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Un ejercicio de inducción

Probar por inducción que n(n+1)(n+2)(n+3) es divisible por 24 (o equivalentemente que n(n+1)(n+2)(n+3) es múltiplo de 24).

Solución: Este problema no se resuelve aplicando directamente la inducción. Hay que dar un pequeño “rodeo”. Lo esencial es advertir que

24 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1.

Si tenemos eso en mente veremos que basta probar que n(n+1) es múltiplo de 2! =2, n(n+1)(n+2) es múltiplo de 3! = 6 y n(n+1)(n+2)(n+2) es múltiplo de de 24.

Para n=1 tenemos

1 \cdot 2 =2 es múltiplo de 2.

1 \cdot 2 \cdot 3=6 es múltiplo de 6.

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot =24 es múltiplo de 24.

La hipótesis de inducción para k es que k(k+1) es múltiplo de 2, k(k+1)(k+2) lo es de 6 y k(k+1)(k+2)(k+3) lo es de 24. Vemos que ocurre para k+1.

(k+1)(k+2) = (k+2)(k+1)=k(k+1)+ 2(k+1). Como hemos asumido que k(k+1) es múltiplo de 2, es obvio que k(k+1)+2(k+1) es un múltiplo de 2 al ser suma de múltiplos de 2.

(k+1)(k+2)(k+3) = (k+3) (k+1)(k+2)= k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2). Como hemos supuesto que (k+1)(k+2) es múltiplo de 2 es obvio que 3(k+1)(k+2) es múltiplo de 6 y como k(k+1)(k+2) es múltiplo de 6, concluimos que la suma es múltiplo de seis al ser suma de dos múltiplos de este número.

(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+4)(k+1)(k+2)(k+3) = k(k+1)(k+2)(k+3)+4(k+1)(k+2)(k+3).

De nuevo aplicando la hipótesis de inducción vemos que k(k+1)(k+2)(k+3) es múltiplo de 24. Ahora bien, como (k+1)(k+2)(k+3) es múltiplo de 6, concluimos que 4(k+1)(k+2)(k+3) es múltiplo de 24 y la suma ha de ser múltiplo de 24. Esto termina la demostración.

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