Problemas resueltos (Carothers). Ampliación (14)

Vamos a completar los resultados de la entrada (13) de (Carothers). En primer lugar, probaremos que si \lim \inf a_n = -\infty, entonces -\infty es un punto de aglomeración de la sucesión a_n y, evidentemente, el menor de ellos.

Si \lim \inf a_n = \sup_{n} \{inf \{a_k : k \geq n \} \} = - \infty. Es claro que

\inf \{a_k : k \geq n \} = - \infty, para todo n .

Esto significa que la sucesión a_n no está acotada inferiormente por lo que para todo \epsilon >0 existe un entero positivo n > \epsilon, de forma que para cierto entero m(n) es a_{m(n)} <-n<-\epsilon y el entorno E(+\infty, \epsilon) =[-\infty, \epsilon) contiene una infinidad de términos de la sucesión (en concreto los a_{m(n)}) por lo que -\infty es punto de aglomeración de ésta.

Sea \lim \inf a_n = +\infty, sabemos que \lim a_n =+\infty por lo que +\infty será el único punto de aglomeración (recordemos que el límite, si existe, es el único punto de aglomeración).

Razonamientos análogos prueban que en el caso de que \lim \sup a_n = +\infty, -\infty , dicho límite superior es el mayor de los puntos de aglomeración de de la sucesión a_n. Estamos ahora en condiciones de dar otro importante resultado.

Teorema 1. Todo punto de aglomeración de una sucesión a_n es el límite de una subsucesión de a_n.

Prueba. Recordemos el teorema 2 de la entrada (13) de (Carothers):

El punto p \in \mathbb{R} es de aglomeración de una sucesión a_n de números reales si y sólo si
Para todo \epsilon > 0 y para todo N \in \mathbb{N}, existe un n > N tal que a_n \in E(p,\epsilon).

Esto significa que si p es un punto de aglomeración de a_n podemos forma una subsucesión a_m(n) convergente a p sin más que tomar para cada \epsilon>0 y cada n un entero positivo m(n) > n, de forma que a_{m(n)} \in E(p, \epsilon).

El teorema 1 junto con los resultados ya probados nos permite dar una serie de interesantes corolarios.

Corolario 1. Una sucesión a_n de números reales es convergente a un punto de la recta ampliada si y sólo si todas sus subsucesiones convergen al mismo punto.

Prueba. Si p \in \mathbb{R} es el límite de a_n y a_{n(m)} es una subsucesión de a_{n(m)} entonces es evidente que también a_{n(m)} converge a p. Recíprocamente, si todas las subsucesiones de a_n convergen al mismo punto p, concluimos que dicho punto es el único punto de aglomeración y que \lim \inf a_n = \lim \sup a_n = p = \lim a_n.

Corolario 2. Sea a_n una sucesión de números reales tal que las subsucesiones a_{2n} y a_{2n+1} convergen al mismo punto. Entonces la sucesión a_{n} converge a dicho punto. El recíproco también es cierto.

Prueba. Sea \epsilon>0. Hallaremos un entero positivo N_1 tal que a_{2n} \in E(p, \epsilon) para n \geq N_1 y otro entero positivo N_2 tal que a_{2n+1} \in E(p, \epsilon), si n \geq N_2. Tomando N= \max \{N_1, N_2 \} es a_{n} \in E(p,\epsilon), si n \geq N, lo que prueba que \lim a_n = p. El recíproco es inmediato en virtud del corolario 1.

Anuncios

Problemas Resueltos (Carothers). Ampliación (13)

Sea a_n una sucesión de números reales. Sea A un subconjunto de la recta real, definimos el soporte de A como el subconjunto de enteros positivos:

s(A)= \{n \in \mathbb{N} : a_n \in A \}.

El lector observará que si f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} es la aplicación que define la sucesión a_n, el soporte de A \subset \mathbb{R} no es más que el conjunto f^{-1}(A).

imgcarothers2

Si A \subset B, entonces s(A) \subset s(B). En efecto, recordemos que A \subset B implica s(A)=f^{-1}(A) \subset f^{-1}(B) = s(B).

Sea x un número real y sea \epsilon >0, el conjunto E(x,\epsilon) se llama entorno de centro x y radio \epsilon y consiste en el intervalo abierto (x-\epsilon, x+\epsilon), siendo su soporte

s(E(x,\epsilon) ) = \{ n \in \mathbb{N} : x-\epsilon < a_n < x+\epsilon \}.

Por otro lado, notaremos mediante \omega el cardinal de los números naturales. Es decir, un conjunto es equipotente al conjunto de los naturales si y sólo si su cardinal es \omega. También si A es un conjunto, escribiremos |A| para notar a su cardinal. El propósito de estas nociones es dar una nueva definición de límite de una sucesión.

Definición 1. Una sucesión a_n de números reales converge al punto x \in \mathbb{R} si y sólo si
Para todo \epsilon >0 es |s(E(x, \epsilon) )| = \omega y |s(\mathbb{R}-E(x,\epsilon))| < \omega.

imgcarothers3

Es decir, \lim a_n =x si y sólo si para cada \epsilon>0 hay una infinidad de términos de la sucesión en (x-\epsilon, x+\epsilon) y una cantidad finita fuera de este intervalo. Es fácil probar que esta definición de límite coincide con la dada usando el valor absoluto. Pero además nos permite dar nuevos conceptos de gran utilidad.

Definición 2. El punto p \in \mathbb{R} es de aglomeración de una sucesión a_n de números reales si y sólo si
Para todo \epsilon > 0 es  |s(E(p,\epsilon))| = \omega.

Obviamente, según esta definición, el límite de una sucesión a_n es también un punto de aglomeración. En particular, resulta ser su único punto de aglomeración

Teorema 1. El límite x de una sucesión a_n de números reales es su único punto de aglomeración.

Prueba. Supongamos que \lim a_n = p y que q \neq p es otro punto de aglomeración de la sucesión. En ese caso tomando 0<\epsilon < \frac{|p-q|}{2}, es |s(E(p,\epsilon))| = \omega y |s(\mathbb{R}-E(p,\epsilon))| < \omega . Ahora bien, la definición de este \epsilon permite afirmar que E(p,\epsilon) \cap E(q,\epsilon) = \emptyset por lo que

E(q,\epsilon) \subset (\mathbb{R}-E(p,\epsilon))

y también s(E(q, \epsilon)) \subset s(\mathbb{R} -E(p,\epsilon)), por lo que

|s(E(q,\epsilon) )| < \omega.

Pero esto contradice el carácter de punto de acumulación de q. Para evitar esta contradicción será p=q y el límite es el único punto de aglomeración.

imgcarothers4

Existe una caracterización equivalente de los puntos de aglomeración que nos resultará útil más adelante.

Teorema 2. El punto p \in \mathbb{R} es de aglomeración de una sucesión a_n de números reales si y sólo si
Para todo \epsilon > 0 y para todo N \in \mathbb{N}, existe un n > N tal que a_n \in E(p,\epsilon).

Prueba. Supongamos que p es un punto de aglomeración. Sea \epsilon >0 y sea N un entero positivo. Como el conjunto s(E(p,\epsilon)) es infinito numerable y el conjunto \{1,2, \ldots, N \} es finito, resulta que existe al menos un entero positivo n > N, tal que a_n \in E(p, \epsilon). Recíprocamente, supongamos que se da la propiedad del teorema. Sea \epsilon>0 y sea N=1, entonces hallaremos n >1 tal que a_n \in E(p,\epsilon). Probaremos por inducción que hay una infinidad de términos de la sucesión que pertenecen al entorno E(p, \epsilon). El argumento del párrafo anterior nos muestra que la propiedad es válida para k=1. Sea \{1, 2, \ldots, k \} el conjunto de enteros con esta propiedad y sea M= \max \{1,2, \ldots, k \}. Entonces por la propiedad supuesta hallaremos n >M que cumple a_n \in E(p, \epsilon). Evidentemente, n \neq 1,2, \ldots, k y así hay k+1 enteros con esta propiedad de pertenencia y en definitiva una infinidad numerable de ellos.

A continuación vamos a probar que los límites superior e inferior son también puntos de aglomeración. Para ello debemos extender nuestra definición de límite y punto de aglomeración para incluir la posibilidad de que sean elementos de la recta real ampliada. Esto es relativamente sencillo bastará considerar que para cualquier \epsilon >0 es

E(+\infty, \epsilon) = (\epsilon, +\infty],

E(-\infty,\epsilon)=[-\infty, -\epsilon).

Definición 3. La sucesión a_n de números reales diverge a +\infty si y sólo si
Para todo \epsilon > 0 es |s(E (+\infty,\epsilon))| = \omega y |s(\mathbb{R}-E(+\infty, \epsilon))|< \omega

La definición correspondiente para una sucesión que diverge a -\infty es análoga.

Definición 4. El valor +\infty es punto de aglomeración de la sucesión a_n si y sólo si
Para todo \epsilon > 0 es |s(E (+\infty,\epsilon))| = \omega

La definición para el caso p= -\infty es análoga.

Teorema 3. El límite inferior de una sucesión a_n de números reales es el menor de sus puntos de aglomeración.

Prueba. Primero probaremos que el límite inferior es un punto de aglomeración. Sea \lim \inf a_n =a \in \mathbb{R}.  Si suponemos que a no es un punto de aglomeración de la sucesión a_n, entonces existe un \epsilon_1 >0 tal que en el entorno  E(a,\epsilon_1) sólo hay una cantidad finita de términos de la sucesión.  Esto supone que fuera de dicho entorno hay una infinidad de términos.  Es decir, que dado N es posible hallar un r>N tal que a_r \leq a-\epsilon_1 o a+\epsilon_1 \leq a_r o ambos casos. Recordemos que si t_n= \inf \{a_k : k \geq n \}, entonces a = \sup \{t_n : n \in \mathbb{N} \} por lo que para dicho \epsilon_1 hallaremos un entero positivo s tal que

a-\epsilon_1<t_s \leq a_{j}, para j \geq s.

Esto implica que no puede haber una infinidad de términos menores o iguales que a-\epsilon_1. Por tanto, supondremos que existe m para el que a_{k} \geq a+\epsilon_1 si k \geq m. Ahora bien, esto nos permite afirmar que

a< a+\epsilon_1 \leq t_m.

Pero esto es absurdo pues a es cota superior de la sucesión t_n. Para evitar estas contradicciones, a es un punto de aglomeración de la sucesión a_n. Veamos ahora que es el ínfimo con esta propiedad. Sea ac(a_n) el conjunto de los puntos de aglomeración de la sucesión a_n y supongamos que existe b \in \mathbb{R} tal que b \in ac(a_n) y b<a. Sea 0<\delta < \frac{|b-a|}{2}. Hallaremos r \in \mathbb{N} para el que

a-\delta < \inf \{ a_k : k \geq r \},

lo cual nos permite afirmar que a_n > a-\delta >b+\delta para n \geq r. Así pues en el entorno E(b,\delta) sólo puede haber como máximo un número finito de términos de la sucesión. En concreto, a_1, a_2, \ldots, a_{r-1}. Esto significa que b no es un punto de acumulación de a_n.

De forma similar se puede probar que

Teorema 4. El límite superior de una sucesión a_n de números reales es el mayor de sus puntos de aglomeración.

Para acabar deberíamos probar estos enunciados para el caso en que los límites superior e inferior sean -\infty o +\infty. Pero lo dejaremos para una próxima entrada.

Curso EVT. Lectura 14. Subespacios suplementarios

Definición 1. Sean F y G dos subespacios de E. Decimos que la suma F+G es directa si y sólo si cada vector u del conjunto F+G se puede escribir de una sola forma (excepto por el orden) como suma de un vector de F y otro de G.

En el caso de que la suma de F y G sea directa escribimos F\oplus G en lugar de F+G.

Teorema 1. Son equivalentes:
(a). La suma de los subespacios F y G es directa.
(b) Es F \cap G = \{0 \}.

Prueba. Supongamos que la suma F+G es directa. Como el vector cero pertenece a todo subespacio, es 0 \in F \cap G. Si existe otro elemento x \neq 0 perteneciente a F \cap G, entonces x \in F y x \in G por lo que -x \in G y tenemos que 0 = 0+0 = x+(-x). Esto significa que el cero se puede obtener de dos formas diferentes como suma de un elemento de F y otro de G. Para evitar esta contradicción concluimos que F \cap G = \{0 \} y (a) implica (b). Sea cierto (b) y supongamos que para u \in F+G existen x,y \in F y z,t \in G, tales que u = x+z=y+t. En tal caso x-y = t-z \in F \cap G, por lo que x-y =t-z = 0 y concluimos que x=y y z=t. Esto prueba que la suma es directa y (b) implica (a) terminando nuestra demostración.

Definición 2. Dos subespacios F y G de E se dice que son suplementarios si F \oplus G = E.

Como consecuencia del teorema 1 tenemos el siguiente resultado.

Corolario 1. Dados dos subespacios F y G de E, son equivalentes:
(a) F y G son suplementarios.
(b) F+G = E y F \cap G = \{0 \}.

El siguiente resultado garantiza la existencia de subespacios suplementarios a uno dado.

Teorema 2. Si F es un subespacio de E, hallaremos al menos un subespacio G de E tal que F \oplus G = E.

Prueba. Sea F= \{0 \} el subespacio trivial. Bastará elegir G=E para obtener un suplementario. En el caso de que F=E se invierten los papeles y bastará elegir G= \{0 \}. Supongamos que F no es el subespacio trivial ni tampoco E. En tal caso, si A es una base de Hamel de F resulta un conjunto linealmente independiente y podemos entonces hallar una base de Hamel B de E que incluya a A. Probaremos que G=L(B-A) es el subespacio suplementario de F. En efecto, si x pertenece a E se expresa como combinación lineal finita de elementos de B por lo que es evidente que es resultado de la suma de un elemento de F y otro de G. Así pues, E = F+G. Finalmente, si existiera un elemento no nulo en F \cap G, dicho elemento sería combinación lineal finita con escalares no nulos de elementos de los conjuntos A y B-A a un tiempo, por lo que igualando sus expresiones podríamos obtener el vector cero de forma no trivial con elementos de B y la base B sería linealmente dependiente en contra de lo supuesto. Así pues, F \cap G = \{0 \} y esto termina la demostración.

Una consecuencia directa de la demostración del teorema anterior hace referencia a las dimensiones.

Corolario 2. Si E = F \oplus G, entonces dim(E) = dim (F)+ dim(G).

Prueba. En efecto, sea E = F \oplus G. Si B es la base de Hamel de E que incluye a la base A de F, sabemos que B-A es una base de G, disjunta con A. Por tanto, dim (E) = |B| = |A \cup (B-A) | = |A| + |B-A| = dim(F)+dim(G).

Vamos a definir la suma directa para una familia cualquiera de subespacios.

Definición 3. Sea (S_{i})_{i \in I} una familia no vacía de subespacios de E. Decimos que la suma \sum_{i \in I} S_{i} es directa si cada x \in \sum_{i \in I} S_{i} admite una única expresión como suma finita de elementos de \cup_{i \in I} S_{i}.

Escribiremos \oplus_{i \in I} S_{i} para indicar la suma directa de la familia de subespacios (S_{i})_{i \in I}.

Teorema 3. Sea (S_{i})_{i \in I} una familia no vacía de subespacios de E. Son equivalentes:
(a) La suma H= \sum_{i \in I} S_{i} es directa.
(b) Para cada i de I es (\sum_{j \in I- \{i \}} S_{j}) \cap S_{i} = \{0 \}.

Prueba. Supongamos que la suma \sum_{i \in I} S_{i} es directa y que existe al menos un i_{0} de I y un vector x \neq 0 tales que x \in(\sum_{j \in I- \{i_{0} \}} S_{j}) \cap S_{i_{0}}. En tal caso, x = x y x = x_{1}+ \dots + x_{m}, serían dos expresiones diferentes de x como suma finita de elementos de \cup_{i \in I} S_{i}, ya que en la primera x \in S_{i_{0}} y en la segunda x_{k} \in \cup_{j \in I- \{i_{0} \}} S_{i} para k=1, \ldots, m. Para evitar esta contradicción será x=0, de donde (a) implica (b). Sea cierto (b) y sea x un elemento de la suma tal que x = x_{1}+ \ldots + x_{n} = y_{1}+ \ldots + y_{m}, con x_{j} \in S_{i_{j}}, y_{k} \in S_{i_{k}} \quad \text{para} \quad j=1, \ldots, n, \quad k=1, \ldots, m. Tomando r= \max \{n,m \} podemos hacer más homogénea la representación de x. Bastará escribir ceros para completar los sumandos en el caso que corresponda. Así pues, queda x = x_{1}+ \ldots + x_{r} = y_{1}+ \ldots + y_{r}. En consecuencia, \sum_{l=1}^{r} (x_{l} -y_{l}) = 0. Ahora bien, esto significa que para cada l_{j} es x_{l_{j}} -y_{l_{j}} = \sum_{l \neq l_{j}} (y_{l}-x_{l}). Aplicando (b) concluimos entonces que x_{l_{j}} -y_{l_{j}} = 0 y variando j tenemos que x_{l} = y_{l} para todo l=1,2, \ldots, r. Por tanto, (b) implica (a) y termina la demostración.

Problemas resueltos (Carothers). (12)

Imagen

22. Sea (a_n) una sucesión de números reales. Definimos una sucesión de subconjuntos de \mathbb{R} mediante

S_n = \{ a_k : k \geq n\}.

La sucesión (S_n) está bien definida y verifica S_{n+1} \subset S_n, para todo n. Si recordamos que todo conjunto no vacío de números reales tiene supremo e ínfimo en la recta ampliada (pues si no está acotado superiormente su supremo es +\infty y si no está acotado inferiormente su ínfimo es -\infty), podemos definir las sucesiones

t_n = \inf S_n.
T_n = \sup S_n.

Por supuesto, tales sucesiones están formadas por elementos de la recta real ampliada, y como la sucesión (S_n) es decreciente resulta que \inf S_n = t_{n} \leq t_{n+1} = \inf S_{n+1} y \sup S_{n+1} = T_{n+1} \leq T_n = \sup S_n, por lo que (t_n) es creciente y (T_n) decreciente. Además, verifican t_1 \leq t_n \leq T_n \leq T_1, para todo n, y también t_i \leq T_j para todo i y para todo j. Por tanto, podemos asegurar la existencia de sus límites (siempre en la recta ampliada) y podemos afirmar que

t_1 = \inf a_n \leq \sup t_n = \lim \inf a_n \leq \inf T_n = \lim \sup T_n \leq \sup a_n =T_1.

23. Supongamos que \lim_n a_n = l. Entonces

para todo \epsilon >0 existe un entero positivo N, tal que.
|a_n-l| < \epsilon, si n \geq N.

Esto significa que si n \geq N, el conjunto S_n está acotado superiormente por l+\epsilon e inferiormente por l-\epsilon, luego

l-\epsilon \leq t_n \leq T_n \leq l+\epsilon, si n \geq N

Como el supremo es la menor de cotas superiores y el ínfimo es la mayor de las cotas inferiores tenemos que

\lim \inf a_n = \sup t_n \geq t_n \geq l-\epsilon
\lim \sup a_n = \inf T_n \leq T_n \leq l+\epsilon

Aplicando el resultado del ejercicio 22, tenemos para todo \epsilon >0 que

l-\epsilon \leq \lim \inf a_n \leq \lim \sup a_n \leq l+\epsilon

Lo que prueba que l=\lim a_n = \lim \inf a_n = \lim \sup a_n.
24. Sabemos que si A es un subconjunto no vacío de la recta ampliada, entonces

\sup A= -\inf (-A).

Por tanto,

\lim \inf a_{n} = \sup_{n} \{ \inf \{a_{k}: k \geq n \} \} = -\inf_{n}\{ -\inf \{a_{k}: k \geq n \} \} =
-\inf_{n}\{ \sup \{-a_{k}: k \geq n \} \} = -\lim \sup (-a_n)

25. Supongamos que \lim \sup a_n = -\infty. En ese caso la sucesión decreciente T_n = \sup \{a_k : k \geq n \} no está acotada inferiormente y de esto deducimos que para todo M <0 existe un entero positivo N tal que

T_n = \sup \{a_k : k \geq N \} <M.

Por tanto, a_n <M si n \geq M y \lim_n a_n = -\infty.

Supongamos ahora que \lim \sup a_n = +\infty. Como \lim \sup a_n = \inf \{ \sup \{ a_k : k \geq n \} : n \geq 1 \}, resultará que T_n=\sup \{a_k : k \geq n\} = +\infty, para cada n y los conjuntos \{a_k : k \geq n \} no estarán acotados superiormente. Esto permite elegir para cada n un a_{m(n)} de forma que a_{m(n)} >n. La subsucesión a_{m(n)} así formada converge pues a +\infty.

Si es \lim \inf a_n= -\infty, entonces \sup \{ \inf \{a_k : k \geq n\} : n \in \mathbb{N} \} = -\infty. Pero en este caso, \inf \{a_k : k \geq n \} = -\infty, para todo n y los conjuntos S_n = \{a_k : k \geq n \} no están acotados inferiormente. Por tanto, para cada entero positivo n, existe un m(n) \in \mathbb{N}, tal que a_{m(n)} <-n. La subsucesión así obtenida es divergente a -\infty.

Finalmente, si \lim \inf a_n =+\infty, entonces \sup \{ \inf \{a_k : k \geq n\} : n \in \mathbb{N} \} = +\infty y la sucesión \inf \{a_k : k \geq n \} no está acotada superiormente. Por ello, dado M>0 existe un entero positivo N para el que \inf \{a_k : k \geq N \} >M. Esto implica que a_n > M si n \geq N por lo que \lim a_n = +\infty y la sucesión es divergente a +\infty.

Curso EVT. Lectura 13. Extensión de operaciones a subconjuntos

En la lectura anterior sobre subespacios hemos definido la suma de subconjuntos de un espacio vectorial y hemos dado algunas de sus propiedades. Ahora vamos a extender también la operación de producto por escalares a subconjuntos.

Definición 1: Sea A un subconjunto no vacío del K-espacio vectorial E y sea \lambda un escalar. Definimos el conjunto
\lambda A = \{ \lambda x : x \in A \}

Esta definición es consistente y podemos probar que si A y B son subconjuntos no vacíos de E y \lambda, \mu escalares de K, se tienen las siguientes propiedades:

1. 0A = \{0 \}.
2. \lambda (\mu A)= (\lambda \mu) A.
3. 1A = A, \quad (-1)A = -A.
4. \lambda (A+B) = \lambda A + \lambda B.
5. (\lambda + \mu) A \subset \lambda A + \mu A.
6. Si A \subset B, entonces \lambda A \subset \lambda B.

La propiedad 5 es especialmente interesante pues nos muestra que la “distributividad” de los escalares y los vectores no se da para las operaciones con conjuntos. En efecto, veamos un contraejemplo.

Contraejemplo: Sea \mathbb{R} el espacio vectorial real de los números reales con la suma y el producto usuales. Sean el conjunto A= \{-1,0,1 \} y los escalares \lambda =1 y \mu =-1. Entonces
(\lambda + \mu) A = (1+(-1)) \{-1,0,1 \} = 0 \{-1,0,1 \} = \{0 \},mientras que \lambda A + \mu A = 1 \{-1,0,1 \} + (-1) \{-1,0,1 \} = \{-1,0,1 \} + \{1,0,-1 \} =\{-2,-1,0,1,2 \}. Es decir, \lambda A + \mu A \nsubseteqq (\lambda + \mu) A .

También convenimos en que \lambda \emptyset = \emptyset para cualquier escalar \lambda.

Definición 2: Sea A un subconjunto no vacío del K-espacio vectorial E y sea \Lambda un subconjunto no vacío de K. Definimos el conjunto
\Lambda A = \{ \lambda x : x \in A, \lambda \in \Lambda \}

Esta definición es también consistente y podemos probar fácilmente que \Lambda A = \cup_{\lambda \in \Lambda} \lambda A. Con esta terminología obtenemos una forma de caracterizar los subespacios concisa y completa.

Teorema 1: Un subconjunto no vacío S del  K-espacio vectorial E es un subespacio si y sólo si para todos \lambda, \mu \in K es
\lambda S + \mu S \subset S

Obsérvese que \lambda \emptyset +\mu \emptyset \subset \emptyset. Ahora bien, como hemos exigido conjuntos no vacíos en el teorema 1, esto no implica que el vacío sea un subespacio.

Consideremos ahora las propiedades de las operaciones extendidas en el caso de aplicarse a uniones e intersecciones arbitrarias.

Teorema 2: Sea (A_{i})_{i \in I} una familia no vacía de subconjuntos de E. Se cumplen:
a) Para todo escalar \lambda es \lambda \cup_{i \in I} A_{i} = \cup_{i \in I} \lambda A_{i}.

b) Si la intersección \cap_{i \in I} A_{i} es no vacía y \lambda \in K entonces \lambda \cap_{i \in I} A_{i} = \cap_{i \in I} \lambda A_{i}.

c) Si x es un elemento de E, entonces x+ \cup_{i \in I} A_{i} = \cup_{i \in I} (x+A_{i}).

d)  Si x es un elemento de E, entonces x+ \cap_{i \in I} A_{i} = \cap_{i \in I} (x+A_{i}).

Prueba. Si la unión es vacía, todo elemento de dicha unión es vacío y entonces \lambda \cup_{i \in I} A_{i} = \lambda \emptyset = \emptyset y también \cup_{i \in I} \lambda A_{i} = \cup_{i \in I} \lambda \emptyset = \cup_{i \in I} \emptyset = \emptyset. Supongamos que la unión es no vacía y sea z un elemento de \lambda \cup_{i \in I} A_{i}. En tal caso, existe al menos un x \in \cup_{i \in I} A_{i} tal que z = \lambda x. Como x pertenece a la unión hallaremos al menos un i_{0} de I para el que x \in A_{i_{0}} y, en consecuencia, z = \lambda x pertenece a \lambda A_{i_{0}} y de aquí que z pertenezca a la unión \cup_{i \in I} \lambda A_{i}. Esto prueba que \lambda \cup_{i \in I} A_{i} \subset \cup_{i \in I} \lambda A_{i}. Recíprocamente, si u es un elemento de \cup_{i \in I} \lambda A_{i}, existe al menos un i_{1} \in I tal que u pertenece a \lambda A_{i_{1}} y por ello para cierto x \in A_{i_{1}} es u = \lambda x. Finalmente, como x es un elemento de \cup_{i \in I} A_{i}, concluimos que u pertenece a \lambda \cup_{i \in I} A_{i} y es \cup_{i \in I} \lambda A_{i} \subset \lambda \cup_{i \in I} A_{i} . La doble inclusión nos lleva a la igualdad y esto prueba (a). Sea ahora \lambda = 0, entonces si \cap_{i \in I} A_{i} es no vacío, tenemos que \lambda \cap_{i \in I} A_{i} = \{0 \}. Análogamente, \lambda A_{i} = \{0 \} para todo i de I por lo que \cap_{i \in I} \lambda A_{i} = \{0 \}. Esto prueba (b) en este caso. Veamos ahora la otra posibilidad: \lambda \neq 0. Sea z \in \lambda \cap_{i \in I} A_{i}. Entonces existe x \in A_{i} para todo i \in I tal que z = \lambda x. Es decir, z \in \cap_{i \in I} \lambda A_{i} y, por tanto, \lambda \cap_{i \in I} A_{i} \subset \cap_{i \in I} \lambda A_{i}. Para acabar, si u es un elemento de \cap_{i \in I} \lambda A_{i}, entonces u pertenece a \lambda A_{i} para todo i \in I y, en consecuencia \lambda^{-1} u pertenece a (\lambda^{-1})(\lambda A_{i}) = A_{i} para todo i \in I. Esto es, \lambda^{-1} u es un elemento de \cap_{i \in I} A_{i}. Si volvemos a multiplicar por \lambda resulta u \in \lambda \cap_{i \in I} A_{i} y de aquí \cap_{i \in I} \lambda A_{i} \subset \lambda \cap_{i \in I} A_{i}. Esto prueba (b). Las pruebas de las afirmaciones (c) y (d) son análogas a los ya expuestas y se dejan a cargo del lector.

Curso EVT. Lectura 12. Subespacios (2).

En la entrada 11 de este curso hemos probado que la intersección de subespacios de un mismo espacio vectorial siempre es un subespacio (eventualmente puede ser el subespacio trivial \{0\}). Sin embargo, la unión de subespacios no siempre es un subespacio. Para ello bastará un contraejemplo.

Contraejemplo 1.. Sea el espacio vectorial real \mathbb{R}^{2} con las operaciones usuales. Consideremos los subespacios S = \{(x,y) : x+y = 0 \} y T = \{(x,y): x-y = 0 \}. El conjunto S \cup T no es un subespacio. En efecto, si tomamos (1,-1) \in S y (1,1) \in T, su suma (2,0), no es un elemento de la unión ya que no verifica ninguna de las condiciones para pertenecer a S o a T.

La forma natural de definir el subespacio vectorial más “pequeño” que contiene a la unión de dos subespacios es utilizar la suma de estos. Pero antes debemos definir qué entendemos por suma de conjuntos de vectores.

Definición 1. Sean A y B dos subconjuntos no vacíos del K-espacio vectorial E. El conjunto suma A+B se define como el formado por las sumas x+y, donde x \in A e y \in B.

Escribiremos x+A, en lugar de \{x\}+A. Es fácil comprobar que la definición es consistente y que además verifica para cualesquiera A,B,C,D \subset E:
1. A+B = B+A.
2. A+\{0\} = A.
3. A+(B+C) = (A+B)+C.
4. Si A \subset C y B \subset D, entonces A+B \subset C+D.

Extendemos esta definición para el caso en que uno de los sumandos sea el conjunto vacío y así decimos que A+ \emptyset = \emptyset+A =A, para todo A \subset E. En particular, \emptyset+\emptyset = \emptyset. También podemos definir la suma un número finito de sumandos en base a las propiedades 1 y 3:

Definición 2. Sean A_i con i=1,2,\ldots, n, subconjuntos del K-espacio vectorial E. Entonces
\sum_{i=1}^{n} A_i = \{ \sum_{i=1}^{n} x_i : x_i \in A_i \}

Nuestro afán de generalidad nos lleva a definir la suma para una familia arbitraria de subconjuntos.

Definición 3. Sean (A_i)_{i \in I} una familia no vacía de subconjuntos del K-espacio vectorial E. Entonces
\sum_{i\in I} A_i = \{ \sum_{j=1}^{n} x_j : n \in \mathbb{N}, x_j \in \cup_{\in I} A_i \}

Es decir, se trata del conjunto de las sumas finitas de elementos de la unión de los conjuntos de la familia. Una vez establecidas estas definiciones vamos a probar el resultado central de esta lectura.

Teorema 1. Sean (S_i)_{i \in I} una familia no vacía de subespacios del K-espacio vectorial E. Entonces la suma \sum_{i \in I} S_i coincide con la envoltura lineal de la unión \sum_{i \in I} S_i

Prueba. Sean x e y dos elementos de \sum_{i \in I} S_{i} y sean \lambda, \mu dos escalares de K. Entonces existen enteros positivos n,m y familias finitas (x_{j})_{j=1}^{n}, (y_{k})_{k=1}^{m} de elementos de \cup_{i \in I} S_{i} tales que
x = \sum_{j=1}^{n} x_{j}, \quad y = \sum_{k=1}^{m} y_{k}.
Por tanto,
\lambda x + \mu y = \lambda \sum_{j=1}^{n} x_{j} + \mu \sum_{k=1}^{m} y_{k} = \sum_{j=1}^{n} \lambda x_{j} +\sum_{k=1}^{m} \mu y_{k}.
Ahora bien, para cada (j,k) de \{1,\ldots, n \} \times \{1, \ldots, m \} existe (i_{j}, i_{k}) de I \times I tal que x_{j} \in S_{i_{j}} e y_{k} \in S_{i_{k}}, luego \lambda x_{j} \in S_{i_{j}} y \mu y_{k} \in S_{i_{k}} (ya que la familia (S_{i})_{i \in I} está formada por subespacios de E). Esto significa que tanto \lambda x_{j} como \mu y_{k} son elementos de \cup_{i \in I} S_{i} y la combinación lineal \lambda x + \mu y es también un elemento de \sum_{i \in I} S_{i} pues se reduce a una suma finita de elementos de la unión de la familia de subespacios. Esto prueba que \sum_{i \in I} S_{i} es un subespacio de E.

Evidentemente, para cada i de I es S_{i} un subconjunto de \sum_{i \in I} S_{i} (bastará ver que cada x \in S_i se expresa como suma finita de elementos de la unión en la forma trivial x = x). Por tanto, \cup_{i \in I} S_{i} también es un subconjunto de \sum_{i \in I} S_{i} lo que junto con su carácter de subespacio nos lleva a afirmar que \sum_{i \in I} S_{i} pertenece a la clase \mathcal{L} (\cup_{i \in I} S_{i}) y por tanto L(\cup_{i \in I} S_{i}) \subset \sum_{i \in I} S_{i}. Para acabar, si H es un subespacio de E que incluye a \cup_{i \in I} S_{i}, entonces ha de incluir a las sumas finitas de sus elementos. Es decir, \sum_{i \in I} S_{i} \subset H y de aquí \sum_{i \in I} S_{i} \subset L(\cup_{i \in I} S_{i}). La doble inclusión nos lleva a la igualdad buscada y termina la demostración.

Curso EVT. Lectura 11. Subespacios (1)

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Decimos que un subconjunto F  de E, no vacío, es un subespacio de E si y sólo si la restricción de las operaciones de suma de vectores y producto por escalares al conjunto F hace de éste un espacio vectorial sobre K.

Teorema 1: Sea F un subconjunto no vacío del espacio vectorial E. Son equivalentes:a) F es un subespacio de E.

b) Para todos x,y \in F y todo \lambda \in K son x+y, \lambda x elementos de F.

c) El subconjunto F contiene a todas las combinaciones lineales finitas de sus elementos.

d) Para todos \lambda, \mu de K y para todos x,y de F es \lambda x+ \mu y un elemento de F.

Prueba: a) implica b). Como F es un subespacio de E, tenemos que es cerrado para las restricciones de las operaciones de suma de vectores y producto de escalares por vectores. En consecuencia, si x,y \in F y \lambda \in K, se sigue que x+y, \lambda x son elementos de F.

b) implica c). Haremos la prueba por inducción. Así si (x_i)_{i=1}^{n}, con n \geq 1 es una familia finita de elementos de F, resulta por (b) que \lambda_{1} x_{1} \in F y si para r \geq 1 fuera \sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} x_{i} \in F, entonces

\sum_{i=1}^{r+1} \lambda_{i} x_{i} = \lambda_{r+1} x_{r+1} + \sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} x_{i}.

Pero al ser \lambda_{r+1} x_{r+1} y \sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} x_{i} elementos de F, su suma es un elemento de F.

c) implica d). Es inmediato.

d) implica a).  Sean x,y elementos de F y sean \lambda=1, \mu=-1, entonces \lambda x + \mu y = x-y es un elemento de F y F es un subgrupo de E. Si ahora hacemos \mu =0 es $\lambda x$ un elemento de F y el producto de escalares por vectores es cerrado cumpliéndose de forma inmediata las propiedades de este. En definitiva, F es un espacio vectorial sobre K con las restricciones de la suma de vectores y el producto de escalares por vectores.

Utilizando el teorema anterior podemos ver que

1. El cero es un elemento de todo subespacio de F.

2. La intersección de subespacios es un subespacio.

En efecto. Si F es un subespacio entonces es no vacío y tomando x \in F y \lambda =0 es \lambda x = 0x= 0 un elemento de F. Si (F_i)_{i \in I} es una familia de subespacios de E, entonces su intersección es no vacía pues el cero pertenece a todos ellos. Además si x,y \in \cap_{i \in I} F_i y \lambda, \mu \in K, se sigue que x,y \in F_i para todo i \in I, de donde \lambda x+ \mu y \in F_i, para todo i \in I y la intersección es un subespacio por (d) del teorema anterior.

En todo espacio vectorial no trivial hay al menos dos subespacios: el propio espacio y el subconjunto \{0\}. Por ello podemos dar la siguiente

Definición: Sea E un K-espacio vectorial y sea A un subconjunto no vacío de E. La clase de los subespacios que incluyen a A se denota por \mathcal{L}(A).

Esta clase es no vacía pues E \in \mathcal{A}. Además la intersección de todos los elementos de \mathcal{A} será un subespacio, pero no cualquier subespacio es un subespacio muy especial.

Teorema 2: Sea E un K-espacio vectorial y sea A un subconjunto no vacío de E. La intersección de todos los subespacios que incluyen a A es la envoltura lineal de A. En símbolos: \cap_{F \in \mathcal{L}(A)} F = L(A).

Prueba: Sea \mathcal{L}(A) = \{H_i : i \in I \} la familia de todos los subespacios de E que incluyen a A. Sea C su intersección. Evidentemente, C es no vacío pues contiene a A y además es un subespacio como ya hemos probado. Si x depende linealmente de A, entonces x es combinación lineal de elementos de A y por ende de elementos de C por lo que pertenece a C al ser este un subespacio (Ver teorema 1). Por tanto, si denotamos L(A) a la envoltura lineal de A es

L(A) \subset C.

Recíprocamente, probaremos que L(A) es un subespacio vectorial de E. En efecto, sean x,y elementos de L(A). Hallaremos familias finitas (x_i)_i, (y_j)_j de elementos de A tales que x = \sum_{i} a_i x_i, y= \sum_{j} b_j y_j. En consecuencia, si \lambda \in K, podemos escribir

x+y = \sum_{i,j}( a_i x_i+b_j y_j), \lambda x = \lambda \sum_{i} a_i x_i = \sum_{i} (\lambda a_i) x_i.

Pero esto significa que x+y \in L(A) y \lambda x \in L(A), por lo que L(A) es un subespacio. Evidentemente, de A \subset L(A) se sigue que L(A) \in \mathcal{L}(A) y, en consecuencia

C = \cap_{i \in I} H_i \subset L(A).

Esto termina la demostración. El siguiente resultado es consecuencia inmediata del teorema 2.

Corolario: Un subconjunto A no vacío es un subespacio si y sólo si coincide con su envoltura lineal.