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Anillos ordenados (II)

Vamos a probar que son equivalentes:
a) El anillo (A,+, ) es un anillo totalmente ordenado.
b) Existe un subconjunto P de A que cumple las condiciones siguientes:
i) 0 \in P,
ii) P+P \subset P,
iii) P \cap (-P) = \{0 \},
iv) P P \subset P,
v) P \cup (-P) =A.
Veamos que a) implica b). Para ello, si \leq es el orden total presente en el anillo A y compatible con las operaciones de éste, veremos que
P = \{x \in A : x \geq 0 \}
es el subconjunto buscado (que, como el lector puede observar, está formado por los elementos “no negativos” de A). En efecto, por construcción 0 \in P y se cumple i).
Sean x,y elementos de P, entonces
x \geq 0, y \geq 0.
Por tanto, teniendo en cuenta que el orden es compatible con las operaciones del anillo (suma y producto) resulta al sumar y a ambos miembros de la desigualdad primera:
x+y \geq 0+y = y \geq 0.
Esto prueba que x+y \in P y, por tanto, P+P \subset P y se cumple ii).
Consideremos ahora un elemento x \in A que pertenezca tanto a P como a (-P), entonces x \geq 0 y también -x \geq 0. Sumando x a la última desigualdad vemos que
0= (-x)+x \geq 0 +x = x.
Es decir, x \leq 0. En consecuencia, x \leq 0 y x \geq 0, lo que nos lleva a que x=0 y se cumple (iii).
La propiedad (iv) es inmediata ya que si A es un anillo ordenado, entonces para todos x,y \in A, tales que x,y \geq 0, se tiene que xy \geq0. Es decir, P P \subset P.
Como el orden \leq es total, dados x,y \in A es x \leq y o y \leq x. En particular, si y=0, tenemos que para cualquier x \in A es $x \leq 0$ o 0 \leq x. En el primer caso, x \in (-P) y en el segundo x \in P. Por ello x \in P \cup (-P) y de aquí A = P \cup (-P).

Supongamos que b) es cierto. Definimos una relación en A utilizando el conjunto P: dados x,y \in A, escribimos x \leq y, si y sólo si y-x \in P. Veremos que dicha relación es de orden total y además compatible con la estructura de anillo. En primer lugar, como x-x = 0 \in P se sigue que x \leq x para todo x \in A y la relación es reflexiva. Supongamos ahora que x \leq y y también y \leq x. Esto quier decir que y-x \in P y también x-y \in P. Como y-x = -(x-y) \in (-P), tenemos que y-x \in P \cap (-P), luego y-x = 0, quedando x=y. Esto prueba que la relación es antisimétrica.

Sean x \leq y, y \leq z. Es decir, y-x \in P y z-y \in P. Sumando ambas expresiones
(y-x)+(z-y) = z-x \in P.
Luego x \leq z y la relación es transitiva. Se trata pues de un orden. Veremos que es total. Dados x,y \in A, su diferencia y-x es un elemento de A por lo que es nula, pertenece a P o pertenece a (-P). En el primer caso x=y, en el segundo x \leq y y en el tercero y \leq x.

Si existiera otro conjunto Q \subset A que cumpliera las condiciones i) a iv) y que diera lugar al orden que determina P, entonces Q = P, ya que una vez establecido dicho orden, se obtiene unívocamente el conjunto que lo determina mediante
S = \{ x \in A : x \geq 0 \}

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