Ejercicios G. N. Berman (V)

Captura de pantalla de 2017-10-23 21-22-59

Algunos límites de funciones trigonométricas resueltos y razonados.

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Un problema con dos recipientes

En una de mis clases se me planteó el siguiente problema:
“Tenemos un recipiente con capacidad de 7 litros y otro con capacidad de 4 litros. ¿Cómo podemos medir 10 litros utilizando ambos?”
En un primer momento se me ocurrió una respuesta ecológica que implicaba un tercer recipiente para ir poniendo el líquido sobrante, pero veo que hay otra respuesta que no implica tal recipiente y que conlleva tirar parte del líquido. Es la que sigue:
1. Llenamos el recipiente de 7 litros completamente

recipiente1

2. Vertemos el líquido del recipiente de 7 litros en el de 4 hasta llenarlo.

recipiente2

3. Ahora viene la parte “no ecológica”. Vaciamos totalmente el recipiente de 4 litros.

recipiente3

4. Ahora vertemos los 3 litros que quedaban en el recipiente mayor al recipiente menor.

recipiente4

5. Llenamos ahora totalmente el recipiente de 7 litros y ya tenemos 10 litros entre los dos.

recipiente5

Ejercicio de trigonometría

Si x e y varían de forma que su suma x+y se conserva constante (igual a \alpha), hállese:

1. Entre qué límites varía \sin x+ \sin y.

2. Entre qué límites varía \sin x  \sin y

Solución

1. Recordemos que \sin x+ \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}. Por tanto, aplicamos que x+y = \alpha y obtenemos

\sin x+ \sin y = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{x-y}{2}

Pero, ¿vale la pena buscar alguna relación para obtener x-y en función de \alpha?. La verdad es que no pues sólo nos piden su variación. Por tanto, recordando que |cos u | \leq 1, tenemos

| \sin x+ \sin y| = 2| \sin \frac{\alpha}{2}| |\cos \frac{x-y}{2}| \leq 2| \sin \frac{\alpha}{2}|

Es decir, que \sin x+ \sin y varía entre -2\sin \frac{\alpha}{2} y 2 \sin \frac{\alpha}{2}.

2. En este caso utilizamos la relación

\cos(x+y) - \cos (x-y) = -2 \sin x \sin y

Es decir, \frac{1}{2}(\cos (x-y)-\cos \alpha) = \sin x \sin y. Por tanto, podemos afirmar que

\frac{1}{2} (-1-\cos \alpha) \leq \sin x \sin y \leq \frac{1}{2} (1-\cos \alpha).

Cosas de Logaritmos

En mi biblioteca permanecen algunos textos de ejercicios de Álgebra y Análisis de la Editorial Mir que me sirvieron en su momento para profundizar conceptos y sobre todo para adquirir práctica en la resolución de problemas. Entre ellos se halla el titulado “Álgebra y Análisis de Funciones Elementales”. Como consecuencia de una duda sobre logaritmos tuve ocasión de releerlo y me encontré con un ejercicio que me llamó la atención. Es el siguiente:

Hállese \displaystyle \log_{24} 72, sabiendo que \log_{6}2 =a.

Mi primer planteamiento fue utilizar la definición de logaritmo. Esto es, plantear
\displaystyle \log_{24} 72 =x \Rightarrow 24^x = 72.
Una vez descompuestos factorialmente los números que intervienen en la ecuación exponencial tendríamos
\displaystyle (2^{3} 3)^{x} = 2^{3} 3^{2} \Rightarrow 2^{3x-3} = 3^{2-x}.
Esto es innecesariamente complicado pues precisa de una resolución gráfica o analítica (el siguiente gráfico está tomado de http://www.wolframalpha.com):

logaritmos

Además no es ese el objetivo del ejercicio. En realidad todo se hace muy sencillo si utilizamos el cambio de base y las propiedades de los logarítmos. Así tenemos que

\displaystyle \log_{24} 72 = \frac{\log_{6} 72}{\log_{6} 24} =\frac{\log_{6} (3^{2} 2^{3})}{\log_{6} (2^{3} 3)}=\frac{2\log_{6} 3 +3 \log_{6} 2}{\log_{6} 3+3 \log_{6} 2}

Como sabemos que \log_{6} 2 =a, podemos sustituir para obtener

\displaystyle \log_{24} 72 = \frac{2\log_{6} 3 +3 a}{\log_{6} 3+3a}.

Ahora bien, como \displaystyle \log_{6} 3 = \log_{6} (\frac{6}{2}) = \log_{6} 6- \log_{6} 2 = 1-a, podemos terminar el ejercicio en la forma

\displaystyle \log_{24} 72 = \frac{2\log_{6} 3 +3 a}{\log_{6} 3+3a} =\frac{2(1-a) +3 a}{1-a+3a} = \frac{2+a}{1+2a}.

Problemas resueltos (Carothers). Ampliación (14)

Vamos a completar los resultados de la entrada (13) de (Carothers). En primer lugar, probaremos que si \lim \inf a_n = -\infty, entonces -\infty es un punto de aglomeración de la sucesión a_n y, evidentemente, el menor de ellos.

Si \lim \inf a_n = \sup_{n} \{inf \{a_k : k \geq n \} \} = - \infty. Es claro que

\inf \{a_k : k \geq n \} = - \infty, para todo n .

Esto significa que la sucesión a_n no está acotada inferiormente por lo que para todo \epsilon >0 existe un entero positivo n > \epsilon, de forma que para cierto entero m(n) es a_{m(n)} <-n<-\epsilon y el entorno E(+\infty, \epsilon) =[-\infty, \epsilon) contiene una infinidad de términos de la sucesión (en concreto los a_{m(n)}) por lo que -\infty es punto de aglomeración de ésta.

Sea \lim \inf a_n = +\infty, sabemos que \lim a_n =+\infty por lo que +\infty será el único punto de aglomeración (recordemos que el límite, si existe, es el único punto de aglomeración).

Razonamientos análogos prueban que en el caso de que \lim \sup a_n = +\infty, -\infty , dicho límite superior es el mayor de los puntos de aglomeración de de la sucesión a_n. Estamos ahora en condiciones de dar otro importante resultado.

Teorema 1. Todo punto de aglomeración de una sucesión a_n es el límite de una subsucesión de a_n.

Prueba. Recordemos el teorema 2 de la entrada (13) de (Carothers):

El punto p \in \mathbb{R} es de aglomeración de una sucesión a_n de números reales si y sólo si
Para todo \epsilon > 0 y para todo N \in \mathbb{N}, existe un n > N tal que a_n \in E(p,\epsilon).

Esto significa que si p es un punto de aglomeración de a_n podemos forma una subsucesión a_m(n) convergente a p sin más que tomar para cada \epsilon>0 y cada n un entero positivo m(n) > n, de forma que a_{m(n)} \in E(p, \epsilon).

El teorema 1 junto con los resultados ya probados nos permite dar una serie de interesantes corolarios.

Corolario 1. Una sucesión a_n de números reales es convergente a un punto de la recta ampliada si y sólo si todas sus subsucesiones convergen al mismo punto.

Prueba. Si p \in \mathbb{R} es el límite de a_n y a_{n(m)} es una subsucesión de a_{n(m)} entonces es evidente que también a_{n(m)} converge a p. Recíprocamente, si todas las subsucesiones de a_n convergen al mismo punto p, concluimos que dicho punto es el único punto de aglomeración y que \lim \inf a_n = \lim \sup a_n = p = \lim a_n.

Corolario 2. Sea a_n una sucesión de números reales tal que las subsucesiones a_{2n} y a_{2n+1} convergen al mismo punto. Entonces la sucesión a_{n} converge a dicho punto. El recíproco también es cierto.

Prueba. Sea \epsilon>0. Hallaremos un entero positivo N_1 tal que a_{2n} \in E(p, \epsilon) para n \geq N_1 y otro entero positivo N_2 tal que a_{2n+1} \in E(p, \epsilon), si n \geq N_2. Tomando N= \max \{N_1, N_2 \} es a_{n} \in E(p,\epsilon), si n \geq N, lo que prueba que \lim a_n = p. El recíproco es inmediato en virtud del corolario 1.

Problemas Resueltos (Carothers). Ampliación (13)

Sea a_n una sucesión de números reales. Sea A un subconjunto de la recta real, definimos el soporte de A como el subconjunto de enteros positivos:

s(A)= \{n \in \mathbb{N} : a_n \in A \}.

El lector observará que si f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} es la aplicación que define la sucesión a_n, el soporte de A \subset \mathbb{R} no es más que el conjunto f^{-1}(A).

imgcarothers2

Si A \subset B, entonces s(A) \subset s(B). En efecto, recordemos que A \subset B implica s(A)=f^{-1}(A) \subset f^{-1}(B) = s(B).

Sea x un número real y sea \epsilon >0, el conjunto E(x,\epsilon) se llama entorno de centro x y radio \epsilon y consiste en el intervalo abierto (x-\epsilon, x+\epsilon), siendo su soporte

s(E(x,\epsilon) ) = \{ n \in \mathbb{N} : x-\epsilon < a_n < x+\epsilon \}.

Por otro lado, notaremos mediante \omega el cardinal de los números naturales. Es decir, un conjunto es equipotente al conjunto de los naturales si y sólo si su cardinal es \omega. También si A es un conjunto, escribiremos |A| para notar a su cardinal. El propósito de estas nociones es dar una nueva definición de límite de una sucesión.

Definición 1. Una sucesión a_n de números reales converge al punto x \in \mathbb{R} si y sólo si
Para todo \epsilon >0 es |s(E(x, \epsilon) )| = \omega y |s(\mathbb{R}-E(x,\epsilon))| < \omega.

imgcarothers3

Es decir, \lim a_n =x si y sólo si para cada \epsilon>0 hay una infinidad de términos de la sucesión en (x-\epsilon, x+\epsilon) y una cantidad finita fuera de este intervalo. Es fácil probar que esta definición de límite coincide con la dada usando el valor absoluto. Pero además nos permite dar nuevos conceptos de gran utilidad.

Definición 2. El punto p \in \mathbb{R} es de aglomeración de una sucesión a_n de números reales si y sólo si
Para todo \epsilon > 0 es  |s(E(p,\epsilon))| = \omega.

Obviamente, según esta definición, el límite de una sucesión a_n es también un punto de aglomeración. En particular, resulta ser su único punto de aglomeración

Teorema 1. El límite x de una sucesión a_n de números reales es su único punto de aglomeración.

Prueba. Supongamos que \lim a_n = p y que q \neq p es otro punto de aglomeración de la sucesión. En ese caso tomando 0<\epsilon < \frac{|p-q|}{2}, es |s(E(p,\epsilon))| = \omega y |s(\mathbb{R}-E(p,\epsilon))| < \omega . Ahora bien, la definición de este \epsilon permite afirmar que E(p,\epsilon) \cap E(q,\epsilon) = \emptyset por lo que

E(q,\epsilon) \subset (\mathbb{R}-E(p,\epsilon))

y también s(E(q, \epsilon)) \subset s(\mathbb{R} -E(p,\epsilon)), por lo que

|s(E(q,\epsilon) )| < \omega.

Pero esto contradice el carácter de punto de acumulación de q. Para evitar esta contradicción será p=q y el límite es el único punto de aglomeración.

imgcarothers4

Existe una caracterización equivalente de los puntos de aglomeración que nos resultará útil más adelante.

Teorema 2. El punto p \in \mathbb{R} es de aglomeración de una sucesión a_n de números reales si y sólo si
Para todo \epsilon > 0 y para todo N \in \mathbb{N}, existe un n > N tal que a_n \in E(p,\epsilon).

Prueba. Supongamos que p es un punto de aglomeración. Sea \epsilon >0 y sea N un entero positivo. Como el conjunto s(E(p,\epsilon)) es infinito numerable y el conjunto \{1,2, \ldots, N \} es finito, resulta que existe al menos un entero positivo n > N, tal que a_n \in E(p, \epsilon). Recíprocamente, supongamos que se da la propiedad del teorema. Sea \epsilon>0 y sea N=1, entonces hallaremos n >1 tal que a_n \in E(p,\epsilon). Probaremos por inducción que hay una infinidad de términos de la sucesión que pertenecen al entorno E(p, \epsilon). El argumento del párrafo anterior nos muestra que la propiedad es válida para k=1. Sea \{1, 2, \ldots, k \} el conjunto de enteros con esta propiedad y sea M= \max \{1,2, \ldots, k \}. Entonces por la propiedad supuesta hallaremos n >M que cumple a_n \in E(p, \epsilon). Evidentemente, n \neq 1,2, \ldots, k y así hay k+1 enteros con esta propiedad de pertenencia y en definitiva una infinidad numerable de ellos.

A continuación vamos a probar que los límites superior e inferior son también puntos de aglomeración. Para ello debemos extender nuestra definición de límite y punto de aglomeración para incluir la posibilidad de que sean elementos de la recta real ampliada. Esto es relativamente sencillo bastará considerar que para cualquier \epsilon >0 es

E(+\infty, \epsilon) = (\epsilon, +\infty],

E(-\infty,\epsilon)=[-\infty, -\epsilon).

Definición 3. La sucesión a_n de números reales diverge a +\infty si y sólo si
Para todo \epsilon > 0 es |s(E (+\infty,\epsilon))| = \omega y |s(\mathbb{R}-E(+\infty, \epsilon))|< \omega

La definición correspondiente para una sucesión que diverge a -\infty es análoga.

Definición 4. El valor +\infty es punto de aglomeración de la sucesión a_n si y sólo si
Para todo \epsilon > 0 es |s(E (+\infty,\epsilon))| = \omega

La definición para el caso p= -\infty es análoga.

Teorema 3. El límite inferior de una sucesión a_n de números reales es el menor de sus puntos de aglomeración.

Prueba. Primero probaremos que el límite inferior es un punto de aglomeración. Sea \lim \inf a_n =a \in \mathbb{R}.  Si suponemos que a no es un punto de aglomeración de la sucesión a_n, entonces existe un \epsilon_1 >0 tal que en el entorno  E(a,\epsilon_1) sólo hay una cantidad finita de términos de la sucesión.  Esto supone que fuera de dicho entorno hay una infinidad de términos.  Es decir, que dado N es posible hallar un r>N tal que a_r \leq a-\epsilon_1 o a+\epsilon_1 \leq a_r o ambos casos. Recordemos que si t_n= \inf \{a_k : k \geq n \}, entonces a = \sup \{t_n : n \in \mathbb{N} \} por lo que para dicho \epsilon_1 hallaremos un entero positivo s tal que

a-\epsilon_1<t_s \leq a_{j}, para j \geq s.

Esto implica que no puede haber una infinidad de términos menores o iguales que a-\epsilon_1. Por tanto, supondremos que existe m para el que a_{k} \geq a+\epsilon_1 si k \geq m. Ahora bien, esto nos permite afirmar que

a< a+\epsilon_1 \leq t_m.

Pero esto es absurdo pues a es cota superior de la sucesión t_n. Para evitar estas contradicciones, a es un punto de aglomeración de la sucesión a_n. Veamos ahora que es el ínfimo con esta propiedad. Sea ac(a_n) el conjunto de los puntos de aglomeración de la sucesión a_n y supongamos que existe b \in \mathbb{R} tal que b \in ac(a_n) y b<a. Sea 0<\delta < \frac{|b-a|}{2}. Hallaremos r \in \mathbb{N} para el que

a-\delta < \inf \{ a_k : k \geq r \},

lo cual nos permite afirmar que a_n > a-\delta >b+\delta para n \geq r. Así pues en el entorno E(b,\delta) sólo puede haber como máximo un número finito de términos de la sucesión. En concreto, a_1, a_2, \ldots, a_{r-1}. Esto significa que b no es un punto de acumulación de a_n.

De forma similar se puede probar que

Teorema 4. El límite superior de una sucesión a_n de números reales es el mayor de sus puntos de aglomeración.

Para acabar deberíamos probar estos enunciados para el caso en que los límites superior e inferior sean -\infty o +\infty. Pero lo dejaremos para una próxima entrada.

Problemas resueltos (Carothers). (12)

Imagen

22. Sea (a_n) una sucesión de números reales. Definimos una sucesión de subconjuntos de \mathbb{R} mediante

S_n = \{ a_k : k \geq n\}.

La sucesión (S_n) está bien definida y verifica S_{n+1} \subset S_n, para todo n. Si recordamos que todo conjunto no vacío de números reales tiene supremo e ínfimo en la recta ampliada (pues si no está acotado superiormente su supremo es +\infty y si no está acotado inferiormente su ínfimo es -\infty), podemos definir las sucesiones

t_n = \inf S_n.
T_n = \sup S_n.

Por supuesto, tales sucesiones están formadas por elementos de la recta real ampliada, y como la sucesión (S_n) es decreciente resulta que \inf S_n = t_{n} \leq t_{n+1} = \inf S_{n+1} y \sup S_{n+1} = T_{n+1} \leq T_n = \sup S_n, por lo que (t_n) es creciente y (T_n) decreciente. Además, verifican t_1 \leq t_n \leq T_n \leq T_1, para todo n, y también t_i \leq T_j para todo i y para todo j. Por tanto, podemos asegurar la existencia de sus límites (siempre en la recta ampliada) y podemos afirmar que

t_1 = \inf a_n \leq \sup t_n = \lim \inf a_n \leq \inf T_n = \lim \sup T_n \leq \sup a_n =T_1.

23. Supongamos que \lim_n a_n = l. Entonces

para todo \epsilon >0 existe un entero positivo N, tal que.
|a_n-l| < \epsilon, si n \geq N.

Esto significa que si n \geq N, el conjunto S_n está acotado superiormente por l+\epsilon e inferiormente por l-\epsilon, luego

l-\epsilon \leq t_n \leq T_n \leq l+\epsilon, si n \geq N

Como el supremo es la menor de cotas superiores y el ínfimo es la mayor de las cotas inferiores tenemos que

\lim \inf a_n = \sup t_n \geq t_n \geq l-\epsilon
\lim \sup a_n = \inf T_n \leq T_n \leq l+\epsilon

Aplicando el resultado del ejercicio 22, tenemos para todo \epsilon >0 que

l-\epsilon \leq \lim \inf a_n \leq \lim \sup a_n \leq l+\epsilon

Lo que prueba que l=\lim a_n = \lim \inf a_n = \lim \sup a_n.
24. Sabemos que si A es un subconjunto no vacío de la recta ampliada, entonces

\sup A= -\inf (-A).

Por tanto,

\lim \inf a_{n} = \sup_{n} \{ \inf \{a_{k}: k \geq n \} \} = -\inf_{n}\{ -\inf \{a_{k}: k \geq n \} \} =
-\inf_{n}\{ \sup \{-a_{k}: k \geq n \} \} = -\lim \sup (-a_n)

25. Supongamos que \lim \sup a_n = -\infty. En ese caso la sucesión decreciente T_n = \sup \{a_k : k \geq n \} no está acotada inferiormente y de esto deducimos que para todo M <0 existe un entero positivo N tal que

T_n = \sup \{a_k : k \geq N \} <M.

Por tanto, a_n <M si n \geq M y \lim_n a_n = -\infty.

Supongamos ahora que \lim \sup a_n = +\infty. Como \lim \sup a_n = \inf \{ \sup \{ a_k : k \geq n \} : n \geq 1 \}, resultará que T_n=\sup \{a_k : k \geq n\} = +\infty, para cada n y los conjuntos \{a_k : k \geq n \} no estarán acotados superiormente. Esto permite elegir para cada n un a_{m(n)} de forma que a_{m(n)} >n. La subsucesión a_{m(n)} así formada converge pues a +\infty.

Si es \lim \inf a_n= -\infty, entonces \sup \{ \inf \{a_k : k \geq n\} : n \in \mathbb{N} \} = -\infty. Pero en este caso, \inf \{a_k : k \geq n \} = -\infty, para todo n y los conjuntos S_n = \{a_k : k \geq n \} no están acotados inferiormente. Por tanto, para cada entero positivo n, existe un m(n) \in \mathbb{N}, tal que a_{m(n)} <-n. La subsucesión así obtenida es divergente a -\infty.

Finalmente, si \lim \inf a_n =+\infty, entonces \sup \{ \inf \{a_k : k \geq n\} : n \in \mathbb{N} \} = +\infty y la sucesión \inf \{a_k : k \geq n \} no está acotada superiormente. Por ello, dado M>0 existe un entero positivo N para el que \inf \{a_k : k \geq N \} >M. Esto implica que a_n > M si n \geq N por lo que \lim a_n = +\infty y la sucesión es divergente a +\infty.