Archivos Mensuales: abril 2013

Estructura de los anillos de Boole generados por una clase no vacía

Supongamos que \mathcal{M} es una clase no vacía de partes de un conjunto X. Denotamos por \mathcal{R}(\mathcal{M}) al anillo de Boole generado por dicha clase. Sabemos que dicho anillo siempre existe y es el mínimo en sentido inclusivo que contiene a la clase \mathcal{M}, pero ¿podemos dar alguna caracterización de cómo se forma? En principio, si la clase \mathcal{M} es un semianillo, sabemos que \mathcal{R}(\mathcal{M}) es el conjunto de las uniones finitas disjuntas de elementos de  \mathcal{M} pero me temo que en el caso general no hay una forma clara de obtenerlo. El siguiente resultado esboza una forma que admito que no es muy práctica pero puede ser útil para algunos casos.

Sea la clase no vacía  \mathcal{M}. Llamaremos H_0 a dicha clase y supondremos que \emptyset \in H_0.  La clase H_1 es el conjunto de las uniones finitas de diferencias de elementos de H_0, la clase H_2 es el conjunto de las uniones finitas de diferencias de elementos de H_1 y así sucesivamente. Obtenemos pues una sucesión recurrente H_n de clases. Como H_0 es no vacía. Dado A \in H_0 es A-\emptyset = A un elemento de H_1. Análogamente, si B es un elemento de H_1, entonces B-\emptyset = B \in H_2 y así H_0 \subset H_1 \subset H_2. En general,

H_0 \subset H_1 \subset H_2 \subset \ldots \subset H_n \subset H_{n+1} \subset \ldots .

Probaremos que la unión

S = \cup_{n=0}^{\infty} H_n

es el anillo generado por \mathcal{M}. En primer lugar, es claro que

\mathcal{M} \subset \cup_{n=0}^{\infty} H_n \subset \mathcal{R} (\mathcal{M}),

pues por definición H_0 = \mathcal{M} y además todo anillo es cerrado para la unión finita y la diferencia de sus elementos. En segundo lugar, si C y D son elementos de S, hallaremos que pertenecen a ciertos H_j y H_k de la sucesión creciente. Por tanto, si r = \max \{j,k \} , ambos pertenecerán a H_{ r }. En consecuencia,

C-D \in H_{r+1} \subset S,

C \cup D = (C- \emptyset) \cup (D- \emptyset) \in H_{r+1} \subset S.

Esto prueba que S es cerrado para la diferencia y la unión finita y, por tanto, es un anillo. Así pues

\mathcal{R}(\mathcal{M}) \subset S

y esta inclusión junto con la anterior nos muestra que

\mathcal{R}(\mathcal{M}) = S.

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Sobre semianillos de conjuntos y operaciones finitas

Una clase o familia de partes de un conjunto X es un semianillo si contiene al vacío, es cerrada para la intersección finita y la diferencia de dos de sus elementos se puede expresar como unión finita disjunta de elementos de la misma clase. Un ejemplo de semianillo muy utilizado es el de la clase de los intervalos de la recta real de la forma

]a,b],

donde a y b son números reales con a \leq b. Otro ejemplo de semianillo es el de los intervalos

[a,b[

y también es un semianillo la clase de todos los intervalos (abiertos, cerrados, semiabiertos, vacíos, acotados, no acotados, etc.). Sin embargo, la clase

\mathcal{C} = \{ [a,b] : a \leq b \} \cup \emptyset

no es un semianillo. Basta ver que si a < c <b < d, entonces

[a,b]-[c,d] = [a,c[

y [a,c[ no puede expresarse como unión finita y disjunta de intervalos cerrados. Sin embargo, sí puede expresarse como unión numerable de intervalos cerrados aunque no disjunta. Basta observar que

\cup_{n=1}^{\infty} [a, c-\frac{1}{n}] = [a,c[.

Yendo un paso más allá podríamos preguntarnos si es posible encontrar una sucesión disjunta de intervalos cerrados cuya unión fuera el intervalo [a,c[.

Equicardinalidad de algunos intervalos

Siempre resulta interesante analizar el concepto matemático actual del infinito. Una de las maneras de mostrar su profundidad y su carácter no intuitivo es a través de ciertas demostraciones que se deducen de él. En esta entrada vamos a mostrar una de tales demostraciones. En concreto, probaremos que los intervalos ]0,1[ y [0,1[ de la recta real tienen el mismo número de elementos (o puntos como se  suele decir).  Sea el conjunto

A = \{ \frac{1}{n+1} : n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 0 \} .

Tal conjunto está incluido en el intervalo [0,1[. Además, si B = A - \{0 \}, es B un subconjunto de ]0,1[. Una vez considerados estos conjuntos, definimos una aplicación f:[0,1[ \rightarrow ]0,1[, mediante

f(x) = \frac{1}{2} si x=0,

f(x) = \frac{1}{n+2}, si x = \frac{1}{n+1},

f(x) = x, si x \in [0,1[ -A.

En realidad, tal aplicación deja intactos a todos los elementos de [0,1[ que no están en A, a los que están en A y no son cero los “mueve” un lugar en la sucesión que define a A y al cero le hace corresponder el lugar libre que deja la sucesión (el primer término). Es fácil comprobar que este arreglo hace que f sea una biyección. En efecto, las restricciones

f(A) = \{ \frac{1}{2} \} \cup \{ \frac{1}{n+2}, n=1,2, \ldots, \} = B,

f([0,1[ -A) = ]0,1[ -B,

son biyectivas y esto significa que f es también biyectiva. La siguiente imagen ayuda a comprender estas ideas

biyeccion3

 

En realidad, hemos mostrado que a pesar de que parece que el intervalo [0,1[ tiene un punto más (el cero) que el intervalo ]0,1[, esto no es así pues ambos son igual de “infinitos”.

Interesante equicardinalidad de conjuntos de funciones

Sean tres conjuntos A, B y C. Supongamos que los conjuntos A y B son equinumerosos (tienen el mismo cardinal). Sean

A^{C} = \{ f: C \rightarrow A \},

B^{C} = \{g: C \rightarrow B \},

los conjuntos de las funciones f de C en A y de las funciones g de C en B, respectivamente. Probaremos que A^{C} y B^{C} tienen el mismo cardinal. Para ello vamos a utilizar la biyección

f: A \rightarrow B

que, por hipótesis, existe entre A y B. Con ella, definimos la aplicación

\lambda : A^{C} \rightarrow B^{C},

dada por \lambda (h) = f \circ h. Esta aplicación está bien definida (ver imagen)

Imagen

pues a cada aplicación de C en A le hacemos corresponder una aplicación de C en B. Probaremos que \lambda es una biyección. El método que vamos a emplear es definir otra aplicación \mu que resulta ser inversa de \lambda. Sea pues

\mu : B^{C} \rightarrow A^{C}

dada por \mu (j) = f^{-1} \circ j.  Es fácil ver que está bien definida (ver imagen)

Imagen

Sólo nos resta ver las relaciones siguientes:

(\mu \circ \lambda)( h) = \mu (\lambda (h) ) = \mu (f \circ h) = f^{-1} \circ f \circ h =h,

(\lambda \circ \mu) (j) = \lambda (\mu (j )) = \lambda (f^{-1} \circ j) = f \circ f^{-1} \circ j = j.

En efecto, tales relaciones muestran que \lambda y \mu son inversas una de la otra por lo que son biyecciones y concluimos que el cardinal de A^{C} es igual al cardinal de B^{C}.

Un ejemplo práctico de resolución de ecuación recíproca de grado cuatro

Las ecuaciones recíprocas son aquellas ecuaciones polinómicas que tienen una raíz junto con su inversa o recíproca (ver anterior post). Si el grado es impar vimos que una de sus raíces ha de ser 1 o -1 lo que facilita la reducción a un grado par. Por ello es interesante ejemplificar el procedimiento de resolución para grado par. Utilizaremos una ecuación de grado cuatro para no alargar nuestros desarrollos, pero las ideas empleadas son generales.

Sea la ecuación 2 x^{4}-9 x^{3}+14 x^{2}-9 x +2 = 0. Dicha ecuación es recíproca pues vemos que tiene los coeficientes equidistantes iguales y del mismo signo. Nuestro primer paso es dividir ambos miembros de la ecuación por x^{2}. Obtenemos

2 x^{2}-9 x + 14 - \frac{9}{x} + \frac{2}{x^{2}} = 0.

Agrupamos términos equidistantes

2(x^{2}+ \frac{1}{x^{2}})- 9 (x + \frac{1}{x}) +14 = 0.

Hacemos el cambio de variable z = x + \frac{1}{x} y sustituimos

2(z^{2} -2) -9 z +14 = 0.

Simplificamos

2z^{2} -9z + 10 =0.

Llegamos a una ecuación de segundo grado en z con soluciones

z = 2, \frac{5}{2}.

Sustituimos estos valores en la expresión del cambio de variable para obtener dos ecuaciones de segundo grado

2 x^{2} -5 x +2 =0,

x^{2}-2x+1 =0.

La primera de ellas tiene por soluciones x=2,\frac{1}{2} y la segunda tiene una raíz doble x =1. Obsérvese que, como esperábamos, las soluciones son cuatro, inversas entre sí:

x = 1, 1, x =2, \frac{1}{2}.

El lector puede comprobar que son correctas utilizando wolframalpha

Las sucesiones binarias y la cardinalidad del continuo (2)

Vamos a probar que el conjunto de todas las sucesiones binarias tiene el mismo cardinal que el de los números reales. Esto, en virtud del resultado demostrado anteriormente, nos muestra que el conjunto de las partes de \mathbb{N} tiene el cardinal del continuo.

Si A es un conjunto, escribimos |A| para denotar su cardinal. Si existe una aplicación inyectiva f:A \rightarrow B, escribimos |A| \leq |B|. En esta demostración vamos a usar el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein que nos dice que si |A| \leq |B| y |B| \leq |A|, entonces |A| = |B|.
Sea el intervalo [0,1[ de la recta real. Cada x de dicho intervalo se puede expresar en la forma
x = \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} 2^{-n},
donde (x_{n}) es una sucesión binaria. En el caso de que x= \frac{1}{2^{p}} con p \in \mathbb{N}, podemos obtener sucesiones binarias (x_{n}), (y_{n}) distintas tales que
x = \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} 2^{-n} = \sum_{n=1}^{\infty} y_{n} 2^{-n}.
Por ejemplo, las sucesiones binarias
(x_{n}) = (0,1,1,1,1, \ldots, 1, \ldots), (y_{n}) = (1,0,0,0,0, \ldots, 0, \ldots)
dan lugar a \frac{1}{2}. Para evitar esto, consideramos que cada x se expresa en forma binaria con un número finito de unos. De esta manera, a cada x del intervalo [0,1[ le correspondería una única representación binaria y, en consecuencia, una única sucesión binaria. Así pues, la aplicación
f:[0,1[ \rightarrow \{0,1 \}^{\mathbb{N}},
que asigna a cada x del intervalo [0,1[ la sucesión binaria (x_{n}) tal que el conjunto \{n \in \mathbb{N}: x_{n} =1 \} es finito y x = \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} 2^{-n}, es una aplicación inyectiva. Esto significa que |[0,1[| \leq |\{0,1 \}^{\mathbb{N}}| .
Sea (x_{n}) una sucesión binaria. La aplicación
\phi: \{0,1\}^{\mathbb{N}} \rightarrow [0,1[,
dada por \phi((x_{n})) =\sum_{n=1}^{\infty} x_{n} 10^{-n} , está bien definida y es inyectiva. En efecto, los desarrollos de la forma \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} 10^{-n} con x_{n} \in \{0,1 \} dan lugar a números reales del intervalo [0,1[. Además, al no existir en tales desarrollos una infinidad de nueves, resultan ser únicos. Por tanto, |\{0,1 \}^{\mathbb{N}}|\leq |[0,1[|. Aplicando Cantor-Schröder-Bernstein tenemos que |\{0,1 \}^{\mathbb{N}}|=|[0,1[|, lo que prueba que el conjunto de las sucesiones binarias tiene la cardinalidad del continuo.