Cursos, Topología

Curso Topología General (IV)

Breve explicación sobre relaciones de orden

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Curso EVT. Lectura 29. Aclaración sobre combinaciones lineales

El concepto clásico de combinación lineal involucra a un número finito de vectores de un espacio vectorial (o módulo). Esto es, si E es un espacio vectorial sobre un cuerpo K y A=\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{r} \} es un subconjunto finito de E, decimos que x es combinación lineal de elementos de A, si existen escalares (elementos de K): \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, tales que

x= \sum_{i=1}^{r} \alpha_{i} x_{i}

Utilizando este concepto de combinación lineal finita podemos explicar la dependencia lineal. Así, decimos que un vector x depende linealmente de un subconjunto B \subset E si y sólo si existe un subconjunto finito A de B tal que x es combinación lineal de los elementos de A. Pero, ¿cómo extender estas ideas a familias (x_{i})_{i \in I} infinitas de vectores?. Pues es razonable suponer que sólo se puede hacer cuando la combinación lineal se puede considerar finita. Para ello, haremos uso de la conocida propiedad 0 x = 0 para todo x \in E, donde 0 es el neutro aditivo del cuerpo K. En efecto, diremos que una familia de escalares (\alpha_{i})_{i \in I} es casi toda nula si el conjunto de los i \in I tales que \alpha_{i} \neq 0 es finito. Es decir, sólo hay un número finito de escalares no nulos. Diremos entonces que un vector x es combinación lineal de elementos de la familia (x_{i})_{i \in I} si existe una familia de escalares (\alpha_{i})_{i \in I} casi toda nula, tal que

x=\sum_{i \in I} \alpha_{i} x_{i}

Esto nos permite ahora hablar de la dependencia lineal de una manera “más amplia”. Diremos que un vector x depende linealmente de un conjunto B si existe una familia (b_{j})_{j \in J} de elementos de B tal que x es combinación lineal de elementos de (b_{j})_{j \in J}. También podemos generalizar la independencia lineal y con ello el concepto de base. En este sentido, diremos que una relación lineal entre los elementos de una familia (x_{i})_{i \in I} es cualquier familia de escalares (\beta_{i})_{i \in I}, casi todos nulos, tales que

\sum_{i \in I} \beta_{i} x_{i} = 0

Si la única relación lineal posible entre los elementos de la famlia (x_{i})_{i \in I} es la formada por los escalares \beta_{i} = 0 para todo i \in I, diremos entonces que la familia es libre. Una base de E es una familia libre que además tiene la propiedad de que todo x \in E es combinación lineal de elementos de dicha familia.