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Ejercicios de Demidovich (6)

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Solución:

a) Intentamos despejar el valor de x, teniendo en cuenta el subconjunto del plano S para que el que la expresión tiene sentido. De esta manera, como \arccos y está definida para el intervalo [-1,1], tenemos que si (x,y) \in S \subset \mathbb{R} \times [-1,1], entonces de

x^2 - \arccos y = \pi,

tenemos que

\arccos y = x^2 - \pi,

y = \cos (x^2 -\pi) = -\cos (x^2), con x \in \mathbb{R}, (recordemos que \cos (a -\pi) = - \cos a).

b) Esta expresión exponencial puede simplificarse mediante

10^y = 10-10^x,

y = \log(10-10^x).

Pero hemos de tener en cuenta que 10 -10^x >0, esto es -10^x > -10, o bien 10^x < 10, de donde x<1.

c) Aquí hemos de tener en cuenta la definición de valor absoluto. Por tanto, si y \geq 0, resulta

x+y = 2y,

x-y = 0,

y=x, x \geq 0.

Mientras que si y <0, es

x-y = 2y,

x-3y = 0,

y = \frac{1}{3} x, x <0.

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Ejercicios de Demidovich (5)

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a) Esta función está definida en toda la recta real y su recorrido también es toda la recta real. Además es inyectiva por lo que tiene inversa y resulta simplemente de intercambiar las variables y despejar:

y = 2x+3,

x = 2y+3,

y = \frac{1}{2} (x-3).

b) Esta es una función cuadrática y su dominio es todo \mathbb{R}. Sin embargo, su recorrido es el intervalo [-1, +\infty[. Además no es inyectiva. Por tanto, no tiene inversa general. Ahora bien, podemos considerar una partición de su dominio de manera que en cada uno de los conjuntos de dicha partición la función sea inyectiva.

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El gráfico anterior nos muestra que los intervalos ] -\infty, 0], ]0, +\infty[ son los mejores candidatos para la partición del dominio. Así pues, la restricción de y=x^2-1 al intervalo ]-\infty, 0] es inyectiva y podemos plantear el mismo proceso de cambio de letras y posterior simplificación:

y= x^2-1,

x= y^2-1,

y= \sqrt{x+1}.

Pero, ¿qué valor tomamos de la raíz? ¿Positivo? ¿Negativo? Es claro que para obtener los valores del intervalo negativo la raíz ha de ser negativa. Por tanto,

y= -\sqrt{x+1}.

Análogamente, para el intervalo ]0, +\infty[, la inversa es y=+ \sqrt{x+1}.

c) Esta función es inyectiva en todo su dominio (que es la recta real). Por tanto,

y= \sqrt[3]{1-x^3},

x = \sqrt[3]{1-y^3},

x^3 = 1-y^3,

y = \sqrt[3]{1-x^3}.

Esta función es su propia inversa. Aquí puedes ver su gráfica.

d) La función logaritmo decimal tiene por dominio el conjunto de los números estrictamente positivos y su recorrido es toda la recta real. Por tanto, ha de ser \frac{x}{2} >0. Esto es x >0. Además en su dominio es inyectiva y tendrá inversa. Seguimos el mismo proceso que en apartados anteriores:

y= \log (\frac{x}{2}),

x = \log (\frac{y}{2}),

10^x = \frac{y}{2},

y= 2 \cdot 10^x.

e) La función arco tangente es la inversa de la función tangente en el intervalo ] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[. En particular, su dominio es toda la recta real y su recorrido el intervalo anterior. Obviamente, la inversa de la función arco tangente será la función tangente.

y= \arctan 3x,

x = \arctan 3y,

\tan x = 3y,

y = \frac{1}{3} \tan x.

Su dominio, como hemos precisado anteriormente, es el intervalo ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[.

Ejercicios de Demidovich (3)

Imagen24. Recordemos que una función real de variable real h es par si su dominio D es un conjunto simétrico D = \{ x : -l<x<l \} y h(-x) = h(x) para cada x \in D. En el caso de que h(-x) = -h(x) para cada x \in D, se dice que la función es impar. Sea f una función con dominio simétrico. Entonces podemos comprobar que la función

g(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}

es par. En efecto,

g(-x) = \frac{f(-x)+f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)+f(x)}{2} = g(x).

Por otro lado, la función

h(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}

es impar, pues

h(-x) = \frac{f(-x)-f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)-f(x)}{2} = - \frac{f(x) -f(-x)}{2} = -h(x).

Finalmente, es g(x)+h(x)= \frac{f(x)+f(-x)}{2} +\frac{f(x)-f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x).

25. Sea f y g dos funciones pares con dominio común D. Entonces para cada x \in D es

(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = f(x) g(x) = (fg)(x).

Lo que prueba que fg es una función par. Del mismo modo, si f y g son impares con dominio común D, para todo x \in D resulta

(fg)(-x) = f(-x) g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x) g(x) = (fg)(x) .

Así que el producto fg es par. Del mismo modo se prueba que el producto de una función par y otra impar es una función impar.

Ejercicios de Demidovich (2)

Seguimos con problemas del texto de Demidovich:

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10. Es fácil ver que la función

g(x) = \frac{|x|+x}{2}

verifica g =f. En efecto, los dominios de ambas son iguales (toda la recta real) y si x > 0, entonces

f(x) = x = \frac{x+x}{2} =\frac{|x|+x}{2} = g(x),

y si x \leq 0, entonces

f(x) = 0 = \frac{x-x}{2} = \frac{x+|x|}{2} = g(x).

En consecuencia, f(x) = g(x) para todo x \in \mathbb{R}.

11. a) Debemos exigir que x+1 \geq 0. Por tanto, x \geq -1 y el dominio de esta función es el intervalo [-1 \infty). El apartado b) es muy diferente. Al ser una raíz cúbica, el radicando puede adoptar cualquier valor real y el dominio es todo \mathbb{R}.

12. El denominador de esta función no puede anularse, por lo que resolvemos la ecuación 4-x^2 = 0 y obtenemos las soluciones x = -2,2. El dominio es entonces, el conjunto (-\infty, -2) \cup (-2,2) \cup (2, \infty), o lo que es lo mismo \mathbb{R} - \{-2,2\}.

13. a) Como en 11, exigimos que x^2-2 \geq 0. Esta inecuación es de segundo grado y debemos estudiarla recurriendo a la ecuación correspondiente x^2-2 = 0, cuyas soluciones son x = -\sqrt{2}, \sqrt{2}. La obtención de las soluciones permite factorizar x^2-2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) y la inecuación queda como (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \geq 0. Es decir, ambos factores han de ser del mismo signo. Esto se puede estudiar cómodamente viendo el signo de cada factor en los intervalos determinados por las raíces: (-\infty, -\sqrt{2}), (-\sqrt{2}, \sqrt{2}), (\sqrt{2}, +\infty). Si hacemos esto vemos que en los intervalos (-\infty, -\sqrt{2}) y (\sqrt{2}, +\infty) el producto de ambos factores es positivo. En consecuencia, el dominio es la unión (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, +\infty), pues también admitimos que el producto sea nulo. Una forma equivalente de llegar al mismo resultado es observar la gráfica de y=x^2-2, la cual es una parábola que da valores positivos precisamente en los intervalos señalados:

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El apartado b) es análogo.

14. Debemos resolver la inecuación 2+x-x^2 \geq 0. El procedimiento a seguir es el mismo que en 13.

15. Aquí la solución viene de la intersección de los dominios de las funciones y_1 = \sqrt{-x} e y_2 = \frac{1}{\sqrt{2+x}}. En definitiva, resolvemos el sistema:

-x \geq 0,

2+x >0.

Esto es fácil, tenemos que la solución de la primera inecuación es x \leq 0 y la de la segunda x >-2. Por tanto, el dominio buscado es (-\infty, 0] \cap (-2, \infty) = (-2,0].