniones finitas de sus elementos por lo que

\mathcal{M}_3 \subset \mathcal{A}.

Sólo nos resta probar que \mathcal{M}_3 es un álgebra. Sean C_1 y C_2 elementos de \mathcal{M}_3, entonces

C_1 = \cup_{i=1}^{n} B_i, \quad C_2 = \cup_{j=1}^{m} D_j,

donde B_i y D_j son elementos de \mathcal{M}_2. Tenemos

C_1 \cap C_2 = (\cup_{i=1}^{n} B_i) \cap (\cup_{j=1}^{m} D_j) = \cup \{ B_i \cap D_j, i=1, \ldots, n, j=1, \ldots, m \}.

Pero como B_i \cap D_j \in \mathcal{M}_2, para i=1, \dots, n, j=1, \ldots, m, se sigue que C_1 \cap C_2 es un elemento de \mathcal{M}_3. Por otro lado, sea B = \cap_{i=1}^{r}A_i un elemento de \mathcal{M}_2, entonces

B^c = ( \cap_{i=1}^{r} A_i)^c = \cup_{i=1}^{r}A_i^c.

Esto significa que B^c \in \mathcal{M}_3. Finalmente, si C = \cup_{j=1}^{n} B_j es un elemento de \mathcal{M}_3 tenemos

C^c = (\cup_{j=1}^{n} B_j)^c = \cap_{j=1}^{n} B_j^c

y como cada B_j^c pertenece a \mathcal{M}_3 y esta clase es cerrada para la intersección concluimos que C^c es también un elemento de \mathcal{M}_3. Esto prueba que dicha clase es un anillo y como X \in \mathcal{M}_3, será un álgebra.

Comentarios

En primer lugar, hemos usado el hecho de que el álgebra generada por una clase es la intersección de todas las álgebras que la contienen por lo que si \mathcal{M}_3 es un álgebra incluida en todas las que incluyen a \mathcal{M} es obvio que coincide con la intersección de estas.

Ecuaciones trigonométricas (2)

Continuamos resolviendo algunas ecuaciones trigonométricas.  En este caso nos atrevemos con la siguiente:

\tan 2x -4 \sin x \cos x + 1 = 4 \sin^{2} x.

Emplearemos las fórmulas del ángulo doble y el desarrollo buscará factorizar de alguna manera la expresión. Empezaremos con la tangente del ángulo doble:

\tan 2x = \frac{ \sin 2x}{\cos 2x} = \frac{ 2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x }.

Sustituimos y sacamos factor común

\frac{ 2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x }-4 \sin x \cos x + 1 = 4 \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x) (\frac{ 1}{\cos^{2} x - \sin^{2} x }-2)+ 1 = 4 \sin^{2} x.

Operamos el paréntesis y tenemos en cuenta que $1 = \cos^{2} x + \sin^{2} x$ (identidad pitagórica),

(2 \cos x \sin x) (\frac{ 1-2\cos^{2} x +2  \sin^{2} x }{\cos^{2} x - \sin^{2} x})+ 1 = 4 \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x)(\frac{ \cos^{2} x+ \sin^{2} x-2\cos^{2} x +2  \sin^{2} x }{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) +1 = 4 \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x)(\frac{ + 3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x})+1 = 4 \sin^{2} x.

Pasamos el $1$ al otro miembro y volvemos a utilizar la identidad pitagórica

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) = 4 \sin^{2} x -1,

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) = 4 \sin^{2} x -\cos^{2} x - \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) = 3 \sin^{2} x -\cos^{2} x.

En este punto identificamos un factor común en ambos miembros: 3\sin^{2} x-\cos^{2} x. Por tanto, tenemos

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) - 3 \sin^{2} x -\cos^{2} x =0,

( 3\sin^{2} x-\cos^{2} x)(\frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} -1) = 0.

Quedan entonces dos ecuaciones sencillas

3\sin^{2} x-\cos^{2} x = 0, (1)

\frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} -1 = 0, (2)

que pasamos a resolver

(1) 3\sin^{2} x-\cos^{2} x = 0,

3 \sin^{2} x - (1 - \sin^{2} x) = 0,
4 \sin^{2} x =1,
\sin^{2} x= \frac{1}{4},
\sin x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}.

(2) \frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} -1 =0,

\frac{ \sin 2x}{\cos 2x} =1,
\tan 2x =1.

El resto se deja al cuidado del lector.