Funciones monótonas (III)

Vamos a estudiar las relaciones entre la monotonía y continuidad de las funciones reales de variable real. Esto precisa de un repaso de conceptos topológicos para hacer la exposición más clara y amplia.

Definición 1: Sean (X,T) e (Y,S) dos espacios topológicos y sea f:X \rightarrow Y una aplicación. Diremos que f es continua en X si para todo abierto V de S, su imagen inversa f^{-1}(V) es un abierto de T.

Esta es la definición de lo que podemos llamar continuidad global. También nos interesa la continuidad puntual.

Definición 2: Sean (X,T) e (Y,S) dos espacios topológicos, f una función de X en Y y x \in X. Decimos que f es continua en x si para todo entorno V de f(x) existe un entorno U de x que verifica f(U) \subset V.

Obsérvese la utilización de entornos en lugar de abiertos. Recordemos que un entorno de un punto x no es más que un conjunto que incluye a un abierto al que pertenece x. Además, según esta definición de continuidad puntual, en todo punto aislado resulta que f es continua. En efecto, si x_0 es un punto aislado de X, entonces existe un entorno U' tal que U' \cap X= \{x_0\}. Por tanto, dado cualquier entorno V de f(x_0), bastará tomar U' para que f(U') = \{f(x_0) \} \subset V.

Vamos a dar algunas condiciones equivalentes de continuidad.

Teorema 1: Sean (X,T) e (Y,S) dos espacios topológicos. Son equivalentes:
(1) f:X \rightarrow Y es continua en X.
(2) Para cada subconjunto A de X es f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}.
(3) Para cada cerrado B de Y es f^{-1}(B) un cerrado de X.

Prueba: (1) implica (2). Sea A un subconjunto de X. Supongamos que \overline{A} = \emptyset, entonces trivialmente \emptyset = f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}. Supongamos que \overline{A} es no vacío y sea x \in \overline{A}. Si V es un entorno de f(x), hallaremos un abierto \theta tal que f(x) \in \theta \subset V. Por tanto,

x \in f^{-1}(\theta) \subset f^{-1}(V).

Pero al ser f continua esto implica que f^{-1}(\theta) es abierto y f^{-1}(V) es un entorno de x. En consecuencia, f^{-1}(V) \cap A \neq \emptyset y de aquí

\emptyset \neq f(f^{-1}(V) \cap A) \subset f^(f^{-1}(V)) \cap f^{-1}(A) \subset V \cap f^{-1}(A).

Es decir, todo entorno de f(x) corta a f(A) por lo que f(x) \in \overline{f(A)}. Como es claro que f(x) \in f( \overline{A}), concluimos pues la inclusión buscada: f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}.

(2) implica (3). Sea B un cerrado de Sy sea A=f^{-1}(B). Como

f(A) = f(f^{-1}(B)) \subset B,

resulta que si x \in \overline{A}, entonces

f(x) \in f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)} \subset \overline{B} = B.

Esto prueba que x \in f^{-1}(B) =A y por ello A contiene todos sus puntos adherentes y es cerrado.

(3) implica (1). Sea \theta un abierto de S. Entonces Y-\theta es abierto y tenemos que

f^{-1}(Y-\theta) = X- f^{-1}(\theta)

es cerrado. En consecuencia, f^{-1}(\theta) es abierto y la función f es continua.

Para acabar esta entrada nos queda relacionar la continuidad global y la puntual

Teorema 2: Sean (X,T) e (Y,S) dos espacios topológicos. Son equivalentes:

(a) f:X \rightarrow Y es continua en todo punto x \in X.

(b) f:X \rightarrow Y es continua en X.

Prueba:

(a) implica (b). Sea \theta un abierto de S. Sea x \in f^{-1}(\theta). Hallaremos que f(x) \in \theta y existe un entorno abierto U_x del punto x tal que

f(U_x) \subset \theta.

Es decir,

x \in U_x \subset f^{-1}(\theta).

Hacemos esto para cada punto de f^{-1}(\theta) quedando

\cup_{x} U_x = f^{-1}(\theta)

y así f^{-1}(\theta) es abierto al ser unión de abiertos. Esto nos permite afirmar que f es continua en X.

(b) implica (a). Sea f continua en X y sea x un punto de X y V un entorno de f(x). Hallaremos pues un abierto \theta de S tal que

f(x) \in \theta \subset V.

Luego

x \in f^{-1}(\theta) \subset f^{-1}(V).

Como f es continua, resulta que f^{-1}(\theta) es un abierto y f^{-1}(V) un entorno de x. Para acabar

f(f^{-1}(V)) \subset V.

Esto prueba que U=f^{-1}(V) es un entorno de x que cumple la definición de continuidad puntual y así f es continua en x.

En la próxima entrada veremos que ocurre con las funciones continuas y los compactos.

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Curso EVT. Lectura 27. Topología (2)

Sea (X, \mathcal{T}) un espacio topológico. Decimos que una subcolección no vacía \mathcal{S} de \mathcal{T} es una base de dicha topología si para cada A en \mathcal{T} y cada x \in A, existe S \in \mathcal{S} tal que x \in S \subset A. Esto viene a significar que todo abierto de la topología es unión de elementos de la base. En general, nos interesa dar una base y construir a partir de ella una topología pero para ello una colección cualquiera de conjuntos ha de cumplir algunas condiciones que detallamos a continuación.

Teorema 1. Una colección no vacía \mathcal{S} de partes de un conjunto X es base de una topología \mathcal{T} si y sólo si:
(a) Para cada x \in X, existe al menos un S \in \mathcal{S} con x \in S.
(b) Si x pertenece a la intersección de dos elementos S_1 y S_2 de \mathcal{S}, entonces existe un S_3 \in \mathcal{S} que verifica x \in S_3 \subset S_1 \cap S_2.

Prueba. Supongamos que \mathcal{S} verifica (a) y (b). Definimos entonces la colección \mathcal{T} de los subconjuntos U \subset X tales que si x \in U, entonces existe S \in \mathcal{S}, de forma que x \in S \subset U. Probaremos que \mathcal{T} es una topología sobre X. En efecto, el vacío cumple la condición por omisión y por (a) resulta que X pertenece a \mathcal{T}. Consideremos ahora dos elementos U,W de \mathcal{T}. Si la intersección es vacía no tenemos nada que probar, sea pues no vacía y sea x \in U \cap W, entonces hallaremos S_1,S_2 \in \mathcal{S}, de forma que x \in S_1 \subset U y x \in S_2 \subset W. Aplicando (b) resulta que existe S_3 \in \mathcal{S} de manera que x \in S_3 \subset S_1 \cap S_2 \subset U \cap W. Esto prueba que U \cap W \in \mathcal{T}. Sea ahora una familia (U_i)_{i \in I} de elementos de \mathcal{T} y sea x \in \cup_{i \in I} U_i. Entonces hallaremos un índice i_0 \in I y un elemento S \in \mathcal{S}, de manera que x \in S \subset U_{i_{0}} \subset \cup_{i \in I} U_i. Esto prueba que la unión de los elementos de (U_i)_{i \in I} pertenece a \mathcal{T}. Así pues \mathcal{T} es una topología y es claro que \mathcal{S} \subset \mathcal{T} y cada elemento U de la topología \mathcal{T} es unión de elementos de \mathcal{S}. Para acabar, supongamos que \mathcal{T} es una topología y que \mathcal{S} es una de sus bases. En tal caso, como X \in \mathcal{T}, resulta que para cada x \in X , es posible hallar un S \in \mathcal{S} de manera que x \in S \subset X. Esto prueba (a). Por otro lado, si S_1,S_2 son elementos de la \mathcal{S}, entonces su intersección es un abierto y por ello si es no vacía, dado x \in S_1 \cap S_2, hallaremos S_3 \in \mathcal{S}, que verifica x \in S_3 \subset S_1 \cap S_2. Esto prueba (b) y termina la demostración.

Cuando una topología tiene al menos una base numerable se dice que verifica el segundo axioma de numerabilidad.

Otra noción interesante es la de sub-base. Decimos que una colección no vacía de partes de un conjunto X es una sub-base para una topología sobre dicho conjunto, si las intersecciones finitas de los elementos de la colección forman una base de una topología. La condición para conseguir una sub-base resulta sencilla.

Teorema 2. Una colección no vacía \mathcal{H} de partes de un conjunto X es sub-base de una topología \mathcal{T} si y sólo si la unión de los elementos de la colección es X.

Prueba. Consideremos que \mathcal{H} verifica la condición \cup_{H \in \mathcal{H}} H = X. Sea \mathcal{M} la colección de las intersecciones finitas de los elementos de \mathcal{H}. Probaremos que \mathcal{M} es una base para una topología \mathcal{T} de X. Evidentemente, es \mathcal{H} \subset \mathcal{M}, por lo que si x es un elemento de X, entonces como la unión de los elementos de \mathcal{H} es X, existe un H \in \mathcal{H}, tal que x \in H y así para cada x \in X, existe un H \in \mathcal{M} tal que x \in H (esto prueba la condición (a) del teorema 1). Si x \in M_1 \cap M_2, con M_1, M_2 \in \mathcal{M}, es inmediato que M_1 \cap M_2 pertenece a \mathcal{M}, pues dicha clase tiene por elementos a intersecciones finitas de elementos de \mathcal{H} y tomando M_3 = M_1 \cap M_2 se sigue que M_3 \subset M_1 \cap M_2, (esto prueba la condición (b) del teorema 2). En definitiva \mathcal{M} es una base para una topología sobre X.
Recíprocamente, si consideramos una subbase \mathcal{H}, entonces al ser la colección \mathcal{S} de las intersecciones finitas de dicha subbase una base, se sigue que dicha base verificará la condición (a) del teorema 1. Por ello, para cada x \in X, existe S \in \mathcal{S}, tal que x \in S. Si H_{S} es uno de los elementos de \mathcal{H} que intersecados dan lugar a S, se sigue que x \in S \subset H_{S} y de aquí es evidente que la unión de los elementos de la subbase es igual a todo X.

Bases de Filtro (1)

Sea X un conjunto no vacío y sea \mathcal{P}(X) el conjunto de todas sus partes (subconjuntos). Una clase no vacía \mathcal{H} de partes de X es una familia fundamental sobre X si para para cualesquiera A y B pertenecientes a \mathcal{H} existe al menos un elemento C de \mathcal{H} tal que C \subset A \cap B, siendo C no vacío si la intersección es no vacía.
Es decir, una familia fundamental se caracteriza porque la intersección de dos cualesquiera de sus elementos contiene a otro de sus elementos y si tal intersección es no vacía, entonces el elemento de la familia contenido en la intersección es también no vacío. Obsérvese que si \mathcal{H} es una familia fundamental que no contiene al vacío, entonces \mathcal{H} \cup \{\emptyset \} es también una familia fundamental. En efecto, ahora las intersecciones vacías se obtienen de la forma A \cap B, donde A o B o ambos son vacíos y, obviamente, el vacío está incluido en dicha intersección.

Un tipo especialmente importante de familia fundamental es la base de filtro. Una familia fundamental sobre X es una base de filtro sobre X si no contiene al vacío. Si \mathcal{H} es una base de filtro sobre X, entonces es claro que la intersección de dos cualesquiera de sus elementos ha de contener a un tercero de ellos no vacío. Por tanto, la intersección de elementos de la familia no es nunca vacía.

Todo abierto de topología usual de la recta real es unión numerable de intervalos abiertos disjuntos

Me he dado cuenta de que este resultado es muy importante en el desarrollo de ciertos problemas por lo que merece una demostración.

Sea A un abierto de la topología usual en \mathbb{R}. Si A es vacío podemos escribir A= (a,a) con a un número real cualquiera y el enunciado se verifica de forma trivial. Sea A no vacío. Es evidente que dado x \in A, existe al menos un \epsilon >0, tal que x \in (x-\epsilon, x+\epsilon) \subset A. Los conjuntos L=\{ a \in \overline{\mathbb{R}} : (a,x) \subset A \}, \quad U =\{b \in \overline{\mathbb{R}} : (x,b) \subset A \} son no vacíos, pues a=x-\epsilon \in L y b=x+\epsilon \in U. Además al considerar que están formados por elementos de la recta ampliada podemos obtener \inf L y \sup U (si L está acotado inferiormente, el valor del ínfimo será real y si no lo está será - \infty. Para el caso de U si está acotado superiormente, el valor será real y si no lo está será +\infty). Con ellos formamos el intervalo abierto I_{x} = (\inf L, \sup U ).

Si suponemos que existe otro intervalo abierto J tal que I_{x} \subset J \subset A, entonces, por definición de I_{x}, habrá de ser I_{x}=J. Se dice entonces que I_{x} es un intervalo componente. Consideremos la colección \{I_{x} : x \in A \} de los intervalos componentes. Es claro que A = \cup_{x \in A} I_{x}. Esta unión es disjunta ya que si x e y son elementos de A y z \in I_{x} \cap I_{y}, entonces
z \in I_{x} \subset I_{x} \cup I_{y} \subset A.
Pero I_{x} \cup I_{y} es un intervalo abierto (al ser su intersección no vacía) y, en consecuencia, I_{x} = I_{x} \cup I_{y}. Análogamente, se prueba que I_{y} = I_{x} \cup I_{y}. Por tanto, I_{x} = I_{y}. Finalmente, consideremos el conjunto \mathbb{Q} de los números racionales en la forma
\mathbb{Q}= \{q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}, \ldots \}
En cada intervalo componente I_{x} de A habrá números racionales. La aplicación f: \{I_{x} : x \in A \} \rightarrow \mathbb{N}, definida por
f(I_{x}) = \min \{n \in \mathbb{N} : q_{n} \in I_{x} \}
es inyectiva, ya que si f(I_{x}) = f(I_{y}) entonces existe un racional q que pertenece a ambos intervalos y al ser éstos disjuntos concluimos que I_{x} = I_{y}. Por tanto,
|\{I_{x} : x \in A \}| \leq |\mathbb{N}|
y la unión es numerable.