Archivos Mensuales: mayo 2013

Números perfectos

Recordemos que los números perfectos fueron definidos por Euclides como aquellos que son iguales a la suma de todos sus divisores propios, es decir, iguales a la suma de todos sus divisores diferentes de él mismo. Por ejemplo, 6 es un número perfecto puesto que 6=1+2+3. Existen otros números pefectos como 28, 496, 8128. 33550336, etc. Los cuatro primeros números perfectos (6, 28, 496 y 8128) se conocían en la antigüedad clásica (Nicómaco de Gerasa los incluyó en su “Introductio Arithmeticae”) y los restantes se han ido descubriendo a lo largo de la historia (algunos muy recientemente). Todavía no se sabe si hay infinitos de ellos. Fue también Euclides quien dio una condición suficiente para que un número par sea perfecto. Veamos cómo lo hizo. Consideremos un número entero de la forma
N = p 2^{a}
donde p es primo y a es un entero positivo. ¿Cómo son los divisores de este número? Pues se obtienen mediante los diferentes productos de los divisores de cada factor. Es decir,
1, 2, 2^{2}, \cdots, 2^{a-1}, 2^{a}, p, 2p, 2^{2} p, \cdots, 2^{a-1} p, 2^{a} p
Si quitamos el último de ellos (para tener sólo los menores que N) y los sumamos, obtenemos

S = (1+2+2^{2} + \cdots + 2^{a} ) + (p +2p + \cdots + p 2^{a-1}) = (2^{a+1} -1) + p (2^{a} -1)

Si N fuera perfecto, entonces N = S . Es decir,

p 2^{a} = (2^{a+1} -1)+ p(2^{a} -1)
de donde simplificando concluimos que
p = 2^{a+1} -1
Esto significa que p es un primo de Mersenne. En definitiva, si suponemos que N es perfecto ha de tener la forma
N = (2^{a+1}-1) 2^{a}
siendo (2^{a+1}-1) primo (observe el lector que N es par). Tenemos ya una condición necesaria para que un número par sea número perfecto. Parece ser que se conocía también que esta condición era suficiente aunque Euclides no la dejo establecida. Fue el gran matemático Euler quien nos dio la interesante demostración que pasamos a explicar.
Sea N un número par. Es claro que 2 es uno de los factores primos de N. En particular, podemos factorizar N en la forma
N = 2^{n} u
donde n es un entero positivo y u es impar. Los divisores de N se obtienen como antes y de ellos sólo podemos concluir que la suma de todos es
S=(2^{n+1}-1) U
donde U es la suma de los divisores de u (¿por qué? se preguntará el lector). Si suponemos que N es perfecto, entonces 2N = S, ya que hemos incluido ahora a N entre sus divisores. Así pues,

(2^{n+1} -1) U = 2^{n+1} u
Operando esta expresión vemos que

2^{n+1} (U-u) = u
Meditemos sobre esta última igualdad. Resulta que U-u es la suma de todos los divisores de u menos u mismo y que resulta que al multiplicar esta suma por una potencia no nula de 2 se obtiene el valor u. Es claro que esto significa que U-u es un divisor de u. Pero esto resulta absurdo a menos que U-u sea igual a la unidad ya que ¿cómo puede ser un divisor de u y al mismo tiempo la suma de todos los divisores de u menos u mismo?. Por tanto, si U-u=1 se concluye que u es primo y
N = p 2^{n}
pero esto significa que al ser N perfecto (ver demostración anterior) debe escribirse como
N = (2^{n+1} -1) 2^{n}
Hemos probado entonces que todo número perfecto par es de esta manera y sólo de esta manera. Todavía no se sabe si existen números perfectos impares pero sí algo de las características que deberían tener en caso de existir (serían muy grandes).

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Estructuras de conjuntos pi-estables (1)

Sea X un conjunto dado y sea \mathcal{R} una clase no vacía de partes de X con una estructura. Decimos que dicha clase tiene una estructura \pi-estable si la intersección de cualquier familia de clases con dicha estructura da lugar a una clase con la misma estructura. Por ejemplo, consideremos un anillo de conjuntos sobre X. Dicha estructura se caracteriza por ser cerrada para la unión de un número finito de sus elementos y para la diferencia de dos cualesquiera de ellos. Además todo anillo contiene al conjunto vacío. Por tanto, si (\mathcal{R}_i)_{i \in I} es una familia de anillos sobre X podemos garantizar que su intersección

\cap_{i \in I} \mathcal{R}_i

es no vacía pues contiene al vacío. Pero además de ser no vacía resulta que también es un anillo sobre X. La demostración de este hecho es sencilla. Por tanto, la estructura de anillo es \pi-estable. También son \pi-estables las álgebras, los \sigma-anillos, las \sigma-álgebras,  etc., pero no son \pi-estables los semianillos, los \pi-sistemas y las clases monótonas. ¿Por qué es deseable la propiedad de \pi-estabilidad? Pues sencillamente porque así podemos garantizar que para una clase no vacía cualquiera (con o sin estructura previa) siempre existe una estructura \pi-estable que la contiene y que además es mínima con esta propiedad de inclusión.

La diferencia de conjuntos (3)

Vamos a dar algunas propiedades más de la diferencia de conjuntos. En primer lugar, tenemos que si A,B y C son subconjuntos de X, entonces

(5) (A \cup B)- C = (A-C) \cup (B-C).

Para probar esta afirmación volvemos a usar la relación A-B = A \cap B', donde B' representa el complementario de B. Así pues,

(A \cup B)-C = (A \cup B) \cap C' = (A \cap C') \cup (B \cap C') =

(A-C) \cup (B-C).

Tenemos también que

(6) (A \cap B) -C =(A-C) \cap (B-C).

Para probar esto necesitamos algo más de inventiva. Así vemos que

(A \cap B)-C = (A \cap B) \cap C' = A \cap B \cap C' \cap C' =

(A \cap C') \cap (B \cap C') = (A-C) \cap (B-C).

Ahora consideremos familias de conjuntos: (A_i)_{i \in I}, (B_j)_{j \in J}. En particular,

(7) (\cup_{i \in I} A_i) - B= \cup_{i \in I} (A_i - B),

(8)  (\cap_{i \in I} A_i) - B =\cap_{i \in I} (A_i - B).

Vamos a probar la primera de estas igualdades

(\cup_{i \in I} A_i)-B = (\cup_{i \in I} A_i) \cap B' =

\cup_{i \in I} (A_i \cap B') = \cup_{i \in I} (A_i -B).

La demostración de (8) es análoga. Para terminar, planteamos las operaciones

(9) \cup_{i \in I} A_i - \cup_{j \in J} B_j

(10) \cap_{i \in I} A_i - \cap_{j \in J} B_j

y sugerimos al lector que las desarrolle a la luz de lo visto en estas entradas.

Diferencia de conjuntos (2)

Vamos a dar las demostraciones de una serie de interesantes propiedades de la diferencia de conjuntos.

(1). Sean A,B y C tres subconjuntos de X, entonces

(A-B)- C = A- (B \cup C) .

En efecto, si A' es el complementario de A, tenemos que

(A-B)-C = (A \cap B') \cap C' = A \cap (B' \cap C'),

y aplicando las leyes de De Morgan,

A \cap (B' \cap C') = A \cap (B \cup C)' = A -(B \cup C).

Sin embargo, es

(2) A-(B-C) = (A-B) \cup (A \cap C).

La demostración es análoga a la anterior. Más interesantes son las igualdades donde intervienen uniones e intersecciones de familias de subconjuntos de X. Así si (A_i)_{i \in I} es una familia de partes de X y A \subset X, entonces

(3) A - \cup_{i \in I} A_{i} = \cap_{i \in I} (A-A_i),

(4) A -\cap_{i \in I} A_i = \cup_{i \in I}(A-A_i).

En efecto, tenemos que

A- \cup_{i \in I} A_i = A \cap (\cup_{i \in I} A_i)' = A \cap ( \cap_{i \in I} A_i') =\cap_{i \in I} (A \cap A_i')= \cap_{i \in I} (A- A_i).

La demostración de (4) es análoga.

La diferencia de conjuntos (1)

Dados dos conjuntos A y B, su diferencia A-B o complemento relativo de A a B es el conjunto

\{ x \in A : x \notin B \}.

Al tratarse de un subconjunto de A, los axiomas de la teoría de conjuntos nos dicen que existe como tal y no necesitamos un marco más amplio para definirla. Sin embargo, en la mayoría de las ocasiones consideramos dos subconjuntos A y B de un conjunto dado X. En tal caso, la diferencia es un subconjunto de X y su definición es la misma

A-B = \{x \in X : x \in A, x \notin B \}.

Esta segunda interpretación es la que vamos a tomar para dar una serie de propiedades. En primer lugar,

A-A = \emptyset.

Propiedad de inmediata demostración. Por otro lado, en general

A-B \neq B-A.

Las propiedades más interesantes se dan cuando tenemos en cuenta la relación de la diferencia con otras operaciones de conjuntos como la unión, la intersección y el paso al complementario. Así tenemos que el complementario de A en relación a X es

A' = X -A,

y esto nos permite definir

A-B = A \cap B'.

Esta igualdad nos va a ser muy útil para las siguientes demostraciones.

Bases de Filtro (2)

Vamos a continuar con algunas propiedades de las bases de filtro. En primer lugar, veremos que se conservan a través de las aplicaciones.
Sean X e Y dos conjuntos no vacíos. Sea \mathcal{H} una base de filtro sobre X y sea f una aplicación de X en Y. Afirmamos que la clase
f(\mathcal{H}) = \{f(A) : A \in \mathcal{H} \}
es una base de filtro sobre Y.
En primer lugar, la clase \mathcal{H} es no vacía por lo que f(\mathcal{H}) será no vacía. Además como el vacío no pertenece a \mathcal{H}, se sigue que para todo A de \mathcal{H} es f(A) no vacío y, por tanto, la clase f(\mathcal{H}) no contiene al vacío. Sean U y V elementos de f(\mathcal{H}). Hallaremos A y B de \mathcal{H}, tales que U = f(A) y V = f(B). Además, como \mathcal{H} es una base de filtro, existe C en \mathcal{H}, no vacío, tal que C \subset A \cap B . El conjunto W = f(C) es no vacío, pertenece a f(\mathcal{H}) y verifica
W= f(C) \subset f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B) = U \cap V .
Esto termina la demostración.
Por otro lado, supongamos que X e Y son dos conjuntos no vacíos. y \mathcal{J} es una familia fundamental sobre Y y f una aplicación de X en Y. Si para todo B de \mathcal{J} es B \cap f(X) no vacío, entonces la clase de las imágenes inversas f^{-1}(\mathcal{J}) = \{ f^{-1} (B) : B \in \mathcal{J} \} es una familia fundamental sobre X. Veamos la prueba. Sean A_{1}, A_{2} dos elementos de f^{-1}(\mathcal{J}). Hallaremos dos conjuntos B_{1}, B_{2} \in \mathcal{J}, tales que A_{1}= f^{-1}(B_{1}),A_{2}= f^{-1}(B_{2}). Entonces

A_{1} \cap A_{2} = f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}) = f^{-1} (B_{1} \cap B_{2}).

Pero como \mathcal{J} es una familia fundamental, sabemos que existe B_{3} \in \mathcal{J} con B_{3} \subset B_{1} \cap B_{2}, por lo que

f^{-1} (B_3) \subset f^{-1}(B_1 \cap B_2) = A_1 \cap A_2
Si la intersección A_{1} \cap A_{2} fuera vacía, entonces como B_{1} \cap B_{2} \cap f(X) \neq \emptyset, concluiríamos que la intersección B_{1} \cap B_{2} es vacía pues en otro caso su imagen inversa no sería vacía. Así pues, B_{3} = \emptyset y f^{-1} (B_{3}) = \emptyset. Para acabar, si la intersección A_{1} \cap A_{2} no fuera vacía, entonces el conjunto B_{1} \cap B_{2} es no vacío y también son  B_{3} y A_{3} = f^{-1} (B_{3}) no vacíos.

En el teorema anterior, la condición de corte de todo B \in \mathcal{J} con el recorrido de la aplicación f: X \rightarrow Y es esencial. En efecto, podemos asegurar en esas circunstancias que el vacío se obtiene sólo como imagen inversa del vacío.

Bases de Filtro (1)

Sea X un conjunto no vacío y sea \mathcal{P}(X) el conjunto de todas sus partes (subconjuntos). Una clase no vacía \mathcal{H} de partes de X es una familia fundamental sobre X si para para cualesquiera A y B pertenecientes a \mathcal{H} existe al menos un elemento C de \mathcal{H} tal que C \subset A \cap B, siendo C no vacío si la intersección es no vacía.
Es decir, una familia fundamental se caracteriza porque la intersección de dos cualesquiera de sus elementos contiene a otro de sus elementos y si tal intersección es no vacía, entonces el elemento de la familia contenido en la intersección es también no vacío. Obsérvese que si \mathcal{H} es una familia fundamental que no contiene al vacío, entonces \mathcal{H} \cup \{\emptyset \} es también una familia fundamental. En efecto, ahora las intersecciones vacías se obtienen de la forma A \cap B, donde A o B o ambos son vacíos y, obviamente, el vacío está incluido en dicha intersección.

Un tipo especialmente importante de familia fundamental es la base de filtro. Una familia fundamental sobre X es una base de filtro sobre X si no contiene al vacío. Si \mathcal{H} es una base de filtro sobre X, entonces es claro que la intersección de dos cualesquiera de sus elementos ha de contener a un tercero de ellos no vacío. Por tanto, la intersección de elementos de la familia no es nunca vacía.