Archivos Mensuales: julio 2015

Resolución de inecuaciones racionales en una incógnita

Una expresión racional tiene la forma

\frac{P(x)}{Q(x)},

donde P(x) y Q(x) son polinomios en una indeterminada con Q(x) no idénticamente nulo (o sea que hay al menos un valor de x para el que no se anula). Una inecuación de alguna de las formas

\frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, \frac{P(x)}{Q(x)} <0, \frac{P(x)}{Q(x)} <0

es una inecuación racional en una incógnita y en forma normal. Su resolución se basa en las propiedades del conjunto de los números reales como cuerpo ordenado. De esta manera, si queremos resolver \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0, debemos resolver los sistemas

P(x) \leq 0, Q(x) >0, (I)

P(x) \geq 0, Q(x) <0, (II)

pues el cociente será negativo o nulo si el numerador y el denominador tienen diferentes signos, teniendo en cuenta además que el denominador no puede ser nulo. Evidentemente estos sistemas pueden ser difíciles de resolver pues todo depende de la complejidad de los polinomios considerados. Veamos un ejemplo. Sea la inecuación

\frac{x^3-1}{2x-2} \leq 1.

Nuestro primer paso es ponerla en forma normal. Para ello restamos 1 a ambos miembros lo que no altera el sentido de la desigualdad (recordemos que sumar o restar a ambos miembros de una inecuación la misma cantidad no altera el sentido de la desigualdad y nos permite obtener una inecuación equivalente)

\frac{x^3-1}{2x-2}- 1 \leq 0,

\frac{x^3-1-(2x-2)}{2x-2} \leq 0,

\frac{x^3-2x+1}{2x-2} \leq 0.

Por tanto, tenemos que resolver los sistemas

x^3-2x+1 \geq 0, 2x-2 <0, (I)

x^3-2x+1 \leq 0, 2x-2 >0. (II)

Veamos el primero de ellos. La inecuación x^3-2x+1 \geq 0 se resuelve mediante la obtención de las raíces reales de la ecuación

x^3-2x+1 = 0.

Una aproximación mediante el teorema del resto nos muestra que una las soluciones de esta ecuación es x_1=1, por tanto podemos escribir

x^3-2x+1 = (x-1)(x^2+x-1).

Nos falta encontrar las raíces reales de x^2+x-1=0. Tenemos que su discriminante es

\Delta = 1^2-4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5,

luego las raíces son

x_2 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2},

x_3 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}.

Procedemos a ordenarlas de menor a mayor y permiten definir cuatro intervalos

(-\infty, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}),

(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}),

(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},1),

(1, \infty).

Buscamos valores en el interior de dichos intervalos para sustituirlos en la expresión y=x^3-2x+1 y obtenemos que el signo de los resultados es positivo o nulo en

[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}],

[1, \infty),

como podemos ver en la gráfica:

solinecua

Por tanto, la solución de esta inecuación es

[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}] \cup [1, \infty).

Tenemos ahora que resolver también 2x-2 <0, que resulta en

x < 1,

es decir, el intervalo (-\infty, 1). La solución de (I) es la intersección de este intervalo con la unión de los intervalos anteriores. Es decir,

[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}] .

Dejamos al lector la solución del otro sistema (II), recordándole que puede utilizar como base los intervalos que ya hemos obtenido.

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El teorema de la altura y su aplicación para dibujar algunos segmentos de longitud irracional

Sabemos que existen números reales que no son racionales. Es decir, números reales que no son expresables en la forma \frac{a}{b} con  a,b \in \mathbb{Z} y b \neq 0. En terminología clásica esto viene a decir que existen segmentos inconmensurables respecto a una unidad dada. Para denotar el conjunto de los números irracionales suele escribirse

\mathbb{R}- \mathbb{Q}

pues la notación \mathbb{I} no es conveniente al no tener el conjunto de tales racionales una estructura algebraica.

Una operación que da lugar “frecuentemente” a números irracionales es la radicación. En particular, sabemos que

Teorema 1: Si n  es un entero positivo que no es un cuadrado perfecto, entonces n^{1/2} es un número irracional.

La demostración de este teorema no es difícil pero exige el conocimiento del teorema fundamental de la aritmética y ciertas propiedades de las ecuaciones. No lo haremos aquí pues no es nuestro objetivo pero prometo hacerlo en otra entrada. Así pues, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, \sqrt{10}, \ldots son números irracionales y como son números reales pueden asignarse a puntos de una recta con origen y unidad dados. Ahora bien, ¿cómo podemos representar tales puntos con regla y compás? Pues existen varias técnicas que usan las propiedades de los triángulos rectángulos. Nosotros vamos a utilizar la propiedad llamada teorema de la altura.

Teorema 2: En todo triángulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional de los catetos.

Vamos a demostrar esta afirmación y para ello utilizaremos las nociones de semejanza y un pequeño dibujo.

teoremaaltura

El triángulo ABC es rectángulo. La altura que se traza sobre la hipotenusa BD tiene longitud h y las proyecciones de los catetos son los segmentos AD y DC de longitudes m y n, respectivamente. Primero probaremos que los triángulos ABD y CBD son rectángulos y semejantes. En efecto, comparten un lado (BD) y tienen los mismos ángulos. Para demostrar esta afirmación, tomamos el triángulo ABC y observamos que el ángulo A es igual a 90-C (pues B es recto y A+B+C = 180). Es decir, en el triángulo ABD el ángulo A es 90-C. Mientras que en el triángulo CBD el ángulo \beta también ha de ser igual a 90-C. Esto prueba que los ángulos correspondientes son iguales. Utilizando la semejanza tenemos que

\frac{h}{m} = \frac{n}{h}.

Esto es, la altura es media proporcional de las proyecciones m y n. Simplificando

h^2 = mn.

Esta última expresión es la que nos va a servir para la representación de números irracionales del tipo expuesto anteriormente. Así, podemos representar con facilidad \sqrt{6} pues podemos escribir

h^2=6=2 \cdot 3,

h = \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 3}.

Lo que nos permite dibujar una circunferencia de diámetro 5=2+3 y obtener la altura \sqrt{6} como muestra el dibujo siguiente:

teoremaaltura2