Resolución de inecuaciones racionales en una incógnita

Una expresión racional tiene la forma

\frac{P(x)}{Q(x)},

donde P(x) y Q(x) son polinomios en una indeterminada con Q(x) no idénticamente nulo (o sea que hay al menos un valor de x para el que no se anula). Una inecuación de alguna de las formas

\frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, \frac{P(x)}{Q(x)} <0, \frac{P(x)}{Q(x)} <0

es una inecuación racional en una incógnita y en forma normal. Su resolución se basa en las propiedades del conjunto de los números reales como cuerpo ordenado. De esta manera, si queremos resolver \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0, debemos resolver los sistemas

P(x) \leq 0, Q(x) >0, (I)

P(x) \geq 0, Q(x) <0, (II)

pues el cociente será negativo o nulo si el numerador y el denominador tienen diferentes signos, teniendo en cuenta además que el denominador no puede ser nulo. Evidentemente estos sistemas pueden ser difíciles de resolver pues todo depende de la complejidad de los polinomios considerados. Veamos un ejemplo. Sea la inecuación

\frac{x^3-1}{2x-2} \leq 1.

Nuestro primer paso es ponerla en forma normal. Para ello restamos 1 a ambos miembros lo que no altera el sentido de la desigualdad (recordemos que sumar o restar a ambos miembros de una inecuación la misma cantidad no altera el sentido de la desigualdad y nos permite obtener una inecuación equivalente)

\frac{x^3-1}{2x-2}- 1 \leq 0,

\frac{x^3-1-(2x-2)}{2x-2} \leq 0,

\frac{x^3-2x+1}{2x-2} \leq 0.

Por tanto, tenemos que resolver los sistemas

x^3-2x+1 \geq 0, 2x-2 <0, (I)

x^3-2x+1 \leq 0, 2x-2 >0. (II)

Veamos el primero de ellos. La inecuación x^3-2x+1 \geq 0 se resuelve mediante la obtención de las raíces reales de la ecuación

x^3-2x+1 = 0.

Una aproximación mediante el teorema del resto nos muestra que una las soluciones de esta ecuación es x_1=1, por tanto podemos escribir

x^3-2x+1 = (x-1)(x^2+x-1).

Nos falta encontrar las raíces reales de x^2+x-1=0. Tenemos que su discriminante es

\Delta = 1^2-4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5,

luego las raíces son

x_2 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2},

x_3 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}.

Procedemos a ordenarlas de menor a mayor y permiten definir cuatro intervalos

(-\infty, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}),

(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}),

(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},1),

(1, \infty).

Buscamos valores en el interior de dichos intervalos para sustituirlos en la expresión y=x^3-2x+1 y obtenemos que el signo de los resultados es positivo o nulo en

[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}],

[1, \infty),

como podemos ver en la gráfica:

solinecua

Por tanto, la solución de esta inecuación es

[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}] \cup [1, \infty).

Tenemos ahora que resolver también 2x-2 <0, que resulta en

x < 1,

es decir, el intervalo (-\infty, 1). La solución de (I) es la intersección de este intervalo con la unión de los intervalos anteriores. Es decir,

[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}] .

Dejamos al lector la solución del otro sistema (II), recordándole que puede utilizar como base los intervalos que ya hemos obtenido.

El teorema de la altura y su aplicación para dibujar algunos segmentos de longitud irracional

Sabemos que existen números reales que no son racionales. Es decir, números reales que no son expresables en la forma \frac{a}{b} con  a,b \in \mathbb{Z} y b \neq 0. En terminología clásica esto viene a decir que existen segmentos inconmensurables respecto a una unidad dada. Para denotar el conjunto de los números irracionales suele escribirse

\mathbb{R}- \mathbb{Q}

pues la notación \mathbb{I} no es conveniente al no tener el conjunto de tales racionales una estructura algebraica.

Una operación que da lugar “frecuentemente” a números irracionales es la radicación. En particular, sabemos que

Teorema 1: Si n  es un entero positivo que no es un cuadrado perfecto, entonces n^{1/2} es un número irracional.

La demostración de este teorema no es difícil pero exige el conocimiento del teorema fundamental de la aritmética y ciertas propiedades de las ecuaciones. No lo haremos aquí pues no es nuestro objetivo pero prometo hacerlo en otra entrada. Así pues, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, \sqrt{10}, \ldots son números irracionales y como son números reales pueden asignarse a puntos de una recta con origen y unidad dados. Ahora bien, ¿cómo podemos representar tales puntos con regla y compás? Pues existen varias técnicas que usan las propiedades de los triángulos rectángulos. Nosotros vamos a utilizar la propiedad llamada teorema de la altura.

Teorema 2: En todo triángulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional de los catetos.

Vamos a demostrar esta afirmación y para ello utilizaremos las nociones de semejanza y un pequeño dibujo.

teoremaaltura

El triángulo ABC es rectángulo. La altura que se traza sobre la hipotenusa BD tiene longitud h y las proyecciones de los catetos son los segmentos AD y DC de longitudes m y n, respectivamente. Primero probaremos que los triángulos ABD y CBD son rectángulos y semejantes. En efecto, comparten un lado (BD) y tienen los mismos ángulos. Para demostrar esta afirmación, tomamos el triángulo ABC y observamos que el ángulo A es igual a 90-C (pues B es recto y A+B+C = 180). Es decir, en el triángulo ABD el ángulo A es 90-C. Mientras que en el triángulo CBD el ángulo \beta también ha de ser igual a 90-C. Esto prueba que los ángulos correspondientes son iguales. Utilizando la semejanza tenemos que

\frac{h}{m} = \frac{n}{h}.

Esto es, la altura es media proporcional de las proyecciones m y n. Simplificando

h^2 = mn.

Esta última expresión es la que nos va a servir para la representación de números irracionales del tipo expuesto anteriormente. Así, podemos representar con facilidad \sqrt{6} pues podemos escribir

h^2=6=2 \cdot 3,

h = \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 3}.

Lo que nos permite dibujar una circunferencia de diámetro 5=2+3 y obtener la altura \sqrt{6} como muestra el dibujo siguiente:

teoremaaltura2

Lectura 5. De los contenidos a las premedidas (2)

Continuamos con las ideas esbozadas en la lectura 4. Sea (A_n) una sucesión de partes de un conjunto dado \Omega, decimos que es creciente si

A_n \subset A_{n+1}, n=1,2, \ldots.

Si verifica

A_{n+1} \subset A_n, n=1,2, \ldots,

decimos que es una sucesión decreciente. Las sucesiones crecientes y decrecientes tienen límites (esto es coinciden en ellas sus límites superior e inferior) siendo

\lim_n A_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n

el límite de la sucesión creciente y

\lim_n A_n = \cap_{n=1}^{\infty} A_n

el límite de la sucesión decreciente. Sea \mathcal{A} un anillo y \mu un contenido en dicho anillo. Decimos que \mu es

(i) semicontinua por abajo, si para toda sucesión creciente (A_n) de elementos del anillo tal que \lim_n A_n \in \mathcal{A}, se cumple que \lim_n \mu(A_n) = \mu (\lim_n A_n).

(ii) semicontinua por arriba, si para toda sucesión decreciente (B_n) de elementos del anillo tal que para algún p \in \mathbb{N} es \mu(A_p) < \infty y \lim_n B_n \in \mathcal{A}, se cumple que \lim_n \mu(B_n) = \mu(\lim_n B_n).

(iii) \emptyset-continua, si es semicontinua por arriba para toda sucesión decreciente con límite igual al conjunto vacío.

Estamos en condiciones de demostrar el siguiente resultado.

Sea \mathcal{R} un anillo y sea \mu un contenido sobre dicho anillo. Son equivalentes:
(a) \mu es \sigma-aditiva.
(b) \mu es semicontinua por abajo.
Demostración: (a) implica (b).Sea (A_n) una sucesión creciente de elementos del anillo cuyo límite \lim_n A_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n pertenece al anillo. Si para algún p \in \mathbb{N} es \mu(A_p) = + \infty, entonces el carácter monótono de \mu nos lleva a afirmar que
+\infty =\mu(A_q) \leq \mu(A_n) para todo n \geq q,
+\infty =\mu(A_q) \leq \mu(\cup_{n=1}^{\infty} A_n).
En consecuencia,
+\infty = \lim_n \mu(A_n),
+\infty = \mu(\cup_{n=1}^{\infty} A_n) = \mu (\lim_n A_n).
Es decir, \lim_n \mu(A_n) = \mu (\lim_n A_n).
Si suponemos que \mu(A_n) < + \infty para todo n, entonces podemos considerar la sucesión
B_1 = A_1, B_n = A_n - A_{n-1}, n \geq 2.
Dicha sucesión está formada por elementos del anillo y como (A_n) es creciente resulta que son disjuntos dos a dos y verifican
B_n \subset A_n, para todo n,
\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n.
Sólo resta recordar la propiedad sustractiva (\mu(A-B) = \mu(A)-\mu(B), para B \subset A y \mu(A)<+\infty) y la aditividad numerable para obtener
\mu(\lim_n A_n) = \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n) = \mu(\biguplus_{n=1}^{+\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n) = \mu(B_1)+ \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu(B_n)= \mu(A_1)+ \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu (A_n - A_{n-1}) = \mu(A_1) + \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu(A_n)-\mu(A_{n-1}) =\mu(A_1)-\mu(A_1)+ \lim_n \mu(A_n) = \lim_n \mu(A_n).
En conclusión \mu es semicontinua por abajo.
(b) implica (a). Sean ahora B_1, B_2, \ldots, elementos de \mathcal{R}, disjuntos dos a dos, cuya unión pertenece a dicho anillo. Definimos una nueva sucesión mediante
A_n = \biguplus_{k=1}^{n} B_k.
Es evidente que los elementos de (A_n) pertenecen al anillo y que la sucesión es creciente. Por tanto,
\mu(\lim_n A_n) = \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n) = \mu(\biguplus_{n=1}^{\infty}B_n) = \lim_n \mu(A_n) = \lim_n \mu(\biguplus_{k=1}^{n} B_k) = \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n).
Esto prueba que \mu es una premedida y termina la demostración.

Lectura 4. De los contenidos a las premedidas (1)

Consideremos un semianillo \mathcal{A} y sea \mu una premedida sobre el anillo. Veremos que se trata de un contenido. En efecto, recordemos que todo semianillo contiene al conjunto vacío por lo que si A,B son elementos de \mathcal{A}, disjuntos y con A \cup B \in \mathcal{A}, entonces podemos formar una sucesión B_n de elementos del semianillo mediante:

B_1 = A, B_2=B, B_n = \emptyset, n \geq 3.

Obviamente esta sucesión está formada por conjuntos disjuntos y es

\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = A \cup B.

Aplicando la aditividad numerable resulta

\mu(A \cup B) =\mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n) = \lim_{n} \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) = \mu(A)+\mu(B).

Por tanto, toda premedida es un contenido y por ello será monótona y finitamente subaditiva. Sin embargo, no todo contenido es una premedida y en la lectura anterior vimos una condición suficiente para que esto ocurra. Ahora trataremos de dar condiciones más fuertes y para ello nuestra estructura de soporte serán los anillos.

Sea \mathcal{R} un anillo y sea \mu un contenido (medida finita) sobre dicho anillo. Entonces son equivalentes

(a) \mu es \sigma-aditiva.

(b) \mu es numerablemente subaditiva.

Demostración: (a) implica (b). Supongamos que \mu es \sigma-aditiva y sea (A_n) una sucesión de elementos del anillo \mathcal{R}, definimos una nueva sucesión mediante

B_1 = A_1, B_n = A_n - \cup_{h=1}^{n-1} A_k, n \geq 2.

Como \mathcal{R} es un anillo, la sucesión (B_n) está formada por elementos de dicho anillo que por su construcción son disjuntos dos a dos y verifican

B_n \subset A_n, ,  n=1,2, \ldots,

\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n.

Por tanto, aplicando la monotonía de toda premedida es

\mu (\cup_{n=1}^{\infty} A_n) = \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu (B_n) = \lim_{n} \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) \leq \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu(A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Esto prueba que toda premedida es numerablemente subaditiva.

(b)  implica (a). Sabemos que todo contenido sobre un anillo verifica

\mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n) \geq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Si el contenido fuera numerablemente subaditivo entonces se daría la desigualdad recíproca y concluiríamos la igualdad. Esto termina la demostración.

Los resultados más interesantes precisan de las nociones de sucesión de conjuntos y de límites de dichas sucesiones. Veremos estos detalles en la siguiente lectura.

Lectura 3. Más propiedades

Hemos visto en la lectura anterior que todo contenido sobre al menos un semianillo es monótono y finitamente subaditivo.  También hemos visto que si los contenidos se establecen sobre los anillos las demostraciones son más simples y aparecen algunas propiedades más. En muchos textos se parte de esta idea. Por ejemplo,  si \mathcal{R} es un anillo, se dice que una función \mu: \mathcal{R} \rightarrow [0,+ \infty] es una medida finita si:

(i) \mu (\emptyset) = 0.

(ii) Para todos A,B de \mathcal{R}, disjuntos, es \mu(A \cup B) = \mu(A)+ \mu(B).

Es fácil probar que en este caso medida finita y contenido son equivalentes.  En efecto, si A_1, A_2, \ldots, A_n son elementos de \mathcal{R}, disjuntos dos a dos, entonces si suponemos que para n-1 con n-1 \geq 1 es

\mu (\biguplus_{i=1}^{n-1} A_i) = \sum_{i=1}^{n-1} \mu (A_i),

resultará

\mu (\biguplus_{i=1}^{n} A_i) = \mu ((\biguplus_{i=1}^{n-1} A_i )\biguplus A_n) = \mu (\biguplus_{i=1}^{n-1} A_i) + \mu (A_n) = \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i) + \mu (A_n) = \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i).

Así por inducción concluimos la aditividad finita. Obsérvese que todos los elementos considerados y sus uniones pertenecen al anillo \mathcal{R}. Esto también es esencial en la demostración de la siguiente propiedad.

Sea \mathcal {R} un anillo y sea \mu una medida finita sobre dicho anillo. Para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de disjuntos dos a dos tales que \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{R} tenemos que

\sum_{n=1}^{\infty} \mu (A_n) \leq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n).

Demostración. Sabemos que toda medida aditiva (contenido en este caso) es finitamente aditiva y  monótona por lo que de

\biguplus_{k=1}^{n} A_k \subset \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n, k=1, 2, \ldots, n

se sigue que

\sum_{k=1}^{n} \mu (A_k) \leq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n), k=1,2, \ldots, n.

Llevando al límite la desigualdad concluimos que

\sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) \leq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n).

Esto termina la demostración.

Esto permite afirmar que un contenido \mu sobre un anillo \mathcal{R} es una premedida si para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de elementos del anillo, disjuntos dos a dos, con \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{R}, se tiene que

\sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) \geq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n).

Lectura 2. Primeras propiedades

Sea \mathcal{A} un semianillo y sea \mu: \mathcal{A} \rightarrow [0, + \infty] un contenido. Podemos afirmar entonces que dicho contenido es monótono y además finitamente subaditivo. Para probar esta afirmación precisaremos de algunas de las propiedades más características de los semianillos.

(a) Todo contenido es monótono. En efecto, sean A,B elementos del semianillo \mathcal{A} tales que A \subset B. Podemos escribir

B = A \biguplus (B-A).

Ahora bien, la diferencia B-A no pertenece necesariamente al semianillo \mathcal{A} pero podemos encontrar C_1, C_2, \ldots, C_n, elementos de \mathcal{A}, disjuntos dos a dos, y tales que B-A = \biguplus_{j=1}^{n} C_j. Por tanto,

B = A \biguplus (\biguplus_{j=1}^{n} C_j),

por lo que aplicando la aditividad finita del contenido y su carácter no negativo, tenemos

\mu(B) = \mu(A) + \sum_{j=1}^{n} \mu (C_j) \geq \mu(A).

Esto termina la demostración.

En el caso de que \mathcal{A} sea un anillo, si A,B \in \mathcal{A},  entonces  B-A pertenece al anillo \mathcal{A}. Por ello, si  A \subset B, entonces la igualdad ya vista

B = A \biguplus (B-A),

permite escribir \mu(B) = \mu(A)+ \mu(B-A) y la no negatividad del contenido nos lleva directamente a la monotonía. Además si añadimos la condición \mu(A) < + \infty, concluimos que

\mu(B)- \mu(A) = \mu(B-A),

pues restando \mu(A) a ambos miembros de la última igualdad no tendríamos ninguna indeterminación (recordemos que estamos trabajando en \mathbb{R} ampliado).

Veamos ahora la subaditividad. Su prueba es un poco más complicada.

(b) Todo contenido es finitamente subaditivo.

Consideremos A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n, elementos del semianillo \mathcal{A} y sea A = \cup_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A}. Definimos los conjuntos

B_1 = A_1

B_2 = A_k - \cup_{j=1}^{k-1} A_j, k=2, \ldots, n.

Los elementos B_1, B_2, \ldots, B_n no pertenecen necesariamente al semianillo pero por su construcción son disjuntos dos a dos y verifican B_i \subset A_i, i=1,2, \ldots, n, \biguplus_{i=1}^{n} B_i = \cup_{i=1}^{n} A_i. Pero es más, la construcción de los B_i permite utilizar una propiedad de los subanillos mediante la cual cada B_i es unión disjunta de elementos C_{1}^{i}, \ldots, C_{r_{i}}^{i} pertenecientes al semianillo \mathcal{A}. Esto es,

B_i = \biguplus_{j=1}^{r_{i}} C_{j}^{i}, i=1,2, \ldots, n.

Por otro lado, tenemos que de B_i =\biguplus_{j=1}^{r_{i}} C_{j}^{i}\subset A_i para i=1,2, \ldots, n, concluimos que existen D_{1}^{i}, \ldots, D_{s_{i}}^{i}, pertenecientes a \mathcal{A} y disjuntos dos a dos, tales que

A_i = (\biguplus_{j=1}^{r_{i}} C_{j}^{i}) \biguplus (\biguplus_{j=1}^{s_{i}}D_{j}^{i}).

Esta igualdad es importante pues aplicando la aditividad finita vemos que

\mu(A_i) \geq \sum_{j=1}^{r_{i}} \mu (C_{j}^{i}), i=1,2, \ldots, n.

En efecto, resultará

\mu (\cup_{i=1}^{n} A_i) = \mu (\biguplus_{i=1}^{n} B_i) = \mu (\biguplus_{i=1}^{n} (\biguplus_{j=1}^{r_i} C_{j}^{i})) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{r_i} \mu (C_{j}^{i}) \leq \sum_{i=1}^{n} \mu (A_i).

Esto termina la demostración.

Sii partimos de un anillo, el resultado podría haberse obtenido de una forma más sencilla pues los conjuntos B_i pertenecen al anillo y bastaría aplicar la monotonía. Para acabar esta lectura vemos una última propiedad que se aplica a anillos y donde de nuevo apreciamos sus ventajas como soporte.

(c) Sea \mathcal{R} un anillo y sea \mu un contenido definido en dicho anillo. Para todos A,B \in \mathcal{R} es \mu (A \cup B) + \mu (A \cap B) = \mu (A) + \mu(B).

Sean A,B elementos del anillo \mathcal{R}, podemos escribir

A \cup B = A \biguplus (B-A),

B = (A \cap B) \biguplus (B-A),

por tanto

\mu (A \cup B) = \mu(A)+\mu(B-A),

\mu(B) = \mu(A \cap B) + \mu (B-A).

Si sumamos a la primera igualdad la cantidad \mu (A \cap B) y recordamos el valor de la segunda, vemos que

\mu (A \cup B) + \mu (A \cap B) = \mu(A)+ \mu (B-A) + \mu (A \cap B) = \mu (A)+ \mu (B).

Esto termina la demostración.

Lectura 1. Funciones de conjunto, contenidos, premedidas y medidas

Consideremos un conjunto no vacío \Omega  y sea \mathcal{A} una clase no vacía de partes de \Omega. Toda aplicación

f: \mathcal{A} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}

se denomina función de conjunto. Recordemos que \overline{\mathbb{R}} es la recta real ampliada. En general, nos van a interesar funciones de conjunto no negativas. Esto es, funciones de conjunto cuyos valores sean mayores o iguales que cero. Sea pues,

\mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,+\infty]

una función de conjunto no negativa, diremos que \mu es

  • monótona, si para todos A,B \in \mathcal{A}, tales que A \subset B, es \mu(A) \leq \mu(B),
  • finitamente aditiva (o aditiva), si para cualquier colección A_1, A_2, \ldots, A_n, de elementos de \mathcal{A}, disjuntos dos a dos y tales que \biguplus_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A} es \mu (\biguplus_{i=1}^{n} A_i) = \sum_{i=1}^{n} \mu (A_i),
  • numerablemente aditiva (\sigma-aditiva), si para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de elementos de \mathcal{A}, disjuntos dos a dos y tales que \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A}, se tiene que \mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n),
  • finitamente subaditiva, si para cualquier colección A_1, A_2, \ldots, A_n, de elementos de \mathcal{A} con \cup_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A}, es \mu ( \cup_{i=1}^{n} A_i) \leq \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i),
  • numerablemente subaditiva, si para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de elementos de \mathcal{A}, tales que \cup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A} es \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n )\leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Obsérvese que salvo la condición de monotonía, el resto de condiciones exige el cierre para las uniones (unas veces finitas y otras infinito numerables). Como sabemos, la estructura de anillo de conjuntos es la adecuada para garantizar al menos el cierre para la unión finita. Por ello resultaría natural exigir que la clase a la que se aplica la función de conjunto no negativa sea al menos un anillo. En muchos textos se hace así pero si queremos una mayor generalidad podemos usar la estructura de semianillo.  Además, también es conveniente exigir que la función de conjunto definida sobre el semianillo verifique \mu (\emptyset) = 0 (recordemos que el vacío es elemento de todo semianillo). Así pues, si \mathcal{A} es un semianillo sobre \Omega, diremos que una función de conjunto \mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,+\infty] , es

  • un contenido, si \mu es finitamente aditiva,
  • una premedida, si \mu es numerablemente aditiva,
  • una medida, si \mu es una premedida y \mathcal{A} es una \sigma-álgebra (o un \sigma-anillo),
  • una medida de probabilidad, si \mu es una medida sobre una \sigma-álgebra y \mu(\Omega) = 1.