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Examen UNED Funciones de una Variable I

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Examen resuelto y comentado de la asignatura Funciones de una Variable I, del Grado de Matemáticas de la UNED (septiembre 2013)

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Corrección errata

En los problemas del Capítulo uno del borrador del texto sobre Teoría de la Medida hay una errata que ya he corregido. Este es el enunciado correcto.

Problema: Sean \mathcal{S}_1 y \mathcal{S}_2, semianillos sobre X e Y, respectivamente. Probar que el producto \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2 es un semianillo sobre X \times Y.
¿Cómo podemos utilizar este resultado para resolver el problema anterior?}
Solución: Sabemos que el vacío pertenece a todo semianillo. Por tanto,
\emptyset \times \emptyset = \emptyset \in \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2 .
Sean E y F elementos de \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2. Hallaremos A_1, B_1 \in \mathcal{S}_1 y A_2, B_2 \in \mathcal{S}_2, tales que
E = A_1 \times A_2, \quad F = B_1 \times B_2.
Por ello,
E \cap F = (A_1 \times A_2) \cap (B_1 \times B_2) = (A_1 \cap B_1) \times (A_2 \cap B_2).
Pero todo semianillo es un \pi-sistema por lo que A_1 \cap B_1 \in \mathcal{S}_1, A_2 \cap B_2 \in \mathcal{S}_2 y E \cap F \in \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2. Por tanto, el producto cartesiano de semianillos también es un \pi-sistema. Por otro lado,
E-F = (A_1 \times A_2)- (B_1 \times B_2) = ((A_1-B_1) \times A_2)) \biguplus ((A_1 \cap B_1) \times (A_2-B_2)).
Pero sabemos que A_1-B_1 = \biguplus_{i=1}^{n} C_i y A_2-B_2 = \biguplus_{j=1}^{m} D_j, donde C_i \in \mathcal{S}_1 y D_j \in \mathcal{S}_2. Por tanto, si hacemos A_1 \cap B_1 = H_1 \in \mathcal{S}_1, tenemos
E-F = ((A_1-B_1) \times A_2) \biguplus (H_1 \times (A_2-B_2)) =
((\biguplus_{i=1}^{n} C_i) \times A_2) \biguplus (H_1 \times (\biguplus_{j=1}^{m} D_j)) = \bigg(\biguplus_{i=1}^{n} (C_i \times A_2) \bigg) \biguplus \bigg( \biguplus_{j=1}^{m} (H_1 \times D_j) \bigg)

Es decir, E-F es unión finita y disjunta de elementos de \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2. Este resultado se puede generalizar por inducción para n semianillos, donde n es un entero positivo mayor o igual que dos. Bastará recordar que se define
\times_{i=1}^{n} S_i = (\times_{i=1}^{n-1} S_i) \times S_n .

Consultorio Matemático (9)

Consulta: Cuando Ana salió de casa , las agujas del reloj formaban un ángulo agudo y faltaba una hora para que fuera recto. ¿Qué hora era?

Respuesta: Ufff… Aquí hay mucha más miga de lo que parece. En principio vamos a considerar el tiempo como continuo a efectos de cálculo y vamos a usar esta hipótesis para hallar las posiciones en las que el minutero y el horario forman un ángulo de 90 grados sexagesimales (o pi/2 radianes). Partimos de las doce en punto y consideramos esa hora como la referencia para nuestros cálculos. El ángulo lo medimos en sentido horario (pues es más cómodo).

reloj1

Como el minutero tarda justo una hora en dar una vuelta de 360 grados, su velocidad angular es de

\omega_m = \frac{360}{60} = 6 grados\minuto.

En cuando a la aguja horaria, tarda 3 horas en recorrer 90 grados y su velocidad angular es de

\omega_h = \frac{90}{180} = 0,5 grados\minuto

Es fácil ahora obtener el ángulo recorrido en un tiempo dado por ambas agujas. Sólo habrá que multiplicar la velocidad angular por el tiempo. Pero a nosotros nos interesa que la diferencia entre el ángulo recorrido por ambas sea 90 grados y así formen justamente un ángulo recto. Llamando \alpha_m al ángulo recorrido por el minutero a partir de las doce y \alpha_h al recorrido por la aguja horaria, tenemos:

\alpha_m - \alpha_h = 6t-\frac{1}{2}t = 90

\frac{11}{2}t = 90

t = \frac{2 90}{11} = \frac{180}{11} = 16,36363636 ... minutos

Es decir, a las doce y 16 minutos y 21,818181…. segundos.

reloj2

Pero al tener una separación angular de 270 grados volvemos a tener un ángulo recto (aunque medido en sentido usual o antihorario). Es decir

\frac{11}{2}t = 270

t = \frac{2 \cdot 270}{11} = \frac{540}{11} = 49,090909 ... minutos

Esto es a las 12 y 49 minutos y 5,45454…. segundos

reloj3

Siguiendo con este razonamiento escribimos

\frac{11}{2}t = (2k+1) 90, k=0,1,2, ...

t = \frac{180}{11} (2k+1), k=0,1,2, ...

Obviamente, el proceso es cíclico y nos interesa ver cuándo se repite. Esto ocurrirá si al poner un valor de k llegamos a superar el de valor de t = 720 minutos (es decir, 12 horas). Con esto en mente, vemos que las soluciones son

t = \frac{180}{11} (2k+1) \leq 720,

k \leq (720 \frac{11}{180}-1) /2,

0 \leq k \leq 21,

Así pues hay 22 posibilidades en 12 horas con un reloj que mide forma “continua” el tiempo. Entre ellas están las 3 y las 9 que son las únicas soluciones enteras. Esto nos muestra que una hora hay dos posiciones posibles a excepción de la hora entre las dos y las tres y las ocho y las nueve donde sólo hay una. ¿Pero qué pasa si el reloj sólo marca los minutos exactos? En ese caso sólo tenemos a las tres y a las nueve como únicas soluciones y para que el ángulo agudo sea una hora antes sólo es posible que salga a las dos (de la tarde o la mañana) y llegue a las tres (de la tarde o la mañana).

Consultorio matemático. Primera duda resuelta

A partir de ahora voy a responder a ciertas dudas del consultorio de matematicas.net en esta página. Empecemos.

Consulta: Buenas, me piden encontrar el área de la región definida por y=x^3-3x y g=5x mediante integrales y no se ni por donde empezar, espero que me podáis ser de ayuda.

Muchas gracias de antemano.

Respuesta: Debes calcular los puntos de corte entre las funciones dadas. Es decir, resolver el sistema

x^3-3x = 5x.

Simplificando obtenemos

x(x^2-8) = 0,

cuyas soluciones son x = 0, \sqrt{8} y -\sqrt{8}. Ahora bien, debemos ver en qué posición están las gráficas entre dichos puntos. Para eso nada mejor que dibujarlas (me ayudo de desmos graphic calculator):

Ahora planteamos las integrales a calcular, que son

| \int_{-\sqrt{8}}^{0} (x^3-3x-5x) dx |,

|\int_{0}^{\sqrt{8}} 5x -(x^3-3x) dx |.

Pero claramente el área a calcular es el resultado de un proceso simétrico ya que las porciones de área a ambos lados del eje de ordenadas son iguales, por lo que bastará calcular

2 |\int_{0}^{\sqrt{8}} 5x-(x^3-3x) dx |.

El cálculo de esta integral es sencillo y su resultado es A = 2* 16 = 32, que es el área buscada en unidades de superficie.

Curso EVT. Lectura 12. Subespacios (2).

En la entrada 11 de este curso hemos probado que la intersección de subespacios de un mismo espacio vectorial siempre es un subespacio (eventualmente puede ser el subespacio trivial \{0\}). Sin embargo, la unión de subespacios no siempre es un subespacio. Para ello bastará un contraejemplo.

Contraejemplo 1.. Sea el espacio vectorial real \mathbb{R}^{2} con las operaciones usuales. Consideremos los subespacios S = \{(x,y) : x+y = 0 \} y T = \{(x,y): x-y = 0 \}. El conjunto S \cup T no es un subespacio. En efecto, si tomamos (1,-1) \in S y (1,1) \in T, su suma (2,0), no es un elemento de la unión ya que no verifica ninguna de las condiciones para pertenecer a S o a T.

La forma natural de definir el subespacio vectorial más “pequeño” que contiene a la unión de dos subespacios es utilizar la suma de estos. Pero antes debemos definir qué entendemos por suma de conjuntos de vectores.

Definición 1. Sean A y B dos subconjuntos no vacíos del K-espacio vectorial E. El conjunto suma A+B se define como el formado por las sumas x+y, donde x \in A e y \in B.

Escribiremos x+A, en lugar de \{x\}+A. Es fácil comprobar que la definición es consistente y que además verifica para cualesquiera A,B,C,D \subset E:
1. A+B = B+A.
2. A+\{0\} = A.
3. A+(B+C) = (A+B)+C.
4. Si A \subset C y B \subset D, entonces A+B \subset C+D.

Extendemos esta definición para el caso en que uno de los sumandos sea el conjunto vacío y así decimos que A+ \emptyset = \emptyset+A =A, para todo A \subset E. En particular, \emptyset+\emptyset = \emptyset. También podemos definir la suma un número finito de sumandos en base a las propiedades 1 y 3:

Definición 2. Sean A_i con i=1,2,\ldots, n, subconjuntos del K-espacio vectorial E. Entonces
\sum_{i=1}^{n} A_i = \{ \sum_{i=1}^{n} x_i : x_i \in A_i \}

Nuestro afán de generalidad nos lleva a definir la suma para una familia arbitraria de subconjuntos.

Definición 3. Sean (A_i)_{i \in I} una familia no vacía de subconjuntos del K-espacio vectorial E. Entonces
\sum_{i\in I} A_i = \{ \sum_{j=1}^{n} x_j : n \in \mathbb{N}, x_j \in \cup_{\in I} A_i \}

Es decir, se trata del conjunto de las sumas finitas de elementos de la unión de los conjuntos de la familia. Una vez establecidas estas definiciones vamos a probar el resultado central de esta lectura.

Teorema 1. Sean (S_i)_{i \in I} una familia no vacía de subespacios del K-espacio vectorial E. Entonces la suma \sum_{i \in I} S_i coincide con la envoltura lineal de la unión \sum_{i \in I} S_i

Prueba. Sean x e y dos elementos de \sum_{i \in I} S_{i} y sean \lambda, \mu dos escalares de K. Entonces existen enteros positivos n,m y familias finitas (x_{j})_{j=1}^{n}, (y_{k})_{k=1}^{m} de elementos de \cup_{i \in I} S_{i} tales que
x = \sum_{j=1}^{n} x_{j}, \quad y = \sum_{k=1}^{m} y_{k}.
Por tanto,
\lambda x + \mu y = \lambda \sum_{j=1}^{n} x_{j} + \mu \sum_{k=1}^{m} y_{k} = \sum_{j=1}^{n} \lambda x_{j} +\sum_{k=1}^{m} \mu y_{k}.
Ahora bien, para cada (j,k) de \{1,\ldots, n \} \times \{1, \ldots, m \} existe (i_{j}, i_{k}) de I \times I tal que x_{j} \in S_{i_{j}} e y_{k} \in S_{i_{k}}, luego \lambda x_{j} \in S_{i_{j}} y \mu y_{k} \in S_{i_{k}} (ya que la familia (S_{i})_{i \in I} está formada por subespacios de E). Esto significa que tanto \lambda x_{j} como \mu y_{k} son elementos de \cup_{i \in I} S_{i} y la combinación lineal \lambda x + \mu y es también un elemento de \sum_{i \in I} S_{i} pues se reduce a una suma finita de elementos de la unión de la familia de subespacios. Esto prueba que \sum_{i \in I} S_{i} es un subespacio de E.

Evidentemente, para cada i de I es S_{i} un subconjunto de \sum_{i \in I} S_{i} (bastará ver que cada x \in S_i se expresa como suma finita de elementos de la unión en la forma trivial x = x). Por tanto, \cup_{i \in I} S_{i} también es un subconjunto de \sum_{i \in I} S_{i} lo que junto con su carácter de subespacio nos lleva a afirmar que \sum_{i \in I} S_{i} pertenece a la clase \mathcal{L} (\cup_{i \in I} S_{i}) y por tanto L(\cup_{i \in I} S_{i}) \subset \sum_{i \in I} S_{i}. Para acabar, si H es un subespacio de E que incluye a \cup_{i \in I} S_{i}, entonces ha de incluir a las sumas finitas de sus elementos. Es decir, \sum_{i \in I} S_{i} \subset H y de aquí \sum_{i \in I} S_{i} \subset L(\cup_{i \in I} S_{i}). La doble inclusión nos lleva a la igualdad buscada y termina la demostración.

El principio arquimediano y sus equivalencias

En el cuerpo de los números reales sabemos que se verifica el principio arquimediano. Esto es, que dados x,y, números reales positivos, existe al menos un entero n para el que y< nx. La prueba de este hecho suele derivarse del axioma del supremo. También se suele utilizar el principio arquimediano para probar que el conjunto de los racionales es denso en los reales. En esta entrada vamos a partir del contexto más general de un cuerpo ordenado cualquiera y vamos a demostrar que el principio arquimediano es en realidad equivalente a la densidad de los racionales, los cuales se hallan presentes en dicho cuerpo mediante el isomorfismo natural.

Teorema: Sea K un cuerpo conmutativo totalmente ordenado. Son equivalentes

(a) Para todo x \in K, existe un entero positivo n \in K, tal que x <n.

(b) Para todos x,y de K, con y>0, podemos hallar un entero positivo n \in K que verifica x <ny.

(c) Para todo \epsilon >0, existe un entero positivo n \in K, tal que \frac{1}{n} < \epsilon.

(d) El conjunto de los racionales de K es denso en K.

Demostración. (a) implica (b). Como y>0, concluimos que existe y^{-1} >0 por lo que tomando xy^{-1} y aplicando (a) vemos que existe un entero positivo n que cumple

xy^{-1} <n.

Multiplicando ambos miembros por y llegamos a x <ny. El lector debe observar que esta desigualdad es equivalente a la que hemos dado para el caso de los números reales.

(b) implica (c). Sean x=1 e y= \epsilon>0. En virtud de (b), existe n \in K para el que

1 <n \epsilon.

Es decir, \frac{1}{ \epsilon} <n.

(c) implica (d). Este apartado es el más complicado de probar. Hemos de concluir que para todo x<y existe un racional z \in K, de forma que x<z<y. Vamos a analizar cuatro casos:

(1) Si es x <0 <y. La conclusión es inmediata haciendo z = 0.

(2) Si es 0< x <y, tomamos \epsilon = y-x >0 y aplicando (c) existe al menos un entero positivo n \in K para el que \frac{1}{n} < y-x. El valor \frac{1}{ny} es también positivo y aplicando de nuevo (c), hallamos p, entero positivo, que cumple \frac{1}{p} < \frac{1}{ny}, o lo que es lo mismo y < \frac{p}{n}. Por tanto, el conjunto

A= \{ p \in \mathbb{N} : y \leq \frac{p}{n} \}

es no vacío. Aplicando la buena ordenación de los naturales hallaremos un mínimo q para el conjunto A. Dicho mínimo será positivo (pues y>0 y permite afirmar que

z=\frac{q-1}{n} <y,

ya que q-1 \notin A. Finalmente de

x =y-(y-x) < \frac{q}{n} -\frac{1}{n} = \frac{q-1}{n},

vemos que x < \frac{q-1}{n} <y y este cociente de enteros es el racional z buscado.

(3) Si es x <y <0, entonces 0<-y <-x y aplicamos (2), con la salvedad de que si 0<-y<z<-x, entonces x<-z<y<0.

(4). Supongamos que x=0<y. Aplicando (c) deducimos que para \epsilon =y existe n, entero positivo, que cumple x=0< \frac{1}{n} <y. Esto significa que el racional buscado es z = \frac{1}{n}. Si es x<y=0, entonces 0=y<-x y aplicamos lo mismo,

(d) implica (a). Sea x \in K. Si x <1, trivialmente basta tomar n=1 y no hay nada que probar. Supongamos que x>1. Entonces \frac{1}{x} >0 y como los racionales de K son densos en K, hallamos \frac{m}{n}, de manera que

0<\frac{m}{n} < \frac{1}{x}.

Obviamente es mx = x+x+ \ldots +x \quad (m \quad \text{veces})> x,  pues x>0. En consecuencia,

0<x <mx = \frac{m}{n} nx <\frac{1}{x} nx = n.

Esto termina la demostración.