Ecuaciones trigonométricas (2)

Continuamos resolviendo algunas ecuaciones trigonométricas.  En este caso nos atrevemos con la siguiente:

\tan 2x -4 \sin x \cos x + 1 = 4 \sin^{2} x.

Emplearemos las fórmulas del ángulo doble y el desarrollo buscará factorizar de alguna manera la expresión. Empezaremos con la tangente del ángulo doble:

\tan 2x = \frac{ \sin 2x}{\cos 2x} = \frac{ 2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x }.

Sustituimos y sacamos factor común

\frac{ 2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x }-4 \sin x \cos x + 1 = 4 \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x) (\frac{ 1}{\cos^{2} x - \sin^{2} x }-2)+ 1 = 4 \sin^{2} x.

Operamos el paréntesis y tenemos en cuenta que $1 = \cos^{2} x + \sin^{2} x$ (identidad pitagórica),

(2 \cos x \sin x) (\frac{ 1-2\cos^{2} x +2  \sin^{2} x }{\cos^{2} x - \sin^{2} x})+ 1 = 4 \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x)(\frac{ \cos^{2} x+ \sin^{2} x-2\cos^{2} x +2  \sin^{2} x }{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) +1 = 4 \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x)(\frac{ + 3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x})+1 = 4 \sin^{2} x.

Pasamos el $1$ al otro miembro y volvemos a utilizar la identidad pitagórica

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) = 4 \sin^{2} x -1,

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) = 4 \sin^{2} x -\cos^{2} x - \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) = 3 \sin^{2} x -\cos^{2} x.

En este punto identificamos un factor común en ambos miembros: 3\sin^{2} x-\cos^{2} x. Por tanto, tenemos

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) - 3 \sin^{2} x -\cos^{2} x =0,

( 3\sin^{2} x-\cos^{2} x)(\frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} -1) = 0.

Quedan entonces dos ecuaciones sencillas

3\sin^{2} x-\cos^{2} x = 0, (1)

\frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} -1 = 0, (2)

que pasamos a resolver

(1) 3\sin^{2} x-\cos^{2} x = 0,

3 \sin^{2} x - (1 - \sin^{2} x) = 0,
4 \sin^{2} x =1,
\sin^{2} x= \frac{1}{4},
\sin x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}.

(2) \frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} -1 =0,

\frac{ \sin 2x}{\cos 2x} =1,
\tan 2x =1.

El resto se deja al cuidado del lector.

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Ejercicio de trigonometría

Si x e y varían de forma que su suma x+y se conserva constante (igual a \alpha), hállese:

1. Entre qué límites varía \sin x+ \sin y.

2. Entre qué límites varía \sin x  \sin y

Solución

1. Recordemos que \sin x+ \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}. Por tanto, aplicamos que x+y = \alpha y obtenemos

\sin x+ \sin y = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{x-y}{2}

Pero, ¿vale la pena buscar alguna relación para obtener x-y en función de \alpha?. La verdad es que no pues sólo nos piden su variación. Por tanto, recordando que |cos u | \leq 1, tenemos

| \sin x+ \sin y| = 2| \sin \frac{\alpha}{2}| |\cos \frac{x-y}{2}| \leq 2| \sin \frac{\alpha}{2}|

Es decir, que \sin x+ \sin y varía entre -2\sin \frac{\alpha}{2} y 2 \sin \frac{\alpha}{2}.

2. En este caso utilizamos la relación

\cos(x+y) - \cos (x-y) = -2 \sin x \sin y

Es decir, \frac{1}{2}(\cos (x-y)-\cos \alpha) = \sin x \sin y. Por tanto, podemos afirmar que

\frac{1}{2} (-1-\cos \alpha) \leq \sin x \sin y \leq \frac{1}{2} (1-\cos \alpha).