Una ecuación trigonométrica

Del texto de problemas “Ejercicios de Análisis”, del doctor en Ciencias J. Rivaud extraigo la siguiente ecuación trigonométrica:

\cos x - \cos (2x) = \sin (3x).

Me ha parecido adecuado resolverla porque en ella aparecen muchas cuestiones que es necesario tener en cuenta en este tipo de ecuaciones. Así puede resultar un ejercicio de gran interés. En primer lugar, se nos puede ocurrir desarrollar los valores de \cos (2x) y \sin (3x) utilizando las igualdades conocidas:

\cos(2x) = \cos^2(x)- \sin^2(x),

\sin(3x) = 3 \sin (x) \cos^2 (x) - \sin^{3} x.

Pero esto es una muy mala idea. Este desarrollo se hace largo y no se consigue nada. Primero vamos a escribir

\cos x - \cos (2x) - \sin (3x) =0, (1)

y luego debemos recordar que

\cos (A)- \cos (B) = -2 \sin (\frac{A+B}{2}) \sin (\frac{A-B}{2}).

Por tanto, la ecuación (1) queda como

-2 \sin (\frac{3x}{2}) \sin (\frac{-x}{2})- \sin (3x) = 0,

que simplificada (recordemos que \sin (-a) = -\sin a ) queda

2 \sin (\frac{3x}{2}) \sin (\frac{x}{2})- \sin (3x)=0. (2)

En este punto parece que no hemos llegado a ninguna parte. Pero basta utilizar la igualdad

\sin a = 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}

para tener

2 \sin (\frac{3x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{3x}{2}) \cos(\frac{3x}{2}) =0.

Esta expresión se puede factorizar y esto es muy interesante. Así tenemos

2 \sin (\frac{3x}{2}) (\sin(\frac{x}{2}) -\cos (\frac{3x}{2})) =0.

Esto nos lleva a dos ecuaciones

2 \sin (\frac{3x}{2})=0, (2)

\sin(\frac{x}{2})- \cos(\frac{3x}{2}) =0. (3)

Pasamos a resolver (2). En la forma dada es inmediato que

\frac{3x}{2} = k \pi, k \in \mathbb{Z},

luego

x = \frac{2k \pi}{3}, k \in \mathbb{Z}.

Veamos ahora (3). Para simplificar utilizamos

\cos a = \sin (\frac{\pi}{2} -a).

Por tanto, quedará

\sin(\frac{x}{2} )- \sin(\frac{\pi}{2} -\frac{3x}{2}) =0. (4)

Para factorizar de nuevo usamos

\sin A - \sin B = 2 \cos (\frac{A+B}{2}) \sin (\frac{A-B}{2}).

Así pues, tenemos que (4) se expresa como

2 \cos(\frac{\pi}{4} -\frac{x}{2}) \sin(x-\frac{\pi}{4}) =0.

Es decir,

\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})  =0, (5)

\sin(x-\frac{\pi}{4}) =0. (6)

Por tanto, para (5) es

 \frac{\pi}{4}- \frac{x}{2} = (2k+1) \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z},

x = 2k \pi - \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}

y para (6) es

x- \frac{\pi}{4} = k \pi, k \in \mathbb{Z},

x =\frac{\pi}{4} + k \pi, k \in \mathbb{Z}.

Estas son todas la soluciones posibles.

 

Consulta binomio de Newton

Pregunta:  El siguiente binomio

(\frac{x^{n-7}}{y^{n+2}}+\frac{y^{2n-3}}{x^{3n-11}})^{n+10}

posee 16 términos. Hallar el termino onceavo de su desarrollo.

Respuesta: El binomio de Newton adopta la forma

(a+b)^m = \sum_{i=0}^{m} \binom{m}{i} a^{m-i} b^{i}

Veamos cómo quedaría al aplicarse a la expresión dada

(\frac{x^{n-7}}{y^{n+2}}+ \frac{y^{2n-3}}{x^{3n-11}})^{n+10}=

\sum_{i=0}^{n+10} \binom{n+10}{i} (\frac{x^{n-7}}{y^{n+2}})^{n+10-i} (\frac{y^{2n-3}}{x^{3n-11}})^{i} .

Ahora bien, suponemos que hay dieciséis términos en este desarrollo y que todos ellos son relevantes. Esto es, que no es posible simplificarlos a partir del desarrollo inicial. En ese caso, tenemos que (n+10)+1 = 16, de donde n=5  y, entonces, el término decimoprimero se obtiene haciendo i=10:

\binom{15}{10} (\frac{x^{-2}}{y^{7}})^{5} (\frac{y^{7}}{x^{4}})^{10}

Sólo restaría simplificar para obtener

\binom{15}{10} x^{-50} y^{35}.

 

Consulta sobre geometría

Estas son algunas respuestas para Karen Álvarez.

Pregunta 1: Los puntos A =(3,-2) y B=(3,6) son dos de los vértices de un cuadrado. Halla dos pares de puntos que puedan ser los otros dos vértices.

Respuesta:  Es fácil ver que los dos vértices que conocemos se hallan en el mismo lado pues comparten una coordenada (en este caso x=3). Esto nos permite hallar la longitud L  del lado del cuadrado mediante una simple operación:

L = \sqrt{(3-3)^2 + (6-(-2))^2} = 8.

Una vez tenemos la longitud del lado, la simetría nos lleva a considerar dos pares de posibles vértices. Un par se obtiene sumando 8 a cada una de las coordenadas x de los ya conocidos y el otro se obtiene restando 8. Así pues

C=(11, -2), D=(11,6),

E=(-5,6), F=(-5,-2).

cuadradin

 

Pregunta 2: Halla el punto extremo que hace falta en cada uno de los segmentos dados.
A)  un punto extremo es (0,0) y su punto medio es (5,-3).
B) un punto extremo es (-3,2) y su punto medio es (-1,5).

Respuesta: Recordemos que el punto medio de un segmento de extremos (a,b) y (c,d) es el punto

(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2}).

Por tanto, planteamos

A) (\frac{0+c}{2}, \frac{0+d}{2}) =(5,-3),

\frac{c}{2} = 5, \frac{d}{2} =-3,

c= 10, d=-3.

B) Se hace de forma análoga.

Pregunta 3: Dos vértices de una figura geométrica son (0,0) y (6,0) resuelve:
A) si la figura es un triángulo equilátero, ¿cual son las coordenadas del tercer vértice?
B) si la figura es un cuadrado, ¿cuales son las coordenadas de los otros dos vértices?

Respuesta:

A) Encontramos el punto medio del segmento determinado por A=(0,0) y B=(6,0). Es decir,

C =(\frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3,0).

Trazamos una recta perpendicular al segmento AB y que pase por dicho punto. Al ser una recta perpendicular el eje de abscisas, su ecuación es

x =3.

Para determinar el vértice del triángulo equilátero, bastará recordar que si la longitud del lado de dicho triángulo es a, la altura mide

h =\frac{a \sqrt{3}}{2}.

Por ello, como a = \sqrt{(6-0)^2+(0-0)^2}= 6. Resulta

h =\frac{6 \sqrt{3}}{2} =3 \sqrt{3},

y esa cantidad se la sumamos en la coordenada y, al punto (3,0), quedando

D= (3, 3 \sqrt{3}).

triangulin

 

B) Es similar a la primera pregunta.

La generación de la sigma-álgebra de Borel en la recta

Sabemos que la \sigma-álgebra de Borel de la recta real es la generada por los abiertos de la topología usual. Existen otras clases que generan dicha \sigma-álgebra. A continuación esbozo una demostración de este hecho.

Las siguientes clases de partes de \mathbb{R} generan la \sigma-álgebra de Borel:

[(a)] La clase \mathcal{C}_1 de los intervalos abiertos (a,b).
[(b)] La clase \mathcal{C}_2 de los intervalos cerrados [a,b].
[(c)] La clase \mathcal{C}_3 de los conjuntos cerrados.
[(d)] La clase \mathcal{C}_4 de los conjuntos compactos.
[(e)] La clase \mathcal{C}_5 de las bolas abiertas B(q,r), donde q es racional y r>0 también es racional.
[(f)] La clase \mathcal{C}_6 de los intervalos (a,b].
[(g)] La clase \mathcal{C}_7 de los intervalos [a,b).
[(h)] La clase \mathcal{C}_8 de los intervalos no acotados (-\infty,b).

(a). Recordemos que todo intervalo (a,b) con a \leq b es un abierto. Por tanto,
\mathcal{C}_{1} \subset \mathbb{B},
luego
\sigma(\mathcal{C}_{1}) \subset \mathbb{B}.
Pero todo abierto A de la topología usual es unión numerable y disjunta de intervalos abiertos. Por tanto, si T es la topología usual en \mathbb{R}, tenemos
T \subset \sigma(\mathcal{C}_{1})
y de aquí
\mathbb{B} = \sigma(T) \subset \sigma(\mathcal{C}_{1}).
Luego \sigma(\mathcal{C}_{1})= \mathbb{B}.
(b). Dados a \leq b, tenemos
[a,b]^c = (-\infty,a) \cup (b,+\infty)
por lo que concluimos que [a,b] \in \mathbb{B}, luego \mathcal{C}_{2} \subset \mathbb{B} y de aquí
\sigma (\mathcal{C}_{2}) \subset \mathbb{B}.
Observemos que
[a,b) = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigg[ a, b- \frac{1}{n} \bigg], \quad  (a,b] = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigg[ a+ \frac{1}{n}, b \bigg].
Por tanto,$[a,b)$ y (a,b] son elementos de \sigma(\mathcal{C}_2) y, en consecuencia,
(a,b) = [a,b) \cap (a,b]
es un elemento de \sigma(\mathcal{C}_{2}), por lo que \mathcal{C}_1 \subset \sigma(\mathcal{C}_2) y esto implica que \mathbb{B} \subset \sigma(\mathcal{C}_2). Esta doble inclusión lleva a la igualdad \sigma(\mathcal{C}_2) = \mathbb{B}.
(c). Veamos ahora la clase de los conjuntos cerrados. Sea C un conjunto cerrado de la topología usual de la recta real, entonces su complementario A = \mathbb{R}-C es abierto, por lo que C \in \mathbb{B}, luego \mathcal{C}_3 \subset \mathbb{B} y de aquí
\sigma(\mathcal{C}_3) \subset \mathbb{B}.
Recíprocamente, si A es un abierto de la topología usual, su complementario C=\mathbb{R}-A es cerrado y A \in \sigma(\mathcal{C}_3), luego T \subset \sigma(\mathcal{C}_3) y concluimos que
\mathbb{B} \subset \sigma(\mathcal{C}_3).
La doble inclusión lleva a la igualdad.
(d). Sea \mathcal{C}_4 la clase de todos los compactos. Todo compacto de la topología usual de la recta es cerrado y acotado por lo que \mathcal{C}_4 \subset \mathcal{C}_3 y, en consecuencia
\sigma(\mathcal{C}_4) \subset \sigma(\mathcal{C}_3) =\mathbb{B}.
Sea C un cerrado y consideremos la familia (\overline{B(0,n)})_{n\in \mathbb{N}}. Esta familia está formada por conjuntos cerrados y acotados (compactos). Vemos que
C \cap \overline{B(0,n)}, \quad n=1,2,\ldots
son compactos (pues cada uno de ellos es intersección de cerrados y está acotado). Finalmente,
C = \cup_{n \in \mathbb{N}} (C \cap \overline{B(0,n)}).
Esto prueba que C \in \sigma(\mathcal{C}_4) y de aquí \mathcal{C}_3 \subset \sigma(\mathcal{C}_4) y \mathbb{B}= \sigma(\mathcal{C}_3) \subset \sigma(\mathcal{C}_4). La doble inclusión lleva a la igualdad.
(e). Sabemos que toda bola B(q,r) con q,r \in \mathbb{Q} es un abierto y de aquí \mathcal{C}_5 \subset T y por ello
\sigma(\mathcal{C}_5) \subset \mathbb{B}.
Sean a,b \in \mathbb{R} con a < b y sea (a,b). Entonces \mathbb{Q} \cap (a,b) es no vacío y numerable. Podemos escribir
\mathbb{Q} \cap (a,b) = \{q_1, q_2, \ldots, q_n, \ldots \}.
Tomamos 0<r_n < \min \{|q_n-a|, |q_n-b| \}, para n=1,2, \ldots. Esta elección nos permite afirmar que
(a,b) = \bigcup_{n \geq 1} B(q_n, r_n).
Por tanto, (a,b) \in \sigma(\mathcal{C}_5) y de aquí \mathcal{C}_1 \subset \sigma(\mathcal{C}_5) y \mathbb{B}= \sigma(\mathcal{C}_1) \subset \sigma(\mathcal{C}_5).
(f). Sea \mathcal{C}_6 la clase formada por los intervalos de la forma (a,b] con a \leq b. Vemos que si a=b es (a,b]= \emptyset y si a <b es
(a,b] = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigg(a,b+\frac{1}{n} \bigg).
Esto prueba que \mathcal{C}_6 \subset \mathbb{B} y, en consecuencia, \sigma(\mathcal{C}_6) \subset \mathbb{B}. Por otro lado,
[a,b] = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigg( a-\frac{1}{n}, b \bigg].
Por lo que [a,b] \in \sigma(\mathcal{C}_6). Esto significa que \mathcal{C}_2 \subset \sigma(\mathcal{C}_6), de donde
\mathbb{B}= \sigma (\mathcal{C}_2) \subset \sigma(\mathcal{C}_6).
Es decir, \mathbb{B}= \sigma(\mathcal{C}_6).
(g). Utilizamos el mismo razonamiento que en (h) con las igualdades
[a,b) = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigg(a-\frac{1}{n}, b \bigg),
[a,b] = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigg[a, b+\frac{1}{n} \bigg).
(h) Sea la clase \mathcal{C}_8 = \{ (-\infty, b): b \in \mathbb{R} \}. Como todo elemento de dicha clase es un abierto se concluye de forma inmediata que
\sigma(\mathcal{C}_8) \subset \mathbb{B}.
Por otro lado,
(-\infty,a] = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigg( -\infty, a+\frac{1}{n} \bigg),
lo que prueba que (-\infty,a]  \in \sigma(\mathcal{C}_8) y también su complementario (a,+\infty) pertenece a \sigma(\mathcal{C}_8). En consecuencia, si a<b, es
(a,b)=(-\infty,b) \cap (a,+\infty)
y resulta que (a,b) \in \sigma(\mathcal{C}_8) por lo que \mathcal{C}_1 \subset \sigma(\mathcal{C}_8) y \mathbb{B}= \sigma(\mathcal{C}_1) \subset \sigma(\mathcal{C}_8). La doble inclusión lleva a la igualdad buscada.

Ejercicio resuelto Espacios vectoriales

Captura de pantalla de 2015-12-04 10-06-31.png

(a) Obviamente W_1 \subset C([0,1]) pues los elementos W_1 son funciones continuas en el intervalo [0,1]. Sean f,g dos elementos del conjunto W_1. Existen pues, a_1,b_1, a_2, b_2, números reales, tales que

f=a_1 x+ b_1 x^3,

g=a_2 x + b_2 x^3.

Sean \lambda, \mu dos números reales.  Entonces

\lambda f + \mu g = \lambda (a_1 x+ b_1 x^3)+ \mu (a_2 x + b_2 x^3) = (\lambda a_1+ \mu a_2) x+ (\lambda b_1 + \mu b_2 ) x^3.

Esto prueba que \lambda f + \mu g pertenece a W_1 y dicho conjunto es un subespacio vectorial de C([0,1]). Usando el  mismo razonamiento podemos ver que W_2 es un subespacio vectorial.

(b) La suma W_1+W_2  es el subespacio vectorial cuyos elementos son de la forma

f+g, con f \in W_1 y g \in W_2.

Pero esto supone que

f+g =ax+bx^3+a' +b'x+c' x^2 = a' + (a+b')x+c'x^2 + bx^3.

Lo que significa que W_1 + W_2 = \{ a+bx+cx^2+dx^3: a,b,c,d \in \mathbb{R} \}. Obviamente la suma no es directa pues

W_1 \cap W_2 = \{ ax : a \in \mathbb{R} \} \neq \{0\}.

Finalmente, es fácil ver que

dim W_1 = 2, dim W_2 = 3.