Lectura 1. Funciones de conjunto, contenidos, premedidas y medidas

Consideremos un conjunto no vacío \Omega  y sea \mathcal{A} una clase no vacía de partes de \Omega. Toda aplicación

f: \mathcal{A} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}

se denomina función de conjunto. Recordemos que \overline{\mathbb{R}} es la recta real ampliada. En general, nos van a interesar funciones de conjunto no negativas. Esto es, funciones de conjunto cuyos valores sean mayores o iguales que cero. Sea pues,

\mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,+\infty]

una función de conjunto no negativa, diremos que \mu es

  • monótona, si para todos A,B \in \mathcal{A}, tales que A \subset B, es \mu(A) \leq \mu(B),
  • finitamente aditiva (o aditiva), si para cualquier colección A_1, A_2, \ldots, A_n, de elementos de \mathcal{A}, disjuntos dos a dos y tales que \biguplus_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A} es \mu (\biguplus_{i=1}^{n} A_i) = \sum_{i=1}^{n} \mu (A_i),
  • numerablemente aditiva (\sigma-aditiva), si para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de elementos de \mathcal{A}, disjuntos dos a dos y tales que \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A}, se tiene que \mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n),
  • finitamente subaditiva, si para cualquier colección A_1, A_2, \ldots, A_n, de elementos de \mathcal{A} con \cup_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A}, es \mu ( \cup_{i=1}^{n} A_i) \leq \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i),
  • numerablemente subaditiva, si para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de elementos de \mathcal{A}, tales que \cup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A} es \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n )\leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Obsérvese que salvo la condición de monotonía, el resto de condiciones exige el cierre para las uniones (unas veces finitas y otras infinito numerables). Como sabemos, la estructura de anillo de conjuntos es la adecuada para garantizar al menos el cierre para la unión finita. Por ello resultaría natural exigir que la clase a la que se aplica la función de conjunto no negativa sea al menos un anillo. En muchos textos se hace así pero si queremos una mayor generalidad podemos usar la estructura de semianillo.  Además, también es conveniente exigir que la función de conjunto definida sobre el semianillo verifique \mu (\emptyset) = 0 (recordemos que el vacío es elemento de todo semianillo). Así pues, si \mathcal{A} es un semianillo sobre \Omega, diremos que una función de conjunto \mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,+\infty] , es

  • un contenido, si \mu es finitamente aditiva,
  • una premedida, si \mu es numerablemente aditiva,
  • una medida, si \mu es una premedida y \mathcal{A} es una \sigma-álgebra (o un \sigma-anillo),
  • una medida de probabilidad, si \mu es una medida sobre una \sigma-álgebra y \mu(\Omega) = 1.

Álgebra generada por una clase no vacía

Sea X un conjunto no vacío y sea \mathcal{M} una clase no vacía de partes de X. Probaremos el siguiente resultado.

Teorema
Definimos las clases
\mathcal{M}_1 = \{ \emptyset, X \} \cup \mathcal{M} \cup \{ A^c : A \in \mathcal{M} \},

\mathcal{M}_2 = \pi(\mathcal{M}_1)= \{B: B=\cap_{i=1}^{n} A_i : A_i \in \mathcal{M}_1 \},

\mathcal{M}_3 = \{C: C=\cup_{j=1}^{m} B_j : B_j \in \mathcal{M}_2 \}.

Entonces \mathcal{M}_3 es el álgebra generada por \mathcal{M}.

Demostración.

Por construcción es \mathcal{M} \subset \mathcal{M}_1 \subset \mathcal{M}_2 \subset \mathcal{M}_3. Sea \mathcal{A} un álgebra que incluye a \mathcal{M}, entonces incluirá al conjunto vacío, al propio X y a los complementarios de los elementos de \mathcal{M}. Así pues

\mathcal{M}_1 \subset \mathcal{A}.
Pero toda álgebra es un \pi-sistema por lo que incluirá a las intersecciones finitas de sus elementos y así concluiremos que

\mathcal{M}_2 \subset \mathcal{A}.

Finalmente, sabemos que toda álgebra es cerrada para las uniones finitas de sus elementos por lo que

\mathcal{M}_3 \subset \mathcal{A}.

Sólo nos resta probar que \mathcal{M}_3 es un álgebra. Sean C_1 y C_2 elementos de \mathcal{M}_3, entonces

C_1 = \cup_{i=1}^{n} B_i, \quad C_2 = \cup_{j=1}^{m} D_j,

donde B_i y D_j son elementos de \mathcal{M}_2. Tenemos

C_1 \cap C_2 = (\cup_{i=1}^{n} B_i) \cap (\cup_{j=1}^{m} D_j) = \cup \{ B_i \cap D_j, i=1, \ldots, n, j=1, \ldots, m \}.

Pero como B_i \cap D_j \in \mathcal{M}_2, para i=1, \dots, n, j=1, \ldots, m, se sigue que C_1 \cap C_2 es un elemento de \mathcal{M}_3. Por otro lado, sea B = \cap_{i=1}^{r}A_i un elemento de \mathcal{M}_2, entonces

B^c = ( \cap_{i=1}^{r} A_i)^c = \cup_{i=1}^{r}A_i^c.

Esto significa que B^c \in \mathcal{M}_3. Finalmente, si C = \cup_{j=1}^{n} B_j es un elemento de \mathcal{M}_3 tenemos

C^c = (\cup_{j=1}^{n} B_j)^c = \cap_{j=1}^{n} B_j^c

y como cada B_j^c pertenece a \mathcal{M}_3 y esta clase es cerrada para la intersección concluimos que C^c es también un elemento de \mathcal{M}_3. Esto prueba que dicha clase es un anillo y como X \in \mathcal{M}_3, será un álgebra.

Comentarios

En primer lugar, hemos usado el hecho de que el álgebra generada por una clase es la intersección de todas las álgebras que la contienen por lo que si \mathcal{M}_3 es un álgebra incluida en todas las que incluyen a \mathcal{M} es obvio que coincide con la intersección de estas.

Ecuaciones trigonométricas (2)

Continuamos resolviendo algunas ecuaciones trigonométricas.  En este caso nos atrevemos con la siguiente:

\tan 2x -4 \sin x \cos x + 1 = 4 \sin^{2} x.

Emplearemos las fórmulas del ángulo doble y el desarrollo buscará factorizar de alguna manera la expresión. Empezaremos con la tangente del ángulo doble:

\tan 2x = \frac{ \sin 2x}{\cos 2x} = \frac{ 2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x }.

Sustituimos y sacamos factor común

\frac{ 2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x }-4 \sin x \cos x + 1 = 4 \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x) (\frac{ 1}{\cos^{2} x - \sin^{2} x }-2)+ 1 = 4 \sin^{2} x.

Operamos el paréntesis y tenemos en cuenta que $1 = \cos^{2} x + \sin^{2} x$ (identidad pitagórica),

(2 \cos x \sin x) (\frac{ 1-2\cos^{2} x +2  \sin^{2} x }{\cos^{2} x - \sin^{2} x})+ 1 = 4 \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x)(\frac{ \cos^{2} x+ \sin^{2} x-2\cos^{2} x +2  \sin^{2} x }{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) +1 = 4 \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x)(\frac{ + 3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x})+1 = 4 \sin^{2} x.

Pasamos el $1$ al otro miembro y volvemos a utilizar la identidad pitagórica

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) = 4 \sin^{2} x -1,

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) = 4 \sin^{2} x -\cos^{2} x - \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) = 3 \sin^{2} x -\cos^{2} x.

En este punto identificamos un factor común en ambos miembros: 3\sin^{2} x-\cos^{2} x. Por tanto, tenemos

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) - 3 \sin^{2} x -\cos^{2} x =0,

( 3\sin^{2} x-\cos^{2} x)(\frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} -1) = 0.

Quedan entonces dos ecuaciones sencillas

3\sin^{2} x-\cos^{2} x = 0, (1)

\frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} -1 = 0, (2)

que pasamos a resolver

(1) 3\sin^{2} x-\cos^{2} x = 0,

3 \sin^{2} x - (1 - \sin^{2} x) = 0,
4 \sin^{2} x =1,
\sin^{2} x= \frac{1}{4},
\sin x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}.

(2) \frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} -1 =0,

\frac{ \sin 2x}{\cos 2x} =1,
\tan 2x =1.

El resto se deja al cuidado del lector.

Una ecuación trigonométrica

Vamos a resolver una ecuación trigonométrica:

\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0.

Pero primero vamos a demostrar la siguiente identidad trigonométrica:

\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}. (1)

Bastará utilizar las conocidas expresiones para el seno de la suma y de la diferencia de dos ángulos:

\sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y,
\sin (x-y) = \sin x \cos y - cos x \sin y.

Haciendo x +y = A y x-y = B, despejando x e y en función de A y B y sustituyendo, tendremos la expresión (1). Pasamos a resolver la ecuación pero antes agrupamos en la forma

(\sin x+ \sin 3x) +(\sin 2x + \sin 4x) = 0.

Procedemos con los cálculos a partir de (1) en cada paréntesis:

2 \sin \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} + 2 \sin \frac{2x+4x}{2}  \cos \frac{2x-4x}{2} = 0,
2 \sin 2x \cos (-x) + 2 \sin 3x + \cos (-x) = 0,
2 \cos (-x) (\sin 2x + \sin 3x) = 0,
-2 \cos x (2 \sin \frac{2x+3x}{2} \cos \frac{2x-3x}{2}) = 0,
-4 \cos x \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{-x}{2} = 0,
4 \cos x \cos \frac{x}{2} \sin \frac{5x}{2} = 0.

Por tanto, tenemos tres ecuaciones:

\cos x =0, (2)
\cos  \frac{x}{2} =0, (3)
\sin \frac{5x}{2} = 0, (4)

cuyas resoluciones son muy sencillas.

Consultorio Matemático (15)

Consulta: Un móvil parte de un punto de una circunferencia de 15 m de radio, siguiendo la dirección de la tangente en dicho punto, se desplaza durante 2 h a una velocidad de 20 m/h. ¿ A qué distancia del centro de la circunferencia se encontrará al cabo de dicho tiempo?
Respuesta:
Suponemos un movimiento rectilíneo y uniforme. En tal caso, la distancia al centro es la hipotenusa del triángulo que tiene por lados el radio y la trayectoria del móvil. El siguiente dibujo ilustra esta idea:

consu15

La distancia d es igual a la velocidad por el tiempo

d = 20 m/h \cdot 2 h = 40 m.

Por tanto,

x^2 = d^2 + 15^2 = 40^2+15^2,

x = \sqrt{40^2+15^2} m.

Ecuaciones cúbicas (2)

Consideremos una ecuación cúbica reducida

x^3+px+q = 0,

donde p y q son diferentes de cero. En la entrada anterior hemos visto cómo podemos resolverla mediante una serie de cambios de variable y usando números complejos. Vamos a resumir todo ese trabajo en una expresión manejable. Consideramos los valores complejos

\alpha = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}},

\beta = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}

Las soluciones se obtienen entonces mediante x = \alpha+\beta. Veamos una aplicación con el ejemplo de la entrada anterior (donde hemos cambiado la variable y por x para ajustarnos a la terminología empleada ahora):

x^3- \frac{1}{3}x -\frac{25}{27} =0.

Entonces p= -1/3 y q = -25/27, quedando

\alpha = \sqrt[3]{-\frac{-25/27}{2}+\sqrt{\frac{(-25/27)^2}{4}+\frac{(-1/3)^3}{27}}} = \sqrt[3]{\frac{25}{54}+\frac{\sqrt{621}}{54}},

\beta = \sqrt[3]{-\frac{-25/27}{2}-\sqrt{\frac{(-25/27)^2}{4}+\frac{(-1/3)^3}{27}}} =\sqrt[3]{\frac{25}{54}-\frac{\sqrt{621}}{54}}.

Añadiendo las raíces cúbicas de la unidad obtenemos los resultados buscados

x_1 = \sqrt[3]{\frac{25}{54}+\frac{\sqrt{621}}{54}}+\sqrt[3]{\frac{25}{54}-\frac{\sqrt{621}}{54}},

x_2 =(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}) [\sqrt[3]{\frac{25}{54}+\frac{\sqrt{621}}{54}}]+(-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2})[\sqrt[3]{\frac{25}{54}-\frac{\sqrt{621}}{54}}],

x_2 =(-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}) [\sqrt[3]{\frac{25}{54}+\frac{\sqrt{621}}{54}}]+(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2})[\sqrt[3]{\frac{25}{54}-\frac{\sqrt{621}}{54}}],

Estos son los valores exactos pero podemos dar valores aproximados sin más que operar y redondear.

Ecuaciones cúbicas (1)

En una entrada anterior del Consultorio Matemático se nos presentaba una ecuación polinómica de tercer grado con coeficientes reales. Ha llegado el momento de explicar el método más usado para su resolución por radicales.
Consideramos ecuaciones de la forma

Ax^3 +Bx^2+Cx+D = 0,

donde A, B, C y D son números reales y A \neq 0. Diremos que la ecuación está normalizada si A=1 y que está en forma reducida si está normalizada y B=0. Esto es, tiene la forma

x^3+cx+d = 0.

Toda ecuación cúbica normalizada puede llevarse a la forma reducida mediante el cambio de variable

x = y-\frac{B}{3}.

Por ejemplo, la ecuación cúbica normalizada x^3-2x^2+x-1=0 se transforma mediante el cambio x = y+\frac{2}{3} en

(y+2/3)^3-2(y+2/3)^2+(y+2/3)-1=0

que desarrollada convenientemente nos lleva a la forma reducida

y^3-\frac{1}{3}y - \frac{25}{27} = 0.

Una vez se halla en forma reducida pasamos a aplicar el cambio y = z-\frac{c}{3z}. En nuestro caso, y = z- \frac{-1/3}{3z} = z+\frac{1}{9z}, quedando

(z+\frac{1}{9z})^3-\frac{1}{3}(z+\frac{1}{9z}) - \frac{25}{27} =0,

que simplificada nos lleva a

z^3+\frac{1}{9^3 z^3}-\frac{25}{27}=0.

Esta ecuación puede hacerse bicuadrada fácilmente al multiplicar ambos miembros por z^3. Es decir,

z^6-\frac{25}{27}z^3+\frac{1}{9^3}=0.

Para resolver la ecuación bicuadrada hacemos z^3 = t y tenemos

t^2-\frac{25}{27} t+\frac{1}{9^3}=0,

cuyas soluciones son
t = \frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}, t= \frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}.
Ahora tenemos que “deshacer” los cambios. En primer lugar,

z =\sqrt[3]{t} = \epsilon \sqrt[3]{t},

siendo \epsilon la notación para las tres raíces cúbicas de la unidad en el cuerpo de los complejos. Era inevitable usar números complejos pero he intentado minimizar su “impacto”. Me limitaré a explicar cómo son las tres raíces de la unidad. En primer lugar, escribimos

1 = 1+0i = e^{0i}= 1 ( \cos 0 + i \sin 0).

Sus raíces son

1^{1/3} = \{ 1^{1/3} (\cos \frac{(0+2 k \pi)}{3}+ i \sin \frac{(0+2 k \pi)}{3}), k = 0,1,2 \}.

Es decir,

\epsilon = \{1, -\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2} \}.

Convenimos en que

\epsilon_1 = 1, \epsilon_2 =-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}, \epsilon_3 =-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}.

En consecuencia, tendremos

z =  \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}, z= \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}} .

y = z+\frac{1}{9z} =  \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+ \frac{1}{9 \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}} , y= z+\frac{1}{9z} = \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}} + \frac{1}{9 \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}.

Simplificamos las fracciones multiplicando por sus conjugados. En particular,

\frac{1}{9 \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}} = \frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}{9 \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}(\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}})} =\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon} .

Sustituyendo de nuevo vemos que

y = \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon}

y = \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon} .

Ahora deberíamos poner los tres valores de \epsilon para obtener seis soluciones. Sin embargo, teniendo en cuenta que \epsilon_2 \epsilon_3 =1 vemos que \epsilon_2 = \frac{1}{\epsilon_3}, de donde

y_1 =  \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}

y_2 =  \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}+\sqrt[3]{\frac{25}{54}+\frac{\sqrt{621}}{54}} .

y_3 = \epsilon_2\sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon_3}

y_4 = \epsilon_2 \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon_3} .

y_5 = \epsilon_3 \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}{\epsilon_2}

y_6 = \epsilon_3 \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon_2} .

Se aprecia pues que y_1=y_2, y_3=y_4 e y_5=y_6, quedando tres soluciones. La primera de ellas es la única real y vale

y =\sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}.

Las otras dos son complejas y su cálculo es un poco más laborioso. Una vez obtenidas, debemos hacer el cambio final x = y+\frac{2}{3}.
Como el lector puede apreciar, este sistema de obtención de soluciones se presenta largo y complicado. Podemos simplificarlo un poco utilizando una fórmula. Pero esto lo veremos en la próxima entrada.