Bases de Filtro (2)

Vamos a continuar con algunas propiedades de las bases de filtro. En primer lugar, veremos que se conservan a través de las aplicaciones.
Sean X e Y dos conjuntos no vacíos. Sea \mathcal{H} una base de filtro sobre X y sea f una aplicación de X en Y. Afirmamos que la clase
f(\mathcal{H}) = \{f(A) : A \in \mathcal{H} \}
es una base de filtro sobre Y.
En primer lugar, la clase \mathcal{H} es no vacía por lo que f(\mathcal{H}) será no vacía. Además como el vacío no pertenece a \mathcal{H}, se sigue que para todo A de \mathcal{H} es f(A) no vacío y, por tanto, la clase f(\mathcal{H}) no contiene al vacío. Sean U y V elementos de f(\mathcal{H}). Hallaremos A y B de \mathcal{H}, tales que U = f(A) y V = f(B). Además, como \mathcal{H} es una base de filtro, existe C en \mathcal{H}, no vacío, tal que C \subset A \cap B . El conjunto W = f(C) es no vacío, pertenece a f(\mathcal{H}) y verifica
W= f(C) \subset f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B) = U \cap V .
Esto termina la demostración.
Por otro lado, supongamos que X e Y son dos conjuntos no vacíos. y \mathcal{J} es una familia fundamental sobre Y y f una aplicación de X en Y. Si para todo B de \mathcal{J} es B \cap f(X) no vacío, entonces la clase de las imágenes inversas f^{-1}(\mathcal{J}) = \{ f^{-1} (B) : B \in \mathcal{J} \} es una familia fundamental sobre X. Veamos la prueba. Sean A_{1}, A_{2} dos elementos de f^{-1}(\mathcal{J}). Hallaremos dos conjuntos B_{1}, B_{2} \in \mathcal{J}, tales que A_{1}= f^{-1}(B_{1}),A_{2}= f^{-1}(B_{2}). Entonces

A_{1} \cap A_{2} = f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}) = f^{-1} (B_{1} \cap B_{2}).

Pero como \mathcal{J} es una familia fundamental, sabemos que existe B_{3} \in \mathcal{J} con B_{3} \subset B_{1} \cap B_{2}, por lo que

f^{-1} (B_3) \subset f^{-1}(B_1 \cap B_2) = A_1 \cap A_2
Si la intersección A_{1} \cap A_{2} fuera vacía, entonces como B_{1} \cap B_{2} \cap f(X) \neq \emptyset, concluiríamos que la intersección B_{1} \cap B_{2} es vacía pues en otro caso su imagen inversa no sería vacía. Así pues, B_{3} = \emptyset y f^{-1} (B_{3}) = \emptyset. Para acabar, si la intersección A_{1} \cap A_{2} no fuera vacía, entonces el conjunto B_{1} \cap B_{2} es no vacío y también son  B_{3} y A_{3} = f^{-1} (B_{3}) no vacíos.

En el teorema anterior, la condición de corte de todo B \in \mathcal{J} con el recorrido de la aplicación f: X \rightarrow Y es esencial. En efecto, podemos asegurar en esas circunstancias que el vacío se obtiene sólo como imagen inversa del vacío.

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Bases de Filtro (1)

Sea X un conjunto no vacío y sea \mathcal{P}(X) el conjunto de todas sus partes (subconjuntos). Una clase no vacía \mathcal{H} de partes de X es una familia fundamental sobre X si para para cualesquiera A y B pertenecientes a \mathcal{H} existe al menos un elemento C de \mathcal{H} tal que C \subset A \cap B, siendo C no vacío si la intersección es no vacía.
Es decir, una familia fundamental se caracteriza porque la intersección de dos cualesquiera de sus elementos contiene a otro de sus elementos y si tal intersección es no vacía, entonces el elemento de la familia contenido en la intersección es también no vacío. Obsérvese que si \mathcal{H} es una familia fundamental que no contiene al vacío, entonces \mathcal{H} \cup \{\emptyset \} es también una familia fundamental. En efecto, ahora las intersecciones vacías se obtienen de la forma A \cap B, donde A o B o ambos son vacíos y, obviamente, el vacío está incluido en dicha intersección.

Un tipo especialmente importante de familia fundamental es la base de filtro. Una familia fundamental sobre X es una base de filtro sobre X si no contiene al vacío. Si \mathcal{H} es una base de filtro sobre X, entonces es claro que la intersección de dos cualesquiera de sus elementos ha de contener a un tercero de ellos no vacío. Por tanto, la intersección de elementos de la familia no es nunca vacía.

Todo abierto de topología usual de la recta real es unión numerable de intervalos abiertos disjuntos

Me he dado cuenta de que este resultado es muy importante en el desarrollo de ciertos problemas por lo que merece una demostración.

Sea A un abierto de la topología usual en \mathbb{R}. Si A es vacío podemos escribir A= (a,a) con a un número real cualquiera y el enunciado se verifica de forma trivial. Sea A no vacío. Es evidente que dado x \in A, existe al menos un \epsilon >0, tal que x \in (x-\epsilon, x+\epsilon) \subset A. Los conjuntos L=\{ a \in \overline{\mathbb{R}} : (a,x) \subset A \}, \quad U =\{b \in \overline{\mathbb{R}} : (x,b) \subset A \} son no vacíos, pues a=x-\epsilon \in L y b=x+\epsilon \in U. Además al considerar que están formados por elementos de la recta ampliada podemos obtener \inf L y \sup U (si L está acotado inferiormente, el valor del ínfimo será real y si no lo está será - \infty. Para el caso de U si está acotado superiormente, el valor será real y si no lo está será +\infty). Con ellos formamos el intervalo abierto I_{x} = (\inf L, \sup U ).

Si suponemos que existe otro intervalo abierto J tal que I_{x} \subset J \subset A, entonces, por definición de I_{x}, habrá de ser I_{x}=J. Se dice entonces que I_{x} es un intervalo componente. Consideremos la colección \{I_{x} : x \in A \} de los intervalos componentes. Es claro que A = \cup_{x \in A} I_{x}. Esta unión es disjunta ya que si x e y son elementos de A y z \in I_{x} \cap I_{y}, entonces
z \in I_{x} \subset I_{x} \cup I_{y} \subset A.
Pero I_{x} \cup I_{y} es un intervalo abierto (al ser su intersección no vacía) y, en consecuencia, I_{x} = I_{x} \cup I_{y}. Análogamente, se prueba que I_{y} = I_{x} \cup I_{y}. Por tanto, I_{x} = I_{y}. Finalmente, consideremos el conjunto \mathbb{Q} de los números racionales en la forma
\mathbb{Q}= \{q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}, \ldots \}
En cada intervalo componente I_{x} de A habrá números racionales. La aplicación f: \{I_{x} : x \in A \} \rightarrow \mathbb{N}, definida por
f(I_{x}) = \min \{n \in \mathbb{N} : q_{n} \in I_{x} \}
es inyectiva, ya que si f(I_{x}) = f(I_{y}) entonces existe un racional q que pertenece a ambos intervalos y al ser éstos disjuntos concluimos que I_{x} = I_{y}. Por tanto,
|\{I_{x} : x \in A \}| \leq |\mathbb{N}|
y la unión es numerable.