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Curso EVT. Lectura 8. Notas aclaratorias (2)

Vamos enunciar el lema de Zorn, el cual hemos utilizado para los resultados de la lectura 7. Hemos de señalar que, en realidad, el lema de Zorn, es equivalente al axioma de elección y aunque no demostraremos tal equivalencia (el lector interesado puede ver una prueba en el texto “Naive Set Theory” de Halmos) daremos sus definiciones y otras equivalencias.

El axioma de elección se suele incluir en la mayoría de las teorías axiomáticas de conjuntos. Es de enorme importancia en la matemática moderna para la deducción de resultados en gran cantidad de sus ramas. Sin embargo, está sujeto a una gran controversia pues su aplicación permite algunas paradojas físicas como la de Banach-Tarski (es una afirmación, publicada en 1924, en la que una esfera puede ser dividida en 5 conjuntos no medibles de puntos los cuales se pueden reacomodar en dos esferas del mismo volumen). Para clarificar su naturaleza empezaremos con una definición.

Definición: Función de elección.
Sea X un conjunto no vacío. Dada una familia no vacía (A_{i})_{i \in I} de subconjuntos no vacíos de X, se define una función de elección como una función f de I en X tal que para cada i de I es f(i) un elemento de A_{i}.

Es decir, una función de elección “escoge” un elemento de cada conjunto de una familia no vacía cualesquiera de conjuntos no vacíos.

Definición. Producto cartesiano.
Sea (A_{i})_{i \in I} una familia no vacía de conjuntos no vacíos. El producto cartesiano de la familia es el conjunto de todas las funciones de elección definidas sobre dicha familia. Se notará por \times_{i \in I} A_{i}.

La existencia de funciones de elección (y en consecuencia de productos cartesianos cualesquiera) no se puede garantizar sin más. Esto es lo que pretende el axioma de elección.

Axioma de elección.El producto cartesiano de una familia no vacía de conjuntos no vacíos es no vacío.

De acuerdo con nuestras definiciones este axioma es equivalente al siguiente.

Primer axioma equivalente: Para cada familia no vacía de conjuntos no vacíos existe una función de elección.

En efecto, si (A_{i})_{i \in I} es una familia no vacía de conjuntos no vacíos, el conjunto X = \cup_{i \in I} A_{i} existe en virtud del axioma de la unión. Es obvio que cada A_{i} es un subconjunto de X. Cada función f:I \rightarrow X que cumpla que para todo i \in I es f(i) \in A_{i} es una función de elección. La no vacuidad del producto cartesiano equivale a la existencia de al menos de una de estas funciones.

Existen otros enunciados equivalentes al axioma de elección, uno de los más conocidos es el siguiente.

Postulado de Zermelo. Sea (A_{i})_{i \in I} una familia no vacía de conjuntos disjuntos no vacíos. Existe entonces un subconjunto S de \cup_{i \in I} A_{i} cuyo intersección con cada A_{i} de la familia consta de un sólo elemento.

Pasemos a demostrar la equivalencia.

Teorema. El axioma de elección es equivalente al postulado de Zermelo.
Prueba. Sea (A_{i})_{i \in I} una familia disjunta no vacía de conjuntos no vacíos y sea X= \cup_{i \in I} A_{i} la unión de los elementos de dicha familia. Si suponemos que existe una función de elección f:I \rightarrow X, podemos formar el subconjunto S de X dado por

S = \{f(i) : i \in I \},

el cual será no vacío y cumplirá S \cap A_{i} = \{f(i) \} para cada i \in I. Esto prueba el postulado de Zermelo a partir del axioma de elección. Veamos el recíproco. Sea cierto el postulado de Zermelo y sea (A_{i})_{i \in I} una familia no vacía de conjuntos no vacíos (no necesariamente disjuntos). Para cada i de I, definimos el conjunto B_{i} = A_{i} \times \{i \} y la familia (B_{i})_{i \in I} resultará no vacía y formada por conjuntos no vacíos y disjuntos. Podemos pues aplicar el postulado de Zermelo para obtener un subconjunto S de la unión \cup_{i \in I} B_{i} tal que para cada i de I, la intersección

S \cap(\cup_{i \in I} B_i)

consta de un sólo elemento. Ahora bien, por definición de los B_{i}, la intersección será de la forma (a_{i}, i), con a_{i} \in A_{i} para cada i \in I. Esto nos permite definir una función de elección f sobre la familia (A_{i})_{i \in I}, mediante f(i) = a_{i} para cada i \in I. Por tanto, el postulado de Zermelo implica el axioma de elección y esto termina nuestra demostración.

Como ya hemos indicado otro de los enunciados equivalentes al axioma de elección es el Lema de Zorn. Para definirlo damos antes una serie de nociones básicas sobre orden. Consideremos un conjunto X, no vacío. Sabemos que una relación \preceq definida en X es un orden parcial si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Un conjunto dotado de una relación de orden parcial se dice parcialmente ordenado y escribimos x \preceq y para indicar que los elementos x e y de X están relacionados mediante el orden, leyéndose x es menor o igual que y. Si x e y son dos elementos de X, se dice que son comparables si x \preceq y o bien y \preceq x. Un conjunto parcialmente ordenado donde todos sus elementos son comparables se dice que está totalmente ordenado.

En un conjunto parcialmente ordenado hay una serie de elementos distinguidos: minimales, maximales, cotas superiores e inferiores y máximos y mínimos. Ya hemos dado la definición de algunos de ellos (minimal y maximal) veremos las de los otros.

Se dice que un elemento u de un conjunto parcialmente ordenado (X, \preceq) es cota superior de un subconjunto M \subset X si para todo m de M es m \preceq u. En el caso de que l \in X verifique l \preceq m, para todo m \in M, se dice que l es una cota inferior de M. La existencia de cotas no está garantizada sin más. Si un conjunto tiene cotas superiores e inferiores se dice que está acotado superior e inferiormente o simplemente que está acotado.  Si una cota superior pertenece al conjunto que acota se dice entonces que es un máximo y si una cota inferior pertenece al conjunto que acota se dice entonces que es un mínimo.

Lema de Zorn.
Sea X un subconjunto no vacío parcialmente ordenado. Si toda parte de X totalmente ordenada tiene una cota superior en X, entonces X posee al menos un maximal.

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Estructuras de conjuntos pi-estables (1)

Sea X un conjunto dado y sea \mathcal{R} una clase no vacía de partes de X con una estructura. Decimos que dicha clase tiene una estructura \pi-estable si la intersección de cualquier familia de clases con dicha estructura da lugar a una clase con la misma estructura. Por ejemplo, consideremos un anillo de conjuntos sobre X. Dicha estructura se caracteriza por ser cerrada para la unión de un número finito de sus elementos y para la diferencia de dos cualesquiera de ellos. Además todo anillo contiene al conjunto vacío. Por tanto, si (\mathcal{R}_i)_{i \in I} es una familia de anillos sobre X podemos garantizar que su intersección

\cap_{i \in I} \mathcal{R}_i

es no vacía pues contiene al vacío. Pero además de ser no vacía resulta que también es un anillo sobre X. La demostración de este hecho es sencilla. Por tanto, la estructura de anillo es \pi-estable. También son \pi-estables las álgebras, los \sigma-anillos, las \sigma-álgebras,  etc., pero no son \pi-estables los semianillos, los \pi-sistemas y las clases monótonas. ¿Por qué es deseable la propiedad de \pi-estabilidad? Pues sencillamente porque así podemos garantizar que para una clase no vacía cualquiera (con o sin estructura previa) siempre existe una estructura \pi-estable que la contiene y que además es mínima con esta propiedad de inclusión.

La diferencia de conjuntos (3)

Vamos a dar algunas propiedades más de la diferencia de conjuntos. En primer lugar, tenemos que si A,B y C son subconjuntos de X, entonces

(5) (A \cup B)- C = (A-C) \cup (B-C).

Para probar esta afirmación volvemos a usar la relación A-B = A \cap B', donde B' representa el complementario de B. Así pues,

(A \cup B)-C = (A \cup B) \cap C' = (A \cap C') \cup (B \cap C') =

(A-C) \cup (B-C).

Tenemos también que

(6) (A \cap B) -C =(A-C) \cap (B-C).

Para probar esto necesitamos algo más de inventiva. Así vemos que

(A \cap B)-C = (A \cap B) \cap C' = A \cap B \cap C' \cap C' =

(A \cap C') \cap (B \cap C') = (A-C) \cap (B-C).

Ahora consideremos familias de conjuntos: (A_i)_{i \in I}, (B_j)_{j \in J}. En particular,

(7) (\cup_{i \in I} A_i) - B= \cup_{i \in I} (A_i - B),

(8)  (\cap_{i \in I} A_i) - B =\cap_{i \in I} (A_i - B).

Vamos a probar la primera de estas igualdades

(\cup_{i \in I} A_i)-B = (\cup_{i \in I} A_i) \cap B' =

\cup_{i \in I} (A_i \cap B') = \cup_{i \in I} (A_i -B).

La demostración de (8) es análoga. Para terminar, planteamos las operaciones

(9) \cup_{i \in I} A_i - \cup_{j \in J} B_j

(10) \cap_{i \in I} A_i - \cap_{j \in J} B_j

y sugerimos al lector que las desarrolle a la luz de lo visto en estas entradas.

Diferencia de conjuntos (2)

Vamos a dar las demostraciones de una serie de interesantes propiedades de la diferencia de conjuntos.

(1). Sean A,B y C tres subconjuntos de X, entonces

(A-B)- C = A- (B \cup C) .

En efecto, si A' es el complementario de A, tenemos que

(A-B)-C = (A \cap B') \cap C' = A \cap (B' \cap C'),

y aplicando las leyes de De Morgan,

A \cap (B' \cap C') = A \cap (B \cup C)' = A -(B \cup C).

Sin embargo, es

(2) A-(B-C) = (A-B) \cup (A \cap C).

La demostración es análoga a la anterior. Más interesantes son las igualdades donde intervienen uniones e intersecciones de familias de subconjuntos de X. Así si (A_i)_{i \in I} es una familia de partes de X y A \subset X, entonces

(3) A - \cup_{i \in I} A_{i} = \cap_{i \in I} (A-A_i),

(4) A -\cap_{i \in I} A_i = \cup_{i \in I}(A-A_i).

En efecto, tenemos que

A- \cup_{i \in I} A_i = A \cap (\cup_{i \in I} A_i)' = A \cap ( \cap_{i \in I} A_i') =\cap_{i \in I} (A \cap A_i')= \cap_{i \in I} (A- A_i).

La demostración de (4) es análoga.

La diferencia de conjuntos (1)

Dados dos conjuntos A y B, su diferencia A-B o complemento relativo de A a B es el conjunto

\{ x \in A : x \notin B \}.

Al tratarse de un subconjunto de A, los axiomas de la teoría de conjuntos nos dicen que existe como tal y no necesitamos un marco más amplio para definirla. Sin embargo, en la mayoría de las ocasiones consideramos dos subconjuntos A y B de un conjunto dado X. En tal caso, la diferencia es un subconjunto de X y su definición es la misma

A-B = \{x \in X : x \in A, x \notin B \}.

Esta segunda interpretación es la que vamos a tomar para dar una serie de propiedades. En primer lugar,

A-A = \emptyset.

Propiedad de inmediata demostración. Por otro lado, en general

A-B \neq B-A.

Las propiedades más interesantes se dan cuando tenemos en cuenta la relación de la diferencia con otras operaciones de conjuntos como la unión, la intersección y el paso al complementario. Así tenemos que el complementario de A en relación a X es

A' = X -A,

y esto nos permite definir

A-B = A \cap B'.

Esta igualdad nos va a ser muy útil para las siguientes demostraciones.

Estructura de los anillos de Boole generados por una clase no vacía

Supongamos que \mathcal{M} es una clase no vacía de partes de un conjunto X. Denotamos por \mathcal{R}(\mathcal{M}) al anillo de Boole generado por dicha clase. Sabemos que dicho anillo siempre existe y es el mínimo en sentido inclusivo que contiene a la clase \mathcal{M}, pero ¿podemos dar alguna caracterización de cómo se forma? En principio, si la clase \mathcal{M} es un semianillo, sabemos que \mathcal{R}(\mathcal{M}) es el conjunto de las uniones finitas disjuntas de elementos de  \mathcal{M} pero me temo que en el caso general no hay una forma clara de obtenerlo. El siguiente resultado esboza una forma que admito que no es muy práctica pero puede ser útil para algunos casos.

Sea la clase no vacía  \mathcal{M}. Llamaremos H_0 a dicha clase y supondremos que \emptyset \in H_0.  La clase H_1 es el conjunto de las uniones finitas de diferencias de elementos de H_0, la clase H_2 es el conjunto de las uniones finitas de diferencias de elementos de H_1 y así sucesivamente. Obtenemos pues una sucesión recurrente H_n de clases. Como H_0 es no vacía. Dado A \in H_0 es A-\emptyset = A un elemento de H_1. Análogamente, si B es un elemento de H_1, entonces B-\emptyset = B \in H_2 y así H_0 \subset H_1 \subset H_2. En general,

H_0 \subset H_1 \subset H_2 \subset \ldots \subset H_n \subset H_{n+1} \subset \ldots .

Probaremos que la unión

S = \cup_{n=0}^{\infty} H_n

es el anillo generado por \mathcal{M}. En primer lugar, es claro que

\mathcal{M} \subset \cup_{n=0}^{\infty} H_n \subset \mathcal{R} (\mathcal{M}),

pues por definición H_0 = \mathcal{M} y además todo anillo es cerrado para la unión finita y la diferencia de sus elementos. En segundo lugar, si C y D son elementos de S, hallaremos que pertenecen a ciertos H_j y H_k de la sucesión creciente. Por tanto, si r = \max \{j,k \} , ambos pertenecerán a H_{ r }. En consecuencia,

C-D \in H_{r+1} \subset S,

C \cup D = (C- \emptyset) \cup (D- \emptyset) \in H_{r+1} \subset S.

Esto prueba que S es cerrado para la diferencia y la unión finita y, por tanto, es un anillo. Así pues

\mathcal{R}(\mathcal{M}) \subset S

y esta inclusión junto con la anterior nos muestra que

\mathcal{R}(\mathcal{M}) = S.

Sobre semianillos de conjuntos y operaciones finitas

Una clase o familia de partes de un conjunto X es un semianillo si contiene al vacío, es cerrada para la intersección finita y la diferencia de dos de sus elementos se puede expresar como unión finita disjunta de elementos de la misma clase. Un ejemplo de semianillo muy utilizado es el de la clase de los intervalos de la recta real de la forma

]a,b],

donde a y b son números reales con a \leq b. Otro ejemplo de semianillo es el de los intervalos

[a,b[

y también es un semianillo la clase de todos los intervalos (abiertos, cerrados, semiabiertos, vacíos, acotados, no acotados, etc.). Sin embargo, la clase

\mathcal{C} = \{ [a,b] : a \leq b \} \cup \emptyset

no es un semianillo. Basta ver que si a < c <b < d, entonces

[a,b]-[c,d] = [a,c[

y [a,c[ no puede expresarse como unión finita y disjunta de intervalos cerrados. Sin embargo, sí puede expresarse como unión numerable de intervalos cerrados aunque no disjunta. Basta observar que

\cup_{n=1}^{\infty} [a, c-\frac{1}{n}] = [a,c[.

Yendo un paso más allá podríamos preguntarnos si es posible encontrar una sucesión disjunta de intervalos cerrados cuya unión fuera el intervalo [a,c[.