Cursos, Topología

Curso Topología General (IV)

Breve explicación sobre relaciones de orden

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Análisis, Topología

Funciones monótonas (III)

Vamos a estudiar las relaciones entre la monotonía y continuidad de las funciones reales de variable real. Esto precisa de un repaso de conceptos topológicos para hacer la exposición más clara y amplia.

Definición 1: Sean (X,T) e (Y,S) dos espacios topológicos y sea f:X \rightarrow Y una aplicación. Diremos que f es continua en X si para todo abierto V de S, su imagen inversa f^{-1}(V) es un abierto de T.

Esta es la definición de lo que podemos llamar continuidad global. También nos interesa la continuidad puntual.

Definición 2: Sean (X,T) e (Y,S) dos espacios topológicos, f una función de X en Y y x \in X. Decimos que f es continua en x si para todo entorno V de f(x) existe un entorno U de x que verifica f(U) \subset V.

Obsérvese la utilización de entornos en lugar de abiertos. Recordemos que un entorno de un punto x no es más que un conjunto que incluye a un abierto al que pertenece x. Además, según esta definición de continuidad puntual, en todo punto aislado resulta que f es continua. En efecto, si x_0 es un punto aislado de X, entonces existe un entorno U' tal que U' \cap X= \{x_0\}. Por tanto, dado cualquier entorno V de f(x_0), bastará tomar U' para que f(U') = \{f(x_0) \} \subset V.

Vamos a dar algunas condiciones equivalentes de continuidad.

Teorema 1: Sean (X,T) e (Y,S) dos espacios topológicos. Son equivalentes:
(1) f:X \rightarrow Y es continua en X.
(2) Para cada subconjunto A de X es f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}.
(3) Para cada cerrado B de Y es f^{-1}(B) un cerrado de X.

Prueba: (1) implica (2). Sea A un subconjunto de X. Supongamos que \overline{A} = \emptyset, entonces trivialmente \emptyset = f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}. Supongamos que \overline{A} es no vacío y sea x \in \overline{A}. Si V es un entorno de f(x), hallaremos un abierto \theta tal que f(x) \in \theta \subset V. Por tanto,

x \in f^{-1}(\theta) \subset f^{-1}(V).

Pero al ser f continua esto implica que f^{-1}(\theta) es abierto y f^{-1}(V) es un entorno de x. En consecuencia, f^{-1}(V) \cap A \neq \emptyset y de aquí

\emptyset \neq f(f^{-1}(V) \cap A) \subset f^(f^{-1}(V)) \cap f^{-1}(A) \subset V \cap f^{-1}(A).

Es decir, todo entorno de f(x) corta a f(A) por lo que f(x) \in \overline{f(A)}. Como es claro que f(x) \in f( \overline{A}), concluimos pues la inclusión buscada: f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}.

(2) implica (3). Sea B un cerrado de Sy sea A=f^{-1}(B). Como

f(A) = f(f^{-1}(B)) \subset B,

resulta que si x \in \overline{A}, entonces

f(x) \in f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)} \subset \overline{B} = B.

Esto prueba que x \in f^{-1}(B) =A y por ello A contiene todos sus puntos adherentes y es cerrado.

(3) implica (1). Sea \theta un abierto de S. Entonces Y-\theta es abierto y tenemos que

f^{-1}(Y-\theta) = X- f^{-1}(\theta)

es cerrado. En consecuencia, f^{-1}(\theta) es abierto y la función f es continua.

Para acabar esta entrada nos queda relacionar la continuidad global y la puntual

Teorema 2: Sean (X,T) e (Y,S) dos espacios topológicos. Son equivalentes:

(a) f:X \rightarrow Y es continua en todo punto x \in X.

(b) f:X \rightarrow Y es continua en X.

Prueba:

(a) implica (b). Sea \theta un abierto de S. Sea x \in f^{-1}(\theta). Hallaremos que f(x) \in \theta y existe un entorno abierto U_x del punto x tal que

f(U_x) \subset \theta.

Es decir,

x \in U_x \subset f^{-1}(\theta).

Hacemos esto para cada punto de f^{-1}(\theta) quedando

\cup_{x} U_x = f^{-1}(\theta)

y así f^{-1}(\theta) es abierto al ser unión de abiertos. Esto nos permite afirmar que f es continua en X.

(b) implica (a). Sea f continua en X y sea x un punto de X y V un entorno de f(x). Hallaremos pues un abierto \theta de S tal que

f(x) \in \theta \subset V.

Luego

x \in f^{-1}(\theta) \subset f^{-1}(V).

Como f es continua, resulta que f^{-1}(\theta) es un abierto y f^{-1}(V) un entorno de x. Para acabar

f(f^{-1}(V)) \subset V.

Esto prueba que U=f^{-1}(V) es un entorno de x que cumple la definición de continuidad puntual y así f es continua en x.

En la próxima entrada veremos que ocurre con las funciones continuas y los compactos.

Cursos, Lecturas, Topología

Curso EVT. Lectura 27. Topología (2)

Sea (X, \mathcal{T}) un espacio topológico. Decimos que una subcolección no vacía \mathcal{S} de \mathcal{T} es una base de dicha topología si para cada A en \mathcal{T} y cada x \in A, existe S \in \mathcal{S} tal que x \in S \subset A. Esto viene a significar que todo abierto de la topología es unión de elementos de la base. En general, nos interesa dar una base y construir a partir de ella una topología pero para ello una colección cualquiera de conjuntos ha de cumplir algunas condiciones que detallamos a continuación.

Teorema 1. Una colección no vacía \mathcal{S} de partes de un conjunto X es base de una topología \mathcal{T} si y sólo si:
(a) Para cada x \in X, existe al menos un S \in \mathcal{S} con x \in S.
(b) Si x pertenece a la intersección de dos elementos S_1 y S_2 de \mathcal{S}, entonces existe un S_3 \in \mathcal{S} que verifica x \in S_3 \subset S_1 \cap S_2.

Prueba. Supongamos que \mathcal{S} verifica (a) y (b). Definimos entonces la colección \mathcal{T} de los subconjuntos U \subset X tales que si x \in U, entonces existe S \in \mathcal{S}, de forma que x \in S \subset U. Probaremos que \mathcal{T} es una topología sobre X. En efecto, el vacío cumple la condición por omisión y por (a) resulta que X pertenece a \mathcal{T}. Consideremos ahora dos elementos U,W de \mathcal{T}. Si la intersección es vacía no tenemos nada que probar, sea pues no vacía y sea x \in U \cap W, entonces hallaremos S_1,S_2 \in \mathcal{S}, de forma que x \in S_1 \subset U y x \in S_2 \subset W. Aplicando (b) resulta que existe S_3 \in \mathcal{S} de manera que x \in S_3 \subset S_1 \cap S_2 \subset U \cap W. Esto prueba que U \cap W \in \mathcal{T}. Sea ahora una familia (U_i)_{i \in I} de elementos de \mathcal{T} y sea x \in \cup_{i \in I} U_i. Entonces hallaremos un índice i_0 \in I y un elemento S \in \mathcal{S}, de manera que x \in S \subset U_{i_{0}} \subset \cup_{i \in I} U_i. Esto prueba que la unión de los elementos de (U_i)_{i \in I} pertenece a \mathcal{T}. Así pues \mathcal{T} es una topología y es claro que \mathcal{S} \subset \mathcal{T} y cada elemento U de la topología \mathcal{T} es unión de elementos de \mathcal{S}. Para acabar, supongamos que \mathcal{T} es una topología y que \mathcal{S} es una de sus bases. En tal caso, como X \in \mathcal{T}, resulta que para cada x \in X , es posible hallar un S \in \mathcal{S} de manera que x \in S \subset X. Esto prueba (a). Por otro lado, si S_1,S_2 son elementos de la \mathcal{S}, entonces su intersección es un abierto y por ello si es no vacía, dado x \in S_1 \cap S_2, hallaremos S_3 \in \mathcal{S}, que verifica x \in S_3 \subset S_1 \cap S_2. Esto prueba (b) y termina la demostración.

Cuando una topología tiene al menos una base numerable se dice que verifica el segundo axioma de numerabilidad.

Otra noción interesante es la de sub-base. Decimos que una colección no vacía de partes de un conjunto X es una sub-base para una topología sobre dicho conjunto, si las intersecciones finitas de los elementos de la colección forman una base de una topología. La condición para conseguir una sub-base resulta sencilla.

Teorema 2. Una colección no vacía \mathcal{H} de partes de un conjunto X es sub-base de una topología \mathcal{T} si y sólo si la unión de los elementos de la colección es X.

Prueba. Consideremos que \mathcal{H} verifica la condición \cup_{H \in \mathcal{H}} H = X. Sea \mathcal{M} la colección de las intersecciones finitas de los elementos de \mathcal{H}. Probaremos que \mathcal{M} es una base para una topología \mathcal{T} de X. Evidentemente, es \mathcal{H} \subset \mathcal{M}, por lo que si x es un elemento de X, entonces como la unión de los elementos de \mathcal{H} es X, existe un H \in \mathcal{H}, tal que x \in H y así para cada x \in X, existe un H \in \mathcal{M} tal que x \in H (esto prueba la condición (a) del teorema 1). Si x \in M_1 \cap M_2, con M_1, M_2 \in \mathcal{M}, es inmediato que M_1 \cap M_2 pertenece a \mathcal{M}, pues dicha clase tiene por elementos a intersecciones finitas de elementos de \mathcal{H} y tomando M_3 = M_1 \cap M_2 se sigue que M_3 \subset M_1 \cap M_2, (esto prueba la condición (b) del teorema 2). En definitiva \mathcal{M} es una base para una topología sobre X.
Recíprocamente, si consideramos una subbase \mathcal{H}, entonces al ser la colección \mathcal{S} de las intersecciones finitas de dicha subbase una base, se sigue que dicha base verificará la condición (a) del teorema 1. Por ello, para cada x \in X, existe S \in \mathcal{S}, tal que x \in S. Si H_{S} es uno de los elementos de \mathcal{H} que intersecados dan lugar a S, se sigue que x \in S \subset H_{S} y de aquí es evidente que la unión de los elementos de la subbase es igual a todo X.

Topología

Bases de Filtro (1)

Sea X un conjunto no vacío y sea \mathcal{P}(X) el conjunto de todas sus partes (subconjuntos). Una clase no vacía \mathcal{H} de partes de X es una familia fundamental sobre X si para para cualesquiera A y B pertenecientes a \mathcal{H} existe al menos un elemento C de \mathcal{H} tal que C \subset A \cap B, siendo C no vacío si la intersección es no vacía.
Es decir, una familia fundamental se caracteriza porque la intersección de dos cualesquiera de sus elementos contiene a otro de sus elementos y si tal intersección es no vacía, entonces el elemento de la familia contenido en la intersección es también no vacío. Obsérvese que si \mathcal{H} es una familia fundamental que no contiene al vacío, entonces \mathcal{H} \cup \{\emptyset \} es también una familia fundamental. En efecto, ahora las intersecciones vacías se obtienen de la forma A \cap B, donde A o B o ambos son vacíos y, obviamente, el vacío está incluido en dicha intersección.

Un tipo especialmente importante de familia fundamental es la base de filtro. Una familia fundamental sobre X es una base de filtro sobre X si no contiene al vacío. Si \mathcal{H} es una base de filtro sobre X, entonces es claro que la intersección de dos cualesquiera de sus elementos ha de contener a un tercero de ellos no vacío. Por tanto, la intersección de elementos de la familia no es nunca vacía.