Archivos Mensuales: marzo 2014

Formas cuadráticas (3)

Seguimos con algunos resultados más.

Teorema 1. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita, n, sobre un cuerpo K y sea B=(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}) una base de E. Toda forma bilineal f: E \times E \rightarrow K es simétrica si y sólo si, su matriz A respecto a la base B es simétrica.

Demostración. Supongamos que f: E \times E \rightarrow K es simétrica. En tal caso la matriz A= (f(u_{j}, u_{i})) verifica A^{T} = (f(u_{j}, u_{i}))^{T} = (f(u_{i}, u_{j}) )= (f(u_{j},u_{i}))= A y resulta una matriz simétrica. Análogamente, si la matriz A= (f(u_{j}, u_{i})) es simétrica, entonces

f(u,v) = u_{B} A (v_{B})^{T} = (u_{B} A (v_{B})^{T})^{T} = v_{B} A^{T} (u_{B})^{T} = v_{B} A (u_{B})^{T} = f(v,u)

lo que prueba que la forma bilineal es simétrica. Aquí termina nuestra demostración.

A continuación vamos a determinar cómo afecta el cambio de base a la expresión matricial de una forma bilineal.

Teorema 2. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita, n, sobre un cuerpo K y sean B=(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}) y B'=(v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}) bases de E. Sea también una forma bilineal f: E \times E \rightarrow K con matriz A respecto a la base B. Si P es la matriz de paso de B a B', entonces la matriz de f respecto a la base B' es P A P^{T}

Demostración. Como P es la matriz de paso de latex $B$ a B' tenemos que u_{B'}P = u_{B}, para todo u \in E, por lo que podemos escribir

f(u,v)=  u_{B} A (v_{B})^{T} =  u_{B'} P  A (v_{B'}P )^{T} = u_{B'} P  A  P^{T} (v_{B'} )^{T}

Esto significa que la matriz P  A  P^{T} es la correspondiente a la forma bilineal en la base B'. Esto termina nuestra demostración.

Recordemos que dos matrices cuadradas de la misma dimensión A y B se dicen congruentes si existe una matriz P, tal que B = P A P^{T}. Así pues, todas las matrices correspondientes a una misma forma bilineal en distintas bases son congruentes entre sí.

Vamos a definir ya lo que entendemos por forma cuadrática.

Definición 1. Sea f: E \times E \rightarrow K una forma bilineal simétrica. La aplicación q: E \rightarrow K, dada por q(u)=f(u,u) se denomina forma cuadrática asociada a f.

En el caso de trabajar en espacios vectoriales de dimensión finita, resulta sencillo obtener la expresión matricial de una forma cuadrática a partir de la expresión matricial de la forma bilineal a la que está asociada. Así si f(u,v) = u_{B} A (v_{B})^{T}, tenemos que q(u) = u_{B} A (u_{B})^{T}, siendo A una matriz simétrica.

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Consultorio Matemático (5)

Consulta: Demostrar que un número multiplicado por cero es cero.
Respuesta: Aunque la pregunta es clara y sencilla la respuesta pasa por conocer una serie de fundamentos de álgebra. Primero vamos a escoger la estructura algebraica más sencilla para la que este enunciado es cierto.

Decimos que un conjunto A dotado de dos operaciones o leyes de composición interna que indicaremos de forma aditiva y multiplicativa, es un anillo si respecto a la operación aditiva es un grupo abeliano, respecto a la ley multiplicativa es asociativa y la ley multiplicativa es distributiva respecto a la aditiva. Es decir, para cualesquiera a,b,c de A

(1) (a+b)+c = a+(b+c)
(2) a+b = b+a
(3) a+0 = a, donde 0 es el cero o neutro aditivo (este es el que te interesa)
(4) Para todo a existe -a \in A tal que a+(-a) = 0
(5) (ab)c= a(bc)
(6) a(b+c) = ab+ac
(7) (a+b)c = ac+bc

Ahora probaremos que si estas propiedades son ciertas, entonces 0a = a0 = 0 para cualquier a \in A. En primer lugar, vemos que

a (0+0) = a0 +a0

si nos fijamos en la propiedad distributiva (6). Pero tenemos que 0+0 = 0 por la propiedad (3). Por tanto, podemos escribir

a (0+0) = a0 = a0 +a0.

Ahora utilizando la existencia de elemento simétrico (4) y la propiedad asocitaiva (1) vemos que

a0-a0 = (a0 +a0)-a0.

0 = (a0 +a0)-a0 = a0 +(a0-a0) = a0+0 = a0.

Esto es, 0 = a0. La demostración de que 0a = 0 es análoga.

Formas cuadráticas (2)

Vamos a ver ahora la expresión de una forma bilineal definida sobre espacios vectoriales de dimensiones finitas.

Teorema 1. Sean E y F dos K-espacios vectoriales de dimensiones m y n, respectivamente, y sean B=(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{m}) una base de E y B'= (v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}) una base de F. Entonces, dada una forma bilineal f: E \times F \rightarrow K existe una y sólo una matriz A=(a_{ji}) de dimensiones mn tal que
matriz1

Demostración. Expresando los vectores x \in E e y \in F mediante las bases respectivas B y B' y aplicando la condición de bilinealidad, tenemos

matriz2

Llamando f(u_{j}, v_{i} ) = a_{ji}, para (j,i) \in \{1, 2, \cdots, m \} \times \{1,2, \cdots, n \} tenemos

matriz3

Si A=(a_{ji}) es la matriz mn formada por los valores a_{ji} =f(u_{j},v_{i}), se tiene que por construcción es única y cumple las condiciones del teorema. Esto termina nuestra demostración.

Utilizando los resultados del teorema anterior, podemos expresar matricialmente las formas bilineales sobre espacios vectoriales de dimensiones finitas. En efecto, si E y F son espacios vectoriales de dimensiones m y n, respectivamente, sobre un mismo cuerpo K y B=(u_{1}, \cdots u_{m}) es una base de E y B'=(v_{1}, \cdots, v_{n}) una base de F, toda forma bilineal f: E \times F \rightarrow K se puede expresar mediante

f(u,v) = u_{B} A (v_{B'})^{T}.

donde u_{B} es el vector fila formado por las coordenadas de u en la base B, v_{B'}, el vector fila formado por las coordenadas de v en la base B' y A es la matriz de f en las bases B y B', de dimensiones mn y componentes f(u_{j},v_{i}). En el caso de que E=F y \dim(E)=n, es usual escoger una misma base B y, entonces la matriz A = (f(u_{j},u_{i})) es cuadrada de orden n.

Formas cuadráticas (1)

Consideremos tres espacios vectoriales E, F y G, todos sobre el mismo cuerpo conmutativo K. Una aplicación

f: E \times F \rightarrow G

se dice que es bilineal si para cada x \in E y cada y \in F, las restricciones

f_{x} : F \rightarrow G ,\quad f_{x}(y) =f(x,y),

f_{y} : E \rightarrow G,\quad f_{y}(x) =f(x,y),

son aplicaciones lineales. Esto es equivalente a afirmar que para cada \alpha, \beta pertenecientes al cuerpo K y para cada x, x' \in E y cada y, y' \in F, se tiene que

f(\alpha x + \beta x', y ) = \alpha f(x,y)+ \beta f(x',y),

f(x,\alpha y+ \beta y') = \alpha f(x,y)+ \beta f(x,y').

Consideremos los espacios vectoriales E=F=\mathbb{R}^{2} y G=\mathbb{R}^{3}, todos sobre el cuerpo de los números reales. La aplicación f:\mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por

f((x,y), (u,v)) = (0, 0, 0)

es bilineal. En efecto, si restringimos f a un valor (x_{0},y_{0}) fijo, la aplicación resultante f(u,v) = (0, 0, 0) es lineal y lo mismo ocurre si restringimos f a un valor (u_{0}, v_{0}) fijo. Esta aplicación bilineal se llamará degenerada o trivial.

Definición 1. Sean E y F dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K y consideremos el espacio vectorial usual formado por el cuerpo K sobre sí mismo. Toda aplicación bilineal f: E \times F \rightarrow K se llamará forma bilineal.

Observemos que en las formas bilineales las imágenes son siempre valores del cuerpo K.
La aplicación

f:\mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}

dada por

f((x,y),(u,v)) = xu+yv

es una forma bilineal. En efecto, sea (x_{0}, y_{0}) fijo, la restricción a dicho valor resulta la aplicación

f_{(x_{0},y_{0})}(u,v) = x_{0}u+y_{0}v

la cual es lineal y el lector puede comprobar que también lo es la restricción a cualquier (u_{0}, v_{0}). Obsérvese que esta forma bilineal no es más que el producto escalar.

Definición 2. Una forma bilineal f: E \times E \rightarrow K se dice simétrica si f(x,y)=f(y,x) para todos (x,y) \in E \times E.
Definición 3. Una forma bilineal f: E \times E \rightarrow K se dice antisimétrica o alternada si f(x,x)=0 para todos x \in E.

Obsérvese que en la definición de formas simétricas y antisimétricas hemos considerado sólo formas bilineales donde los espacios vectoriales que forman el dominio son el mismo. El siguiente resultado nos proporciona una condición equivalente para el carácter alterno de una forma bilineal.

Teorema 1. Una forma bilineal f: E \times E \rightarrow K es alternada si y sólo si f(x,y) = -f(y,x)

Demostración. Supongamos que f es alternada, entonces tomando x,y \in E, tenemos que f(x+y, x+y) = 0, de donde

0=f(x+y,x+y) = f(x,x+y)+f(y,x+y) =

f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y) =

0+f(x,y)+f(y,x)+0 = f(x,y)+f(y,x).

Lo que nos lleva a concluir que f(x,y) = -f(y,x). Recíprocamente, si f(x,y) = -f(y,x) para todo x,y \in E, entonces haciendo x=y, sería f(x,x) = -f(x,x), de donde f(x,x)=0. Esto termina nuestra demostración.

Consultorio Matemático (4)

Consulta: el 20% de los 600 alumnos que asisten al colegio \”estudiosísimos\” practican fútbol y el 6% natación .Solo el 15 % estudian un idioma ¿ Cuántos alumnos no estudian idioma ? ¿ Cuántos alumnos practican cada uno de los deportes ?
Respuesta: Sean F el conjunto de los alumnos que practican fútbol, N el conjunto de los que practican natación e I el conjunto de los que estudian un idioma. Con los datos que nos dan y llamando E al conjunto de todos los alumnos tenemos

|F| = 120, |N|= 36, |I| = 90.

Si no he entendido mal, se nos piden los cardinales de E-I y de F-N (sólo practica fútbol) y N-F (sólo practica natación). En cuanto a los que no estudian un idioma es inmediato que |E-I| = 600-90 = 540 o, en porcentaje, el 85 % de los que asisten no estudian un idioma.

Para conocer los cardinales de F-N y de N-F, tenemos que conocer el número de aquellos que practican ambos deportes. Es decir, el cardinal de F \cap N. Pero el problema no da suficientes datos para calcularlo. Si por ejemplo, supiéramos cuántos de los alumnos practican algún deporte podríamos calcular este cardinal mediante

|F\cup N| = |F|+|N|- |F \cap N|

Por tanto, no se puede dar una respuesta única.

Consultorio Matemático (3)

Consulta: calcular la suma de los cuatro primeros números de tres cifras que sean primos.

Respuesta: es sencillo ver que los cuatro primeros números de tres cifras que son primos son

101
103
107
109

Para ello podemos usar la criba de Erastótenes (procedimiento tedioso pero infalible) o bien utilizar cualquiera de los algoritmos más simples para detectar si un número es primo. Por ejemplo, sabemos que para detectar si un número es primo no es necesario dividirlo por todos los menores que él, basta con usar sólo aquellos números impares mayores que uno y menores o iguales que su raíz cuadrada.

Una vez conocidos estos números su suma es inmediata: 10+103+107+109 = 420.

Consultorio Matemático (2)

Consulta: encuentra la ecuacion de la recta que es paralela a y=3x-2,y pasa por el punto(-1;2).

Respuesta: Vamos a dar la respuesta utilizando la forma punto-pendiente:

y- y_0 = m(x-x_0)

Es decir, necesitaremos la pendiente de la recta m y un punto (x_0,y_0) de dicha recta. El punto ya lo tenemos por lo que bastará encontrar la pendiente.

La recta y = 3x-2 está dada en forma explícita por lo que su pendiente es igual al escalar que multiplica a la variable x, es decir,

m = 3.

Por tanto, la ecuación buscada es

y -2 = 3 (x+1) .

La siguiente gráfica nos muestra ambas rectas
consulorio2