Examen resuelto añadido

En la página de Ejercicios y exámenes resueltos he añadido un examen final de Matemáticas de Económicas.

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Sobre libros que mueren y resucitan en Internet

En muchas ocasiones los estudiantes reciben bibliografía para ampliar o consultar temas sobre una asignatura particular. Y también en muchas ocasiones algunos textos (o todos) de estas bibliografías son prácticamente imposibles de conseguir. Por ejemplo, en la asignatura “Análisis Matemático V” de la U.N.E.D. se recomendaba el texto “Integración: Teoría y Técnicas” de Miguel de Guzmán y Baldomero Rubio, editado por Alhambra.  Nunca lo encontré disponible. Es un libro que murió. Murió porque su editorial murió o porque no había una cantidad suficiente de lectores para que fuera rentable reimprimirlo o una combinación de ambas cosas.

Al final recurrí a buscarlo por la red y lo encontré en algunas páginas. Así que el libro “resucitó”, al menos digitalmente. Como soy de la vieja escuela me hubiera gustado tenerlo físicamente pero al menos así se puede consultar. Por cierto, ahora se encuentra en scribd.

Sobre fracciones

Una de las últimas preguntas que me han hecho versaba sobre fracciones. En concreto, se trataba de averiguar, sin efectuar la división, si una fracción dada tenía una expresión decimal periódica o exacta. Esto me ha recordado un problema de Apostol (“Análisis Matemático, 2ª Edición, página 36, problema 1.8”) que dice así:

Demostrar que la expresión decimal de x terminará en ceros (o en nueves) si, y sólo si, x es un número racional cuyo denominador es de la forma 2^{n} 5^{m}, donde m,n son enteros no negativos.

En resumen, la respuesta a la pregunta que me hacen es que si una vez expresada la fracción en su forma irreducible, el denominador sólo tiene como factores potencias de dos o de cinco o de ambos, entonces la fracción da lugar a un decimal exacto. Por ejemplo, la fracción

\frac{114}{40}

se expresa como decimal exacto pues en su forma irreducible es

\frac{57}{20},

con denominador

20 = 2^2 \cdot 5.

Pero la fracción \frac{58}{36} se expresa en forma irreducible como

\frac{29}{18},

siendo el denominador 18 = 3^2 \cdot 2, por lo que su expresión decimal es periódica. En los siguientes párrafos voy a pergeñar una demostración de por qué esto es así.
Partimos de la hipótesis de que
x = \frac{k}{2^{n} 5^{m}}
donde k,n y m son enteros y m,n son positivos. En virtud del orden total presente en \mathbb{Z} será n \geq m o bien n \leq m. Para el primer caso (n \geq m) escribimos
x = \frac{k 5^{n-m}}{2^{n} 5^{m} 5^{n-m}} = \frac{k 5^{n-m}}{2^{n} 5^{n}} = \frac{k 5^{n-m}}{10^{n}}.
Esta fracción resultante termina en ceros (lo que equivale a terminar en infinitos nueves). Para el segundo caso (n \leq m), escribimos
x = \frac{k 2^{m-n}}{2^{n} 5^{m} 2^{m-n}} = \frac{k 2^{m-n}}{2^{m} 5^{m}} = \frac{k 2^{m-n}}{10^{m}} .
De nuevo esto significa que x termina en ceros o en infinitos nueves.

Recíprocamente, si x tiene un desarrollo decimal que acaba en ceros, entonces puede ponerse en forma finita:
x = a_{0}, a_{1}a_{2} \ldots a_{n},
donde a_{i} \in \{0,1, \ldots, 9 \}. Esto significa que
x = \sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{-i}.
Simplificando y agrupando obtenemos
x = \sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{-i} = \frac{1}{10^{n}} \sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i} .
El lector puede observar que en la expresión anterior el sumatorio es un número entero. En consecuencia
x = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i}}{2^{n} 5^{n}}
y se cumple la condición buscada. Veamos ahora el caso en el que x acaba en infinitos nueves:
x = a_{0}, a_{1}a_{2} \ldots a_{n} 9 9 9 9 9 9 \ldots,
donde a_{i} \in \{0,1, \ldots, 9 \}. Agrupamos esta expresión en la forma
x = \sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{-i} +9 \sum_{i=n+1}^{\infty} 10^{-i}.
El lector observa fácilmente que el primer sumando finito es equivalente al obtenido para el caso anterior. Así pues, aplicando lo ya visto y operando un poco tenemos
x = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i}}{2^{n} 5^{n}} + \frac{9}{10^{n+1}}\sum_{i=0}^{\infty} 10^{-i} .
La suma infinita es la suma de todos los valores de una progresión geométrica de primer término 1 y razón 10^{-1}, luego resulta
\sum_{i=0}^{\infty} 10^{-i} = \frac{1}{1-\frac{1}{10}} = \frac{10}{9} ,
que sustituyendo en la expresión anterior y simplificando da lugar a
x = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i}}{2^{n} 5^{n}} + \frac{9}{10^{n+1}} \frac{10}{9} = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i}}{2^{n} 5^{n}} + \frac{1}{10^{n}} = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i} +1}{2^{n} 5^{n}}.
Esto prueba que la fracción correspondiente tiene el denominador en la forma buscada.

Nueva página de Apuntes en Internet

Retomando la búsqueda de material por Internet que sea de utilidad para estudiantes de matemáticas he decidido añadir una página más al menú principal. En ella iré poniendo poco a poco los materiales que vaya encontrando. Así que será siempre un lugar ” en construcción”. La podéis encontrar desde ya mismo en dicho menú con el nombre “Apuntes en Internet”.

Demostrando desigualdades con geometría simple

Captura1

La anterior figura se ha tomado del texto “When Less is More. Visualizing Basic Inequalities” de Claudi Alsina y Roger B. Nelsen y ejemplifica de manera extraordinaria cómo se relacionan la geometría y el cálculo. Justamente dicho texto nos da algunas interesantes demostraciones de desigualdades clásicas utilizando la representación de números reales mediante segmentos de una línea y los siguientes principios:

  1. El principio de inclusión. Cuando un segmento es subconjunto de otro entonces éste es mayor.
  2. El principio geodésico. En el plano euclídeo el camino de menor longitud que une dos puntos es el segmento de recta que tiene a uno como principio y al otro como extremo.
  3. La comparación Pitagórica. En cualquier triángulo el lado opuesto al mayor ángulo es el mayor lado.
  4. La desigualdad del triángulo. En cualquier triángulo la suma de dos de sus lados es mayor que el lado restante.
  5. Comparación de gráficos de funciones. Si el gráfico de y=f(x) yace por encima del gráfico de y=g(x) en un intervalo I, entonces para cada x de dicho intervalo, el segmento que uno (x,f(x)) y (x,g(x)) es positivo, lo que establece que f(x) \geq g(x).

Vamos a utilizar estos principios para demostrar una curiosa desigualdad (el lector interesado puede encontrar el desarrollo más conciso en el texto mencionado). Probaremos que si a,b son números positivos, entonces
\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq \frac{a+b}{\sqrt{2}}.
Vamos a usar la siguiente figura:

grafico1

La longitud del segmento AB es \sqrt{a^2+b^2}, la longitud del segmento BC es también \sqrt{a^2+b^2} mientras que la longitud del segmento AC es \sqrt{ (a+b)^2 + (a+b)^2}. Como vemos en la figura, la longitud del segmento AC es menor que la de la suma de los segmentos AB y BC (principio geodésico), luego

\sqrt{2} (a+b) \leq 2 \sqrt{a^2+b^2}.

Por otro lado, usando el principio 4 (desigualdad del triángulo), es (a+b)+(a+b) \geq 2 \sqrt{a^2+b^2}, quedando

\sqrt{2} (a+b) \leq 2 \sqrt{a^2 + b^2} \leq 2(a+b).

Si multiplicamos todos los miembros de la desigualdad por \frac{1}{2 \sqrt{2}}, obtenemos

\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq \frac{a+b}{\sqrt{2}}.