Curso Matemática Discreta. Video 2

En este segundo video damos una introducción muy simple al tema de los cardinales. Nos centramos en la noción de equipotencia y damos algunas propiedades. Continuaremos en esta línea en los siguientes videos del curso.

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Curso EVT. Lectura 29. Aclaración sobre combinaciones lineales

El concepto clásico de combinación lineal involucra a un número finito de vectores de un espacio vectorial (o módulo). Esto es, si E es un espacio vectorial sobre un cuerpo K y A=\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{r} \} es un subconjunto finito de E, decimos que x es combinación lineal de elementos de A, si existen escalares (elementos de K): \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, tales que

x= \sum_{i=1}^{r} \alpha_{i} x_{i}

Utilizando este concepto de combinación lineal finita podemos explicar la dependencia lineal. Así, decimos que un vector x depende linealmente de un subconjunto B \subset E si y sólo si existe un subconjunto finito A de B tal que x es combinación lineal de los elementos de A. Pero, ¿cómo extender estas ideas a familias (x_{i})_{i \in I} infinitas de vectores?. Pues es razonable suponer que sólo se puede hacer cuando la combinación lineal se puede considerar finita. Para ello, haremos uso de la conocida propiedad 0 x = 0 para todo x \in E, donde 0 es el neutro aditivo del cuerpo K. En efecto, diremos que una familia de escalares (\alpha_{i})_{i \in I} es casi toda nula si el conjunto de los i \in I tales que \alpha_{i} \neq 0 es finito. Es decir, sólo hay un número finito de escalares no nulos. Diremos entonces que un vector x es combinación lineal de elementos de la familia (x_{i})_{i \in I} si existe una familia de escalares (\alpha_{i})_{i \in I} casi toda nula, tal que

x=\sum_{i \in I} \alpha_{i} x_{i}

Esto nos permite ahora hablar de la dependencia lineal de una manera “más amplia”. Diremos que un vector x depende linealmente de un conjunto B si existe una familia (b_{j})_{j \in J} de elementos de B tal que x es combinación lineal de elementos de (b_{j})_{j \in J}. También podemos generalizar la independencia lineal y con ello el concepto de base. En este sentido, diremos que una relación lineal entre los elementos de una familia (x_{i})_{i \in I} es cualquier familia de escalares (\beta_{i})_{i \in I}, casi todos nulos, tales que

\sum_{i \in I} \beta_{i} x_{i} = 0

Si la única relación lineal posible entre los elementos de la famlia (x_{i})_{i \in I} es la formada por los escalares \beta_{i} = 0 para todo i \in I, diremos entonces que la familia es libre. Una base de E es una familia libre que además tiene la propiedad de que todo x \in E es combinación lineal de elementos de dicha familia.

Curso EVT. Lectura 28. Topología (3)

Consideremos dos espacios topológicos (E,T) y (F,S). Vamos a definir una topología sobre el conjunto producto E \times F utilizando como base la colección \mathcal{G} de los conjuntos U \times V, donde U es un abierto de E y V es un abierto de F. En efecto, recordemos que las condiciones para que una colección de subconjuntos de un conjunto dado sea una base de una topología son: (1) Para cada elemento del conjunto existe un elemento de la base que lo contiene. (2) Para cada elemento de la intersección de dos conjuntos de la colección existe un tercer elemento de la misma colección que lo contiene y está contenido en dicha intersección. La primera condición es inmediata pues el conjunto E \times F es un elemento de \mathcal{G} y (x,y) \in E \times F. Para la condición (2) recordamos que

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \times C) \cap (B \times D).

De esta manera, si U_1 \times V_1 y U_2 \times V_2 son elementos de \mathcal{G}, entonces (U_1 \times V_1) \times (U_2 \times V_2) = (U_1 \cap U_2) \times (V_1 \cap V_2) es también un elemento de \mathcal{G} pues la intersección finita de abiertos es un abierto.

Podemos aprovechar las bases existentes de una topología en cada conjunto para definir de una manera equivalente la topología producto. De esta manera, si \mathcal{B} es una base de la topología de E y \mathcal{B}' es una base de la topología de F, la clase \mathcal{B} \times \mathcal{B}' es una base para la topología producto. La demostración es sencilla pues si (x,y) es un elemento de un abierto A de la topología producto, hallaremos U, abierto de E y V, abierto de F, tales que (x,y) \in U \times V \subset A y para dichos U,V existen B \in \mathcal{B} y B' \in \mathcal{B}', de forma que (x,y) \in B \times B' \subset U \times V \subset A. Esto prueba que todo abierto de la topología producto es unión de conjuntos de la forma B \times B'.

Una definición importante es la de conjunto cerrado. Un subconjunto C de un espacio topológico (X, \mathcal{T}) es cerrado si su complementario X-C es un abierto de \mathcal{T}.

Utilizando las propiedades ya dadas para los conjuntos abiertos podemos demostrar el siguiente teorema.

Teorema 1. Sea (X, \mathcal{T}) un espacio topológico y sea \mathcal{C} la colección de todos los cerrados definidos por la topología \mathcal{T}. Entonces, se tiene que
(a) El vacío y el propio X pertenecen a \mathcal{C}.
(b).La intersección arbitraria de elementos de \mathcal{C} pertenece a \mathcal{C}.
(c). Si C y C' son cerrados, entonces C \cup C' es cerrado.

Prueba. Como \emptyset es abierto, tenemos que X- \emptyset = X es cerrado. Análogamente, X es abierto, por lo que X-X = \emptyset es cerrado. Esto prueba (a). Sea (C_{i})_{i \in I} una familia arbitraria de cerrados. La familia (X-C_{i})_{i \in I} está formada por abiertos y, en consecuencia, de la igualdad

X -\cap_{i \in I} C_{i} = \cup_{i \in I} (X-C_{i})

se sigue que \cap_{i \in I} C_{i} es cerrado. Esto prueba (b). Finalmente, sean C y C' dos cerrados. Entonces X-C y X-C' son abiertos, por lo que (X-C) \cup (X-C') = X- (C \cap C') es un abierto. Esto significa que C \cap C' es cerrado.

Curso EVT. Lectura 27. Topología (2)

Sea (X, \mathcal{T}) un espacio topológico. Decimos que una subcolección no vacía \mathcal{S} de \mathcal{T} es una base de dicha topología si para cada A en \mathcal{T} y cada x \in A, existe S \in \mathcal{S} tal que x \in S \subset A. Esto viene a significar que todo abierto de la topología es unión de elementos de la base. En general, nos interesa dar una base y construir a partir de ella una topología pero para ello una colección cualquiera de conjuntos ha de cumplir algunas condiciones que detallamos a continuación.

Teorema 1. Una colección no vacía \mathcal{S} de partes de un conjunto X es base de una topología \mathcal{T} si y sólo si:
(a) Para cada x \in X, existe al menos un S \in \mathcal{S} con x \in S.
(b) Si x pertenece a la intersección de dos elementos S_1 y S_2 de \mathcal{S}, entonces existe un S_3 \in \mathcal{S} que verifica x \in S_3 \subset S_1 \cap S_2.

Prueba. Supongamos que \mathcal{S} verifica (a) y (b). Definimos entonces la colección \mathcal{T} de los subconjuntos U \subset X tales que si x \in U, entonces existe S \in \mathcal{S}, de forma que x \in S \subset U. Probaremos que \mathcal{T} es una topología sobre X. En efecto, el vacío cumple la condición por omisión y por (a) resulta que X pertenece a \mathcal{T}. Consideremos ahora dos elementos U,W de \mathcal{T}. Si la intersección es vacía no tenemos nada que probar, sea pues no vacía y sea x \in U \cap W, entonces hallaremos S_1,S_2 \in \mathcal{S}, de forma que x \in S_1 \subset U y x \in S_2 \subset W. Aplicando (b) resulta que existe S_3 \in \mathcal{S} de manera que x \in S_3 \subset S_1 \cap S_2 \subset U \cap W. Esto prueba que U \cap W \in \mathcal{T}. Sea ahora una familia (U_i)_{i \in I} de elementos de \mathcal{T} y sea x \in \cup_{i \in I} U_i. Entonces hallaremos un índice i_0 \in I y un elemento S \in \mathcal{S}, de manera que x \in S \subset U_{i_{0}} \subset \cup_{i \in I} U_i. Esto prueba que la unión de los elementos de (U_i)_{i \in I} pertenece a \mathcal{T}. Así pues \mathcal{T} es una topología y es claro que \mathcal{S} \subset \mathcal{T} y cada elemento U de la topología \mathcal{T} es unión de elementos de \mathcal{S}. Para acabar, supongamos que \mathcal{T} es una topología y que \mathcal{S} es una de sus bases. En tal caso, como X \in \mathcal{T}, resulta que para cada x \in X , es posible hallar un S \in \mathcal{S} de manera que x \in S \subset X. Esto prueba (a). Por otro lado, si S_1,S_2 son elementos de la \mathcal{S}, entonces su intersección es un abierto y por ello si es no vacía, dado x \in S_1 \cap S_2, hallaremos S_3 \in \mathcal{S}, que verifica x \in S_3 \subset S_1 \cap S_2. Esto prueba (b) y termina la demostración.

Cuando una topología tiene al menos una base numerable se dice que verifica el segundo axioma de numerabilidad.

Otra noción interesante es la de sub-base. Decimos que una colección no vacía de partes de un conjunto X es una sub-base para una topología sobre dicho conjunto, si las intersecciones finitas de los elementos de la colección forman una base de una topología. La condición para conseguir una sub-base resulta sencilla.

Teorema 2. Una colección no vacía \mathcal{H} de partes de un conjunto X es sub-base de una topología \mathcal{T} si y sólo si la unión de los elementos de la colección es X.

Prueba. Consideremos que \mathcal{H} verifica la condición \cup_{H \in \mathcal{H}} H = X. Sea \mathcal{M} la colección de las intersecciones finitas de los elementos de \mathcal{H}. Probaremos que \mathcal{M} es una base para una topología \mathcal{T} de X. Evidentemente, es \mathcal{H} \subset \mathcal{M}, por lo que si x es un elemento de X, entonces como la unión de los elementos de \mathcal{H} es X, existe un H \in \mathcal{H}, tal que x \in H y así para cada x \in X, existe un H \in \mathcal{M} tal que x \in H (esto prueba la condición (a) del teorema 1). Si x \in M_1 \cap M_2, con M_1, M_2 \in \mathcal{M}, es inmediato que M_1 \cap M_2 pertenece a \mathcal{M}, pues dicha clase tiene por elementos a intersecciones finitas de elementos de \mathcal{H} y tomando M_3 = M_1 \cap M_2 se sigue que M_3 \subset M_1 \cap M_2, (esto prueba la condición (b) del teorema 2). En definitiva \mathcal{M} es una base para una topología sobre X.
Recíprocamente, si consideramos una subbase \mathcal{H}, entonces al ser la colección \mathcal{S} de las intersecciones finitas de dicha subbase una base, se sigue que dicha base verificará la condición (a) del teorema 1. Por ello, para cada x \in X, existe S \in \mathcal{S}, tal que x \in S. Si H_{S} es uno de los elementos de \mathcal{H} que intersecados dan lugar a S, se sigue que x \in S \subset H_{S} y de aquí es evidente que la unión de los elementos de la subbase es igual a todo X.

Curso EVT. Lectura 26. Topología (1)

Sea X un conjunto. Decimos que una colección \mathcal{T} de partes de X es una topología sobre X si verifica las propiedades siguientes:

(a) el vacío y X pertenecen a \mathcal{T}.

(b) La unión de elementos de \mathcal{T} es un elemento de \mathcal{T}.

(c) La intersección finita de elementos de \mathcal{T} es un elemento de \mathcal{T}.

El par (X, \mathcal{T}) se denomina entonces espacio topológico. En general, se dice simplemente que X es un espacio topológico omitiendo la mención a \mathcal{T} siempre que no haya confusión.

Los conjuntos que pertenecen a \mathcal{T} se llaman abiertos de dicha topología. En resumen, una topología sobre un conjunto es cualquier colección de partes de dicho conjunto que contenga al vacío y al total y que sea cerrada para la unión arbitraria y la intersección finita. En general, sobre un mismo conjunto se pueden definir varias topologías.

También podemos definir de una manera equivalente una topología utilizando un sistema de filtros.

Definición 1. Una familia no vacía \mathcal{F} de partes de un conjunto X es un filtro sobre dicho conjunto si no contiene al vacío, es cerrada para la intersección finita y si para algún F \in \mathcal{F} es F \subset U \subset X, entonces U \in \mathcal{F}.

Una base del filtro \mathcal{F} es cualquier subcolección no vacía \mathcal{B} de \mathcal{F} para la que, dado cualquier F \in \mathcal{F}, existe al menos un B \in \mathcal{B} con B \subset F. Las bases de filtro tampoco contienen al vacío (pues son una subcolección no vacía de una colección que no contiene al vacío). Es evidente que todo filtro es base de sí mismo pero también es posible que un filtro tenga más de una base. Interesa pues ver qué propiedades tienen las bases de filtro.

Teorema 1. Una familia no vacía \mathcal{B} de partes de un conjunto X es una base de un filtro, si no contiene al vacío y para cada par B,B' de elementos de \mathcal{B}, es posible hallar un B'' \in \mathcal{B}, tal que B'' \subset B \cap B'.

Prueba. Consideremos un filtro \mathcal{F} y supongamos que \mathcal{B} es una base de dicho filtro. En tal caso, si B,B' son elementos de \mathcal{B} se sigue que B,B' pertenecen al filtro y, en consecuencia, B \cap B' \in \mathcal{F} (pues los filtros son cerrados para la intersección finita). Solo resta considerar que al ser \mathcal{B} una base del filtro, hallaremos B'' en \mathcal{B}, tal que B'' \subset B \cap B''. Recíprocamente, supongamos que existe una familia no vacía \mathcal{B} de partes de X que verifica las condiciones para ser una base de filtro. Definimos la clase \mathcal{F} = \{ U \subset X: \exists B \in \mathcal{B}, B \subset U \}. Es decir, la colección de todos los subconjuntos de X que incluyen a alguno de \mathcal{B}. Afirmamos que \mathcal{F} es un filtro y que \mathcal{B} es una de sus bases. En efecto, \mathcal{F} es no vacía pues todos los elementos de \mathcal{B} están por definición en \mathcal{F}. Además no contiene al vacío pues ningún elemento de \mathcal{B} es vacío. Sean U,U' elementos de \mathcal{F}, hallaremos B,B' en \mathcal{F}, tales que B \subset U y B' \subset U'. Como \mathcal{B} es una base de filtro, hallaremos B'' \in \mathcal{B}, tal que B'' \subset B \cap B' \subset U \cap U'. Lo que prueba que U \cap U' es un elemento de \mathcal{F}. Finalmente, si Z es un subconjunto de X que contiene a algún U \in \mathcal{F}, entonces existe B \in \mathcal{B}, tal que B \subset U \subset Z y de aquí Z \in \mathcal{F}. Esto termina la demostración.

Sea ahora (X, \mathcal{T}) un espacio topológico. Decimos que un conjunto U es un entorno de un punto x \in X si existe al menos un abierto A tal que x \in A \subset U. Según esta definición, los abiertos son entornos de todos sus puntos. Consideremos x fijo y definamos la familia \mathcal{F}(x) = \{ U \subset X : \exists A \in \mathcal{T} : x \in A \subset U \}. Esto es, la familia de todos los entornos del punto x. Afirmamos que dicha familia es un filtro.

Teorema 2. La colección de entornos de un punto x de un espacio topológico (X,\mathcal{T}) es un filtro.

Prueba. En primer lugar, si U es un entorno de x, entonces x \in U por lo que ningún entorno es vacío. Sean U y V, entornos de x. Hallaremos abiertos A y B, tales que x \in A \subset U y x \in B \subset V. Por ello, x \in A \cap B \subset U \cap V y como A \cap B es abierto, se sigue que U \cap V es un entorno de x. Finalmente, si W es un subconjunto de X y existe un entorno U de x, tal que U \subset W, es inmediato que hallaremos un abierto A con x \in A \subset U \subset W, lo que implica que W es un entorno de x.

Así en un espacio topológico podemos definir una colección de filtros de entornos (\mathcal{F}(x))_{x \in X}. Tal colección resulta ser un sistema pues están relacionados unos filtros con otros como muestra la condición (b) del siguiente teorema.

Teorema 3. Sea (X, \mathcal{T}) un espacio topológico y sea (\mathcal{F}(x))_{x \in X} la colección de filtros de entornos determinada a partir de los abiertos de la topología. Afirmamos que
(a) Para todo U \in \mathcal{F}(x) es x \in U.
(b) Si U \in \mathcal{F}(x), existe un V \in \mathcal{F}(x), de forma que para cada y \in V es U \in \mathcal{F}(y).

Prueba. La propiedad (a) es inmediata. Veamos (b). Sea U un entorno de x. Hallaremos un abierto A, de forma que x \in A \subset U. Como A es abierto, entonces trivialmente es entorno de x (y de todos sus puntos). Escribimos A = V, y podemos concluir que si y \in V, entonces de V \subset U, se sigue que U \in \mathcal{F}(y).

El teorema anterior nos da la clave para definir una topología a partir de un sistema de filtros.

Teorema 4. Sea X un conjunto no vacío y consideremos un sistema de filtros (\mathcal{F}(x))_{x \in X}, definidos sobre dicho conjunto y con las propiedades (a) y (b) del teorema 3. Entonces la colección \mathcal{S} de los conjuntos A definidos mediante: A \in \mathcal{S} si y sólo si para cada x \in A, es A \in \mathcal{F}(x), resulta una topología sobre X.

Prueba. Sea x un elemento de X. Por (a), resulta que x \in U \subset X, para todo U \in \mathcal{F}(x). Esto significa que X pertenece a \mathcal{F}(x) (no olvidemos que dicha colección es un filtro) y, en consecuencia, para todo x \in X es X \in \mathcal{F}(x) y X \in \mathcal{S}. El conjunto vacío también pertenece a \mathcal{S} pues verifica la condición necesaria por omisión. Sean A y A' dos elementos de \mathcal{S} y sea A \cap A'. Si dicha intersección es vacía entonces pertenece a \mathcal{S} y si no lo es, dado X \in A \cap A', resulta que A \in \mathcal{F}(x) y también A' \in \mathcal{F}(x). Supongamos que \mathcal{B}(x) es una base del filtro \mathcal{F}(x) (sabemos que todo filtro tiene al menos una base). Entonces, hallaremos B,B',B'' \in \mathcal{B}(x), tales que x \in B'' \subset B \cap B' \subset A \cap A'. Pero esto prueba que A \cap A' \in \mathcal{F}(x) pues contiene a un elemento de la base del filtro \mathcal{F}(x). Así pues, A \cap A' \in \mathcal{S}. Finalmente, si (A_i)_{i \in I} es una colección de elementos de \mathcal{S}, y x es un elemento de \cup_{i \in I} A_i, hallaremos un i_0 \in I para el que x \in A_{i_{0}}. Esto es, A_{i_{0}} \in \mathcal{F}(x). Pero como A_{i_{0}} \subset \cup_{i \in I} A_i, se sigue que la unión también pertenece al filtro \mathcal{F}(x) y de aquí que dicha unión sea un elemento de \mathcal{S}.

Curso EVT. Lectura 25. Cardinales (8)

No definiremos de manera precisa lo que entendemos por cardinal pues ello precisaría de la teoría de los ordinales. Consideraremos pues un cardinal como una “clase de equivalencia” formada por conjuntos equinumerosos. La definición de las operaciones entre cardinales las haremos utilizando representantes. De esta manera si \alpha es un cardinal, escribiremos |A| =  \alpha para indicar que A pertenece al cardinal \alpha. Tampoco daremos las demostraciones de todos los teoremas.

Definición 1. Sean \alpha y \beta dos cardinales y sean A y B conjuntos disjuntos tales que |A|= \alpha y |B|= \beta. Se define la suma \alpha + \beta como el cardinal del conjunto A \cup B

Esta definición es consistente pues se prueba con facilidad que es independiente de los representantes elegidos. Podemos extender esta definición para la suma de un número arbitrario de cardinales.

Definición 2. Sea ( \alpha_{i})_{i \in I} una familia de cardinales y sea (A_{i})_{i \in I} una familia de conjuntos tales que |A_{i}| = \alpha_{i} para cada i \in I. Se define su suma \sum_{i} \alpha_{i} como el cardinal del conjunto \bigcup_{i \in I} (A_{i} \times \{ i \}).

De nuevo resulta una definición consistente pues no depende de los representantes que se elijan, además para cada i de I es cierta la igualdad |A_{i} \times \{ i \}| = |A_{i}|, siendo los conjuntos de la familia (A_{i} \times \{i \})_{i \in I} disjuntos dos a dos.

Teorema 1. Sean \alpha, \beta y \gamma tres cardinales cualesquiera. Se cumplen:
a) \alpha + \beta = \beta + \alpha.
b) Si | \emptyset | = 0, entonces \alpha+0 = 0 + \alpha = \alpha.
c) \alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta)+ \gamma.
Definición 3. Sean \alpha y \beta dos cardinales y sean A y B conjuntos tales que |A|= \alpha y |B|= \beta. Se define el producto \alpha  \beta como el cardinal del conjunto A \times B.

Como vemos no se exige que los conjuntos sean disjuntos. Ahora bien, si uno de ellos es vacío, el producto cartesiano será vacío.

Definición4. Sea ( \alpha_{i})_{i \in I} una familia de cardinales y sea (A_{i})_{i \in I} una familia de conjuntos tales que |A_{i}| = \alpha_{i}. Se define el producto \prod_{i \in I} \alpha_{i} como el cardinal del producto cartesiano \prod_{i \in I} A_{i}.

Si ninguno de los cardinales es cero entonces ninguno de los conjuntos de la familia será vacío y el producto cartesiano no será vacío en virtud del axioma de elección.

Teorema 2. Sean \alpha, \beta y \gamma cardinales cualesquiera. Entonces
a) (\alpha  \beta) \gamma = \alpha  (\beta \gamma).
b) \alpha \beta = \beta \alpha.
c) \alpha 1 = \alpha, donde 1 es el cardinal del natural \{ 0 \}.
d) \alpha (\beta+ \gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma.
e) \alpha 0 = 0.
f) \sum_{i \in I} \alpha = |I| \alpha.

Señalemos en especial la propiedad (f) pues la hemos usado en la demostración de la equicardinalidad de las bases de un mismo espacio vectorial.

Definición 5. Se dice que un cardinal \alpha es menor o igual que otro cardinal \beta si podemos hallar conjuntos A y B para los que |A|= \alpha, |B| = \beta y existe una función f:A \rightarrow B inyectiva. En tal caso, escribimos \alpha \leq \beta.
Teorema 3. Si (\alpha_{i})_{i \in I} es una familia de cardinales y (A_{i})_{i \in I} es una familia de conjuntos con |A_{i}| = \alpha_{i} para cada i \in I, entonces |\bigcup_{i \in I} A_{i} | \leq \sum_{i \in I} \alpha_{i}.
Teorema 4. Sean ( \alpha_{i})_{i \in I} y ( \beta_{i})_{i \in I} dos familias de números cardinales tales que \alpha_{i} \leq \beta_{i}, para todo i \in I, entonces:

a) \sum_{i \in I} \alpha_{i} \leq \sum_{i \in I} \beta_{i}.
b) \prod_{i \in I} \alpha_{i} \leq \prod_{i \in I} \beta_{i}.

Es importante señalar que estas propiedades no se cumplen siempre si la desigualdad entre los cardinales es estricta.

Teorema 5. Sea \alpha un cardinal infinito y sea \omega el cardinal de los naturales. Entonces si \beta es un cardinal que cumple \beta \leq \omega, concluimos que \alpha + \beta = \alpha.

Prueba. Consideremos A y B tales que A \cap B = \emptyset y |A| = \alpha y |B| = \beta. Sabemos que todo conjunto infinito contiene un subconjunto numerable. Por tanto, existe C \subset A tal que |C| = \omega. Escribimos C = \{c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}, \ldots \} y definimos la función f: \mathbb{N} \cup A \rightarrow A, mediante

c_{2n} si x  \in \mathbb{N}.
c_{2n-1} si x \in C.
x si x \in A-C.

Esta función es biyectiva y esto prueba que |\mathbb{N} \cup A| = |A|. Es decir, \omega+ \alpha = \alpha. Aplicando (a) del teorema 4 concluimos de la desigualdad \beta \leq \omega que \alpha+\beta \leq \alpha+\omega = \alpha \leq \alpha + \beta y en virtud del teorema de Schröder-Bernstein es \alpha+\beta = \alpha.

Podemos obtener un conocido resultado a partir de esta demostración.

Corolario 1. Si \omega es el cardinal de los naturales, entonces \omega+ \omega = \omega.

Prueba. Bastará tomar \alpha = \omega y \beta = \omega en el teorema anterior.

Teorema 6. Si \alpha es un cardinal infinito, entonces \alpha+\alpha = \alpha y \alpha \alpha = \alpha.
Teorema 7. Si \alpha y \beta son cardinales mayores que cero y alguno de ellos es infinito, entonces \alpha+\beta =  \alpha \beta = \max \{\alpha, \beta \}.
Teorema 8. Si (A_{i})_{i \in I} es una familia de conjuntos y |A_{i}|= \alpha_{i} para i \in I, entonces |\bigcup_{i \in I} A_{i} | \leq  |I | \bigcup_{i \in I} | A_{i} | \leq |I | \sum_{i \in I} \alpha_{i}.
Definición 6. Sean \alpha y \beta dos cardinales y sean A y B dos conjuntos tales que |A| =  \alpha y |B| = \beta. Definimos \alpha^{\beta} como el cardinal del conjunto A^{B} formado por todas las aplicaciones f:B \rightarrow A.
Teorema 9. Para cualesquiera cardinales \alpha, \beta, \gamma, \delta, se cumplen:
a) Si \alpha >0 y \beta \leq \gamma, entonces \alpha^{\beta} \leq \alpha^{\gamma}.
b) Si \alpha \leq \gamma, entonces \alpha^{\delta} \leq \gamma^{\delta}.

Acabamos esta colección de resultados con un teorema.

Teorema 10. Si \alpha, \beta y $\gamma$ son cardinales, entonces
a) \alpha^{\beta+\gamma} = \alpha^{\beta} \alpha^{\gamma}.
b) \alpha^{\beta \gamma} = (\alpha^{\beta})^{\gamma}.
c) (\alpha \beta)^{\gamma} = \alpha^{\gamma} \beta^{\gamma}.