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Curso EVT. Lectura 27. Topología (2)

Sea (X, \mathcal{T}) un espacio topológico. Decimos que una subcolección no vacía \mathcal{S} de \mathcal{T} es una base de dicha topología si para cada A en \mathcal{T} y cada x \in A, existe S \in \mathcal{S} tal que x \in S \subset A. Esto viene a significar que todo abierto de la topología es unión de elementos de la base. En general, nos interesa dar una base y construir a partir de ella una topología pero para ello una colección cualquiera de conjuntos ha de cumplir algunas condiciones que detallamos a continuación.

Teorema 1. Una colección no vacía \mathcal{S} de partes de un conjunto X es base de una topología \mathcal{T} si y sólo si:
(a) Para cada x \in X, existe al menos un S \in \mathcal{S} con x \in S.
(b) Si x pertenece a la intersección de dos elementos S_1 y S_2 de \mathcal{S}, entonces existe un S_3 \in \mathcal{S} que verifica x \in S_3 \subset S_1 \cap S_2.

Prueba. Supongamos que \mathcal{S} verifica (a) y (b). Definimos entonces la colección \mathcal{T} de los subconjuntos U \subset X tales que si x \in U, entonces existe S \in \mathcal{S}, de forma que x \in S \subset U. Probaremos que \mathcal{T} es una topología sobre X. En efecto, el vacío cumple la condición por omisión y por (a) resulta que X pertenece a \mathcal{T}. Consideremos ahora dos elementos U,W de \mathcal{T}. Si la intersección es vacía no tenemos nada que probar, sea pues no vacía y sea x \in U \cap W, entonces hallaremos S_1,S_2 \in \mathcal{S}, de forma que x \in S_1 \subset U y x \in S_2 \subset W. Aplicando (b) resulta que existe S_3 \in \mathcal{S} de manera que x \in S_3 \subset S_1 \cap S_2 \subset U \cap W. Esto prueba que U \cap W \in \mathcal{T}. Sea ahora una familia (U_i)_{i \in I} de elementos de \mathcal{T} y sea x \in \cup_{i \in I} U_i. Entonces hallaremos un índice i_0 \in I y un elemento S \in \mathcal{S}, de manera que x \in S \subset U_{i_{0}} \subset \cup_{i \in I} U_i. Esto prueba que la unión de los elementos de (U_i)_{i \in I} pertenece a \mathcal{T}. Así pues \mathcal{T} es una topología y es claro que \mathcal{S} \subset \mathcal{T} y cada elemento U de la topología \mathcal{T} es unión de elementos de \mathcal{S}. Para acabar, supongamos que \mathcal{T} es una topología y que \mathcal{S} es una de sus bases. En tal caso, como X \in \mathcal{T}, resulta que para cada x \in X , es posible hallar un S \in \mathcal{S} de manera que x \in S \subset X. Esto prueba (a). Por otro lado, si S_1,S_2 son elementos de la \mathcal{S}, entonces su intersección es un abierto y por ello si es no vacía, dado x \in S_1 \cap S_2, hallaremos S_3 \in \mathcal{S}, que verifica x \in S_3 \subset S_1 \cap S_2. Esto prueba (b) y termina la demostración.

Cuando una topología tiene al menos una base numerable se dice que verifica el segundo axioma de numerabilidad.

Otra noción interesante es la de sub-base. Decimos que una colección no vacía de partes de un conjunto X es una sub-base para una topología sobre dicho conjunto, si las intersecciones finitas de los elementos de la colección forman una base de una topología. La condición para conseguir una sub-base resulta sencilla.

Teorema 2. Una colección no vacía \mathcal{H} de partes de un conjunto X es sub-base de una topología \mathcal{T} si y sólo si la unión de los elementos de la colección es X.

Prueba. Consideremos que \mathcal{H} verifica la condición \cup_{H \in \mathcal{H}} H = X. Sea \mathcal{M} la colección de las intersecciones finitas de los elementos de \mathcal{H}. Probaremos que \mathcal{M} es una base para una topología \mathcal{T} de X. Evidentemente, es \mathcal{H} \subset \mathcal{M}, por lo que si x es un elemento de X, entonces como la unión de los elementos de \mathcal{H} es X, existe un H \in \mathcal{H}, tal que x \in H y así para cada x \in X, existe un H \in \mathcal{M} tal que x \in H (esto prueba la condición (a) del teorema 1). Si x \in M_1 \cap M_2, con M_1, M_2 \in \mathcal{M}, es inmediato que M_1 \cap M_2 pertenece a \mathcal{M}, pues dicha clase tiene por elementos a intersecciones finitas de elementos de \mathcal{H} y tomando M_3 = M_1 \cap M_2 se sigue que M_3 \subset M_1 \cap M_2, (esto prueba la condición (b) del teorema 2). En definitiva \mathcal{M} es una base para una topología sobre X.
Recíprocamente, si consideramos una subbase \mathcal{H}, entonces al ser la colección \mathcal{S} de las intersecciones finitas de dicha subbase una base, se sigue que dicha base verificará la condición (a) del teorema 1. Por ello, para cada x \in X, existe S \in \mathcal{S}, tal que x \in S. Si H_{S} es uno de los elementos de \mathcal{H} que intersecados dan lugar a S, se sigue que x \in S \subset H_{S} y de aquí es evidente que la unión de los elementos de la subbase es igual a todo X.

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Curso EVT. Lectura 26. Topología (1)

Sea X un conjunto. Decimos que una colección \mathcal{T} de partes de X es una topología sobre X si verifica las propiedades siguientes:

(a) el vacío y X pertenecen a \mathcal{T}.

(b) La unión de elementos de \mathcal{T} es un elemento de \mathcal{T}.

(c) La intersección finita de elementos de \mathcal{T} es un elemento de \mathcal{T}.

El par (X, \mathcal{T}) se denomina entonces espacio topológico. En general, se dice simplemente que X es un espacio topológico omitiendo la mención a \mathcal{T} siempre que no haya confusión.

Los conjuntos que pertenecen a \mathcal{T} se llaman abiertos de dicha topología. En resumen, una topología sobre un conjunto es cualquier colección de partes de dicho conjunto que contenga al vacío y al total y que sea cerrada para la unión arbitraria y la intersección finita. En general, sobre un mismo conjunto se pueden definir varias topologías.

También podemos definir de una manera equivalente una topología utilizando un sistema de filtros.

Definición 1. Una familia no vacía \mathcal{F} de partes de un conjunto X es un filtro sobre dicho conjunto si no contiene al vacío, es cerrada para la intersección finita y si para algún F \in \mathcal{F} es F \subset U \subset X, entonces U \in \mathcal{F}.

Una base del filtro \mathcal{F} es cualquier subcolección no vacía \mathcal{B} de \mathcal{F} para la que, dado cualquier F \in \mathcal{F}, existe al menos un B \in \mathcal{B} con B \subset F. Las bases de filtro tampoco contienen al vacío (pues son una subcolección no vacía de una colección que no contiene al vacío). Es evidente que todo filtro es base de sí mismo pero también es posible que un filtro tenga más de una base. Interesa pues ver qué propiedades tienen las bases de filtro.

Teorema 1. Una familia no vacía \mathcal{B} de partes de un conjunto X es una base de un filtro, si no contiene al vacío y para cada par B,B' de elementos de \mathcal{B}, es posible hallar un B'' \in \mathcal{B}, tal que B'' \subset B \cap B'.

Prueba. Consideremos un filtro \mathcal{F} y supongamos que \mathcal{B} es una base de dicho filtro. En tal caso, si B,B' son elementos de \mathcal{B} se sigue que B,B' pertenecen al filtro y, en consecuencia, B \cap B' \in \mathcal{F} (pues los filtros son cerrados para la intersección finita). Solo resta considerar que al ser \mathcal{B} una base del filtro, hallaremos B'' en \mathcal{B}, tal que B'' \subset B \cap B''. Recíprocamente, supongamos que existe una familia no vacía \mathcal{B} de partes de X que verifica las condiciones para ser una base de filtro. Definimos la clase \mathcal{F} = \{ U \subset X: \exists B \in \mathcal{B}, B \subset U \}. Es decir, la colección de todos los subconjuntos de X que incluyen a alguno de \mathcal{B}. Afirmamos que \mathcal{F} es un filtro y que \mathcal{B} es una de sus bases. En efecto, \mathcal{F} es no vacía pues todos los elementos de \mathcal{B} están por definición en \mathcal{F}. Además no contiene al vacío pues ningún elemento de \mathcal{B} es vacío. Sean U,U' elementos de \mathcal{F}, hallaremos B,B' en \mathcal{F}, tales que B \subset U y B' \subset U'. Como \mathcal{B} es una base de filtro, hallaremos B'' \in \mathcal{B}, tal que B'' \subset B \cap B' \subset U \cap U'. Lo que prueba que U \cap U' es un elemento de \mathcal{F}. Finalmente, si Z es un subconjunto de X que contiene a algún U \in \mathcal{F}, entonces existe B \in \mathcal{B}, tal que B \subset U \subset Z y de aquí Z \in \mathcal{F}. Esto termina la demostración.

Sea ahora (X, \mathcal{T}) un espacio topológico. Decimos que un conjunto U es un entorno de un punto x \in X si existe al menos un abierto A tal que x \in A \subset U. Según esta definición, los abiertos son entornos de todos sus puntos. Consideremos x fijo y definamos la familia \mathcal{F}(x) = \{ U \subset X : \exists A \in \mathcal{T} : x \in A \subset U \}. Esto es, la familia de todos los entornos del punto x. Afirmamos que dicha familia es un filtro.

Teorema 2. La colección de entornos de un punto x de un espacio topológico (X,\mathcal{T}) es un filtro.

Prueba. En primer lugar, si U es un entorno de x, entonces x \in U por lo que ningún entorno es vacío. Sean U y V, entornos de x. Hallaremos abiertos A y B, tales que x \in A \subset U y x \in B \subset V. Por ello, x \in A \cap B \subset U \cap V y como A \cap B es abierto, se sigue que U \cap V es un entorno de x. Finalmente, si W es un subconjunto de X y existe un entorno U de x, tal que U \subset W, es inmediato que hallaremos un abierto A con x \in A \subset U \subset W, lo que implica que W es un entorno de x.

Así en un espacio topológico podemos definir una colección de filtros de entornos (\mathcal{F}(x))_{x \in X}. Tal colección resulta ser un sistema pues están relacionados unos filtros con otros como muestra la condición (b) del siguiente teorema.

Teorema 3. Sea (X, \mathcal{T}) un espacio topológico y sea (\mathcal{F}(x))_{x \in X} la colección de filtros de entornos determinada a partir de los abiertos de la topología. Afirmamos que
(a) Para todo U \in \mathcal{F}(x) es x \in U.
(b) Si U \in \mathcal{F}(x), existe un V \in \mathcal{F}(x), de forma que para cada y \in V es U \in \mathcal{F}(y).

Prueba. La propiedad (a) es inmediata. Veamos (b). Sea U un entorno de x. Hallaremos un abierto A, de forma que x \in A \subset U. Como A es abierto, entonces trivialmente es entorno de x (y de todos sus puntos). Escribimos A = V, y podemos concluir que si y \in V, entonces de V \subset U, se sigue que U \in \mathcal{F}(y).

El teorema anterior nos da la clave para definir una topología a partir de un sistema de filtros.

Teorema 4. Sea X un conjunto no vacío y consideremos un sistema de filtros (\mathcal{F}(x))_{x \in X}, definidos sobre dicho conjunto y con las propiedades (a) y (b) del teorema 3. Entonces la colección \mathcal{S} de los conjuntos A definidos mediante: A \in \mathcal{S} si y sólo si para cada x \in A, es A \in \mathcal{F}(x), resulta una topología sobre X.

Prueba. Sea x un elemento de X. Por (a), resulta que x \in U \subset X, para todo U \in \mathcal{F}(x). Esto significa que X pertenece a \mathcal{F}(x) (no olvidemos que dicha colección es un filtro) y, en consecuencia, para todo x \in X es X \in \mathcal{F}(x) y X \in \mathcal{S}. El conjunto vacío también pertenece a \mathcal{S} pues verifica la condición necesaria por omisión. Sean A y A' dos elementos de \mathcal{S} y sea A \cap A'. Si dicha intersección es vacía entonces pertenece a \mathcal{S} y si no lo es, dado X \in A \cap A', resulta que A \in \mathcal{F}(x) y también A' \in \mathcal{F}(x). Supongamos que \mathcal{B}(x) es una base del filtro \mathcal{F}(x) (sabemos que todo filtro tiene al menos una base). Entonces, hallaremos B,B',B'' \in \mathcal{B}(x), tales que x \in B'' \subset B \cap B' \subset A \cap A'. Pero esto prueba que A \cap A' \in \mathcal{F}(x) pues contiene a un elemento de la base del filtro \mathcal{F}(x). Así pues, A \cap A' \in \mathcal{S}. Finalmente, si (A_i)_{i \in I} es una colección de elementos de \mathcal{S}, y x es un elemento de \cup_{i \in I} A_i, hallaremos un i_0 \in I para el que x \in A_{i_{0}}. Esto es, A_{i_{0}} \in \mathcal{F}(x). Pero como A_{i_{0}} \subset \cup_{i \in I} A_i, se sigue que la unión también pertenece al filtro \mathcal{F}(x) y de aquí que dicha unión sea un elemento de \mathcal{S}.

Curso EVT. Lectura 25. Cardinales (8)

No definiremos de manera precisa lo que entendemos por cardinal pues ello precisaría de la teoría de los ordinales. Consideraremos pues un cardinal como una “clase de equivalencia” formada por conjuntos equinumerosos. La definición de las operaciones entre cardinales las haremos utilizando representantes. De esta manera si \alpha es un cardinal, escribiremos |A| =  \alpha para indicar que A pertenece al cardinal \alpha. Tampoco daremos las demostraciones de todos los teoremas.

Definición 1. Sean \alpha y \beta dos cardinales y sean A y B conjuntos disjuntos tales que |A|= \alpha y |B|= \beta. Se define la suma \alpha + \beta como el cardinal del conjunto A \cup B

Esta definición es consistente pues se prueba con facilidad que es independiente de los representantes elegidos. Podemos extender esta definición para la suma de un número arbitrario de cardinales.

Definición 2. Sea ( \alpha_{i})_{i \in I} una familia de cardinales y sea (A_{i})_{i \in I} una familia de conjuntos tales que |A_{i}| = \alpha_{i} para cada i \in I. Se define su suma \sum_{i} \alpha_{i} como el cardinal del conjunto \bigcup_{i \in I} (A_{i} \times \{ i \}).

De nuevo resulta una definición consistente pues no depende de los representantes que se elijan, además para cada i de I es cierta la igualdad |A_{i} \times \{ i \}| = |A_{i}|, siendo los conjuntos de la familia (A_{i} \times \{i \})_{i \in I} disjuntos dos a dos.

Teorema 1. Sean \alpha, \beta y \gamma tres cardinales cualesquiera. Se cumplen:
a) \alpha + \beta = \beta + \alpha.
b) Si | \emptyset | = 0, entonces \alpha+0 = 0 + \alpha = \alpha.
c) \alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta)+ \gamma.
Definición 3. Sean \alpha y \beta dos cardinales y sean A y B conjuntos tales que |A|= \alpha y |B|= \beta. Se define el producto \alpha  \beta como el cardinal del conjunto A \times B.

Como vemos no se exige que los conjuntos sean disjuntos. Ahora bien, si uno de ellos es vacío, el producto cartesiano será vacío.

Definición4. Sea ( \alpha_{i})_{i \in I} una familia de cardinales y sea (A_{i})_{i \in I} una familia de conjuntos tales que |A_{i}| = \alpha_{i}. Se define el producto \prod_{i \in I} \alpha_{i} como el cardinal del producto cartesiano \prod_{i \in I} A_{i}.

Si ninguno de los cardinales es cero entonces ninguno de los conjuntos de la familia será vacío y el producto cartesiano no será vacío en virtud del axioma de elección.

Teorema 2. Sean \alpha, \beta y \gamma cardinales cualesquiera. Entonces
a) (\alpha  \beta) \gamma = \alpha  (\beta \gamma).
b) \alpha \beta = \beta \alpha.
c) \alpha 1 = \alpha, donde 1 es el cardinal del natural \{ 0 \}.
d) \alpha (\beta+ \gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma.
e) \alpha 0 = 0.
f) \sum_{i \in I} \alpha = |I| \alpha.

Señalemos en especial la propiedad (f) pues la hemos usado en la demostración de la equicardinalidad de las bases de un mismo espacio vectorial.

Definición 5. Se dice que un cardinal \alpha es menor o igual que otro cardinal \beta si podemos hallar conjuntos A y B para los que |A|= \alpha, |B| = \beta y existe una función f:A \rightarrow B inyectiva. En tal caso, escribimos \alpha \leq \beta.
Teorema 3. Si (\alpha_{i})_{i \in I} es una familia de cardinales y (A_{i})_{i \in I} es una familia de conjuntos con |A_{i}| = \alpha_{i} para cada i \in I, entonces |\bigcup_{i \in I} A_{i} | \leq \sum_{i \in I} \alpha_{i}.
Teorema 4. Sean ( \alpha_{i})_{i \in I} y ( \beta_{i})_{i \in I} dos familias de números cardinales tales que \alpha_{i} \leq \beta_{i}, para todo i \in I, entonces:

a) \sum_{i \in I} \alpha_{i} \leq \sum_{i \in I} \beta_{i}.
b) \prod_{i \in I} \alpha_{i} \leq \prod_{i \in I} \beta_{i}.

Es importante señalar que estas propiedades no se cumplen siempre si la desigualdad entre los cardinales es estricta.

Teorema 5. Sea \alpha un cardinal infinito y sea \omega el cardinal de los naturales. Entonces si \beta es un cardinal que cumple \beta \leq \omega, concluimos que \alpha + \beta = \alpha.

Prueba. Consideremos A y B tales que A \cap B = \emptyset y |A| = \alpha y |B| = \beta. Sabemos que todo conjunto infinito contiene un subconjunto numerable. Por tanto, existe C \subset A tal que |C| = \omega. Escribimos C = \{c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}, \ldots \} y definimos la función f: \mathbb{N} \cup A \rightarrow A, mediante

c_{2n} si x  \in \mathbb{N}.
c_{2n-1} si x \in C.
x si x \in A-C.

Esta función es biyectiva y esto prueba que |\mathbb{N} \cup A| = |A|. Es decir, \omega+ \alpha = \alpha. Aplicando (a) del teorema 4 concluimos de la desigualdad \beta \leq \omega que \alpha+\beta \leq \alpha+\omega = \alpha \leq \alpha + \beta y en virtud del teorema de Schröder-Bernstein es \alpha+\beta = \alpha.

Podemos obtener un conocido resultado a partir de esta demostración.

Corolario 1. Si \omega es el cardinal de los naturales, entonces \omega+ \omega = \omega.

Prueba. Bastará tomar \alpha = \omega y \beta = \omega en el teorema anterior.

Teorema 6. Si \alpha es un cardinal infinito, entonces \alpha+\alpha = \alpha y \alpha \alpha = \alpha.
Teorema 7. Si \alpha y \beta son cardinales mayores que cero y alguno de ellos es infinito, entonces \alpha+\beta =  \alpha \beta = \max \{\alpha, \beta \}.
Teorema 8. Si (A_{i})_{i \in I} es una familia de conjuntos y |A_{i}|= \alpha_{i} para i \in I, entonces |\bigcup_{i \in I} A_{i} | \leq  |I | \bigcup_{i \in I} | A_{i} | \leq |I | \sum_{i \in I} \alpha_{i}.
Definición 6. Sean \alpha y \beta dos cardinales y sean A y B dos conjuntos tales que |A| =  \alpha y |B| = \beta. Definimos \alpha^{\beta} como el cardinal del conjunto A^{B} formado por todas las aplicaciones f:B \rightarrow A.
Teorema 9. Para cualesquiera cardinales \alpha, \beta, \gamma, \delta, se cumplen:
a) Si \alpha >0 y \beta \leq \gamma, entonces \alpha^{\beta} \leq \alpha^{\gamma}.
b) Si \alpha \leq \gamma, entonces \alpha^{\delta} \leq \gamma^{\delta}.

Acabamos esta colección de resultados con un teorema.

Teorema 10. Si \alpha, \beta y $\gamma$ son cardinales, entonces
a) \alpha^{\beta+\gamma} = \alpha^{\beta} \alpha^{\gamma}.
b) \alpha^{\beta \gamma} = (\alpha^{\beta})^{\gamma}.
c) (\alpha \beta)^{\gamma} = \alpha^{\gamma} \beta^{\gamma}.

Curso EVT. Lectura 24. Cardinales (7)

Vamos a ver otro interesante resultado que involucra a los números reales

Teorema 1. Se cumple que |\mathcal{P}(\mathbb{N})| \leq |\mathbb{R}|

Prueba. Para llevar a cabo esta demostración vamos a utilizar el llamado conjunto de Cantor. Sea el intervalo cerrado unidad C_{1} =[0,1]. Dividimos este intervalo unidad en tres partes
\displaystyle  I_{1} =\bigg[0, \frac{1}{3}\bigg], I_{2} =\bigg]\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \bigg[, I_{3} =\bigg[\frac{2}{3}, 1 \bigg]
y tomamos las dos partes cerradas extremas para formar la unión:
\displaystyle C_{2} = \bigg[0, \frac{1}{3}\bigg] \cup \bigg[\frac{2}{3}, 1 \bigg].
Repetimos el proceso para cada una de estas nuevas partes:
\displaystyle \bigg[0, \frac{1}{9}\bigg],\bigg]\frac{1}{9}, \frac{2}{9}\bigg[,\bigg[\frac{2}{9}, \frac{3}{9}\bigg],
\displaystyle \bigg[\frac{6}{9}, \frac{7}{9}\bigg],\bigg]\frac{7}{9}, \frac{8}{9}\bigg[,\bigg[\frac{8}{9}, 1\bigg].
Construimos entonces
\displaystyle C_{3} = \bigg[0, \frac{1}{9}\bigg] \cup \bigg[\frac{2}{9}, \frac{3}{9}\bigg] \cup \bigg[\frac{6}{9}, \frac{7}{9}\bigg] \cup \bigg[\frac{8}{9}, 1\bigg]

conjuntocantor

Este proceso sigue indefinidamente y se caracteriza por las propiedades siguientes
(i)Cada C_{m+1} está incluido en C_{m}
(ii) Cada C_{m} es la unión de 2^{m-1} intervalos cerrados disjuntos.
Al conjunto intersección C = \cap_{i=1}^{\infty} C_{i} le llamamos conjunto de Cantor. Construiremos una función inyectiva de \Delta en C. Para ello, recordemos que en la construcción del conjunto de Cantor cada uno de los 2^{m-1} intervalos [a,b] de C_{m} se reemplaza por 2 intervalos
\displaystyle L[a,b] =\bigg[a, a+\frac{1}{3}(b-a) \bigg], R[a,b] = \bigg[ a+\frac{2}{3}(b-a),b \bigg].
Esto nos va a servir para asociar a cada sucesión infinita de \Delta uno de estos dos intervalos. En efecto, sea \delta(n) una sucesión infinita de ceros y unos, definimos

\displaystyle F_{1}^{\delta}= C_{1},
\displaystyle F_{n+1}^{\delta} = LF_{n}^{\delta}, si \delta(n)=0,
\displaystyle F_{n+1}^{\delta}=RF_{n}^{\delta}, si \delta(n) = 1

Evidentemente, cada F_{n}^{\delta} es subconjunto de C_{n} por lo que F_{n+1}^{\delta} \subset F_{n}^{\delta} y obtenemos una sucesión decreciente de intervalos cerrados. La completitud de la recta implica entonces que su intersección es un único punto que llamaremos f(\delta). La función inyectiva que vamos a construir será pues aquella que a cada sucesión \delta le asocia el único punto f(\delta). En efecto, está bien definida y si suponemos que dos sucesiones \delta y \epsilon de \Delta son diferentes, entonces hallaremos un valor mínimo n \in \mathbb{N} tal que \delta(i) = \epsilon(i) para i \leq n y es \delta(n) = 0 pero \epsilon(n) =1 (o al contrario sin pérdida de generalidad). Entonces f(\delta) \in F_{n+1}^{\delta}=LF_{n}^{\delta} y también f(\epsilon) \in F_{n+1}^{\epsilon}=RF_{n}^{\delta}. Los intervalos LF_{n}^{\delta} y RF_{n}^{\delta} son disjuntos por lo que las imágenes f(\delta) y f(\epsilon) son diferentes. Esto prueba que la aplicación es inyectiva. Evidentemente, la aplicación f también es inyectiva de \Delta en \mathbb{R} y esto prueba que |\Delta| \leq |\mathbb{R}|. Como sabemos que |\Delta|=|\mathcal{P}(\mathbb{N})| se sigue el enunciado del teorema y esto termina nuestra demostración.

Vamos a probar ahora la relación contraria.

Teorema 2. Se cumple que |\mathbb{R}| \leq |\mathcal{P}(\mathbb{N})| .

Prueba. Sea I=]0,1[ el intervalo abierto unidad. Consideremos cada número de dicho intervalo en base dos. Esto es, para cada x de I escribimos
\displaystyle x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{ 2^{n}},
donde a_{i} es 0 o 1. La aplicación f que a cada x le hace corresponder la sucesión (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots) es inyectiva ya que si dos sucesiones de ceros y unos son iguales entonces han de representar al mismo número real x. Por tanto, |]0,1[| \leq | \Delta |. Ahora bien, sabemos que el intervalo abierto unidad es equipotente a la recta real y de aquí que |\mathbb{R}| \leq | \Delta |= |\mathcal{P}(\mathbb{N})|

Los teoremas 1 y 2 nos muestran dos desigualdades entre cardinales de la forma a \leq b y b \leq a. Podemos preguntarnos si, como en el orden usual, estas dos desigualdades implican que a=b. La respuesta es afirmativa y viene dada por el teorema llamado de Cantor-Schröder-Bernstein. Para demostrarlo utilizaremos un lema auxiliar

Lema 1.Sean A_{1}, B y A conjuntos tales que A_{1} \subset B \subset A. Si |A_{1}| = |A|, entonces |A| = |B|

Prueba. Como A y A_{1} son equipotentes existe una biyección entre ellos f:A \rightarrow A_{1}. Construimos a partir de esta biyección un par de sucesiones de conjuntos mediante

\displaystyle A_{n} =A, si n=0,
\displaystyle A_{n} = f^{n}(A) , si n \geq 1.
\displaystyle  B_{n} = B, si n =0.
\displaystyle  B_{n} = f^{n}(B), si n \geq 1.

Obsérvese que de la inclusión A_{1} \subset B=B_{0} \subset A_{0} = A se sigue fácilmente por inducción que f^{n}(A_{1}) \subset f^{n} (B_{0}) \subset f^{n} (A_{0}). Esto es, A_{n+1} \subset B_{n} \subset A_{n} para todo n. Definimos C_{n} = A_{n}- B_{n} para cada n. Como f es inyectiva tenemos que f(C_{n}) = f(A_{n})- f(B_{n}) = A_{n+1} -B_{n+1} = C_{n+1}. Sea entonces
\displaystyle C = \bigcup_{n=0}^{\infty} C_{n},
\displaystyle D = A-C.
Esto significa que
\displaystyle f(C) = f(\cup_{n=0}^{\infty} C_{n})= \cup_{n=0}^{\infty}f(C_{n}) = \cup_{n=0}^{\infty}C_{n+1} = \cup_{n=1}^{\infty}C_{n}.
\displaystyle D = A-C = A -\bigcup_{n=0}^{\infty} C_{n} = \bigcap_{n=0}^{\infty} (A-C_{n}).
Entonces f(C) \cup D = B (unión disjunta) y definimos una aplicación g:A \rightarrow B mediante

\displaystyle g (x) =f(x), si x \in C,
\displaystyle g (x) =x, si x \in D,

Esta aplicación es una biyección entre A y B, luego |A| = |B|

Lema 2.Sean A y B dos conjuntos y sea f: A \rightarrow B una aplicación inyectiva. Si |f(A)| = |B| entonces |A| = |B|.

Prueba. Si f: A \rightarrow B es una aplicación inyectiva, entonces la aplicación f: A \rightarrow f(A) es una biyección. Si suponemos que |f(A)| = |B|, entonces existe una biyección h: f(A) \rightarrow B por lo que la composición h \circ f es una biyección entre A y B y esto termina la demostración.

Teorema 3 (Cantor-Schröder-Bernstein).Sean A y B dos conjuntos tales que |A| \leq B y |B| \leq |A|. Entonces |A| = |B|.

Prueba. Existen aplicaciones inyectivas f: A \rightarrow B y g:B \rightarrow A. Por tanto, la composición g \circ f:A \rightarrow A es una biyección (ya que el ser una inyección de un conjunto en sí mismo resulta también sobreyectiva). Claramente
\displaystyle g \circ f (A) \subset g(B) \subset A..
Obviamente |g \circ f(A)| = |A |, por lo que aplicando el lema 1 concluimos que |A | = |g(B) |. Finalmente, aplicando el lema 2 concluimos que |A|=|B|.

Estos resultados nos llevan a afirmar que |\mathcal{P}(\mathbb{N})| =|\mathbb{R}|.

Curso EVT. Lectura 23. Cardinales (6)

Vamos a ver que cualquier intervalo acotado no vacío y que no se limite a un solo punto (degenerado) es equipotente a toda la recta real.

Teorema 1. Todo intervalo I \subset \mathbb{R}, no vacío ni degenerado, es equipotente a \mathbb{R}

Prueba. Consideremos los intervalos unidad I_{1}=[0,1], I_{2}=[0,1[ e I_{3} =]0,1]. Vamos a establecer una biyección entre dichos intervalos y el intervalo ]0,1[. Comenzamos con el intervalo cerrado I_{1}. Sea A = \mathbb{Q} \cap I_{1} el conjunto de los racionales del intervalo cerrado unidad y sea B=\mathbb{Q} \cap ]0,1[ el conjunto de los racionales del intervalo abierto unidad. Como A y B son subconjuntos infinitos de un conjunto numerable serán también infinito numerables por lo que existe una biyección g_{1} entre A y B. Vamos a definir entonces la aplicación f_{1} entre [0,1] y ]0,1[ mediante

f_{1}(x) = x, si x \in [0,1]-A
f_{1}(x) = g_{1}(x), si x \in A.

Esta aplicación es una biyección entre [0,1] y ]0,1[. Para el resto de intervalos sólo hay que modificar ligeramente la argumentación para obtener las correspondientes biyecciones f_{2} y f_{3}. Sean ahora a y b dos números reales con a<b. Podemos definir cualquier intervalo no vacío, acotado y no degenerado como alguno de los [a,b], [a,b[, ]a,b] y ]a,b[. La aplicación h(x) = \frac{1}{b-a} (x-a) es una biyección de cada uno de ellos en los intervalos [0,1], [0,1[, ]0,1] y ]0,1[, respectivamente. Las composiciones f_{i} \circ h, para i=1,2,3 resultan pues biyecciones de cada uno de los intervalos [a,b], [a,b[, ]a,b] en el intervalo abierto unidad ]0,1[. Como dicho intervalo es equipotente a la recta real, cada uno de estos intervalos resulta también equipotente a la recta real. Finalmente, el intervalo abierto ]a,b[ se pone en biyección con el intervalo abierto unidad mediante h y por ello también es equipotente a \mathbb{R}. Esto termina nuestra demostración.

Sea X un conjunto y sea A un subconjunto de X.

Definición 1. La función característica o indicadora de A es la función \lambda_{A} : X \rightarrow \{0, 1\}, dada por \lambda_{A} (x) = 1 si x \in A y \lambda_{A}(x) = 0 si x \notin A.

Veamos algunas interesantes propiedades de esta función.

Teorema 2. Sean A y B subconjuntos de X. Se cumplen
a) \lambda_{X} =1 y \lambda_{\emptyset} = 0.
b)A \subset B, si y sólo si \lambda_{A} \leq \lambda_{B}.
c)\lambda_{A} = \lambda_{B} si y sólo si A=B.
d)\lambda_{A \cap B} = \lambda_{A} \lambda_{B}.
e)\lambda _{A \cup B} + \lambda_{A \cap B} = \lambda_{A} + \lambda_{B}.
e)\lambda_{\overline{A}} = 1 - \lambda_{A}

Prueba. Trivialmente, para todo x \in X será \lambda_{X} (x) = 1 por lo que la función característica de la totalidad del conjunto será la función constante e igual a la unidad. Análogamente, como ningún x \in X pertenece al conjunto vacío, la función característica del conjunto vacío será la función constante e igual a cero. Esto prueba el apartado (a). Sean ahora A y B dos conjuntos y supongamos que A \subset B. En tal caso, para cada x \in A tenemos x \in B por lo que \lambda_{A} (x) =1 \leq 1 =\lambda_{B} (x). Si fuera x \in B pero x \notin A, tendríamos que \lambda_{A} (x) = 0 \leq 1 = \lambda_{B} (x) y, para acabar, si fuera x \notin B, entonces también x \notin A por lo que \lambda_{A} (x) = 0 \leq 0 = \lambda_{B} (x). En todos los casos es \lambda_{A} (x)  \leq  \lambda_{B} (x), lo que permite escribir la desigualdad \lambda_{A} \leq \lambda_{B}. El recíproco es análogo. Por tanto, hemos probado (b). Para probar (c), bastará darse cuenta que A = B si y sólo si A \subset   B y B \subset A y aplicar (b). El resto de demostraciones las dejamos a cargo del lector por su simplicidad.

Sea $X$ un conjunto cualquiera. Designamos por \mathcal{P}(X) el conjunto de todos sus subconjuntos (o partes).

Teorema 3. El conjunto \{0,1\}^{X} de todas las funciones características de X es equipotente al conjunto de sus partes \mathcal{P}(X).

Prueba. Sea la función f: \mathcal{P} (X) \rightarrow \{0,1\}^{X}, definida por f(A) = \lambda_{A} para cada A \in \mathcal{P}(X). Veremos que es una biyección. En efecto, si fuera \lambda_{A} = \lambda_{B}, entonces A = B por (c) del teorema 2. Esto prueba que f es inyectiva. Sea ahora h un elemento cualquiera de \{0,1\}^{X}. El conjunto A = \{ x \in X : h(x) =1 \} nos sirve para comprobar que \lambda_{A} = h y concluimos que f es sobreyectiva.

Con este resultado y apoyándonos en el teorema 1 de la lectura 22 estamos en condiciones de probar un interesante resultado.

Teorema 4. El conjunto de las partes de \mathbb{N} es no numerable.

Prueba. Evidentemente, el conjunto \{0,1 \}^{\mathbb{N}} de las funciones características de \mathbb{N} coincide con \Delta. Por tanto, aplicando el teorema 3 es \mathcal{P}(\mathbb{N}) equipotente a \Delta y aplicando el teorema 1 de la lectura 22 resultará que al ser \Delta no numerable también lo es \mathcal{P}(\mathbb{N}). Aquí termina la demostración.

Existe un resultado más general debido a Cantor que relaciona un conjunto con el conjunto de sus partes.

Teorema 5. Sea A un conjunto. Entonces |A |< |\mathcal{P}(A)|

Prueba. En primer lugar, la aplicación f: A \rightarrow \mathcal{P}(A), dada por f(x) = \{x \} es inyectiva. Por tanto, |A| \leq |\mathcal{P}(A)|. Veamos que no existe ninguna aplicación sobreyectiva entre A y el conjunto de sus partes utilizando la reducción al absurdo. Sea \phi : A \rightarrow \mathcal{P}(A) tal aplicación sobreyectiva y consideremos el conjunto B = \{x \in A : x \notin \phi(x) \}. Para dicho conjunto B podríamos hallar al menos un b \in X tal que \phi(b) = B. Por tanto, si b \in B concluiremos que b \notin \phi(b) = B y si b \notin B concluiremos que b \in \phi(b) =B. En cualquier caso hay contradicción. Así pues, no existe tal aplicación sobreyectiva y el teorema queda demostrado.

Esto permite construir una serie de infinitos cada vez mayores partiendo de un conjunto infinito cualquiera. Por ejemplo, partimos de los naturales y el conjunto de sus partes es “mayor” que los naturales. El conjunto de las partes de las partes será mayor y así sucesivamente. En la siguiente lectura veremos que el conjunto de los números reales es equipotente al de las partes de los naturales y como herramienta de esta prueba definiremos el llamado “Conjunto de Cantor”.

Nuevo texto de Variable compleja

Hoy he adquirido de la editorial electolibris el texto “Variable Compleja. Problemas y complementos” de Gabriel Vera Botí. Al comprar su versión en texto te regalan la versión electrónica. Me ha parecido un buen texto para repasar y afianzar conocimientos. Sobre todo teniendo en cuenta que el excelente texto de “Problemas de Análisis Matemático” presente en mi estantería es una obra del profesor Vera junto con F. Bombal y L. Rodríguez.

Lecturas

Estoy leyendo un librito muy interesante titulado “La Geometría del Universo” de Manuel de León. Trata sobre la evolución de nuestra idea de la forma y la medida del universo. Se lee bastante fácil y hace referencias que no conocía.