Consultorio: Una desigualdad a demostrar (III)

Como último detalle relativo a la desigualdad que estamos tratando vamos a probar precisamente la desigualdad de las medias aritmética y geométrica (AM-GM para abreviar).

Supongamos que dados n números positivos a_1, a_2, \ldots, a_n es A_n = \frac{ \sum_{i=1}^{n} a_i}{n} su media aritmética. Hemos visto que se cumple

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n

para todo n \geq 2. Reiterando esta desigualdad

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n \geq A_{n-2}^{n-2} a_{n-1} a_n \geq \ldots \geq A_{1}^{1} a_2 \ldots a_{n-1} a_{n}.

Ahora bien, A_1 = a_1 por lo que queda

A_{n}^{n} \geq a_1 a_2 \ldots a_{n-1} a_n,

A_{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_{n-1} a_n}.

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Resolución de inecuaciones racionales en una incógnita

Una expresión racional tiene la forma

\frac{P(x)}{Q(x)},

donde P(x) y Q(x) son polinomios en una indeterminada con Q(x) no idénticamente nulo (o sea que hay al menos un valor de x para el que no se anula). Una inecuación de alguna de las formas

\frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, \frac{P(x)}{Q(x)} <0, \frac{P(x)}{Q(x)} <0

es una inecuación racional en una incógnita y en forma normal. Su resolución se basa en las propiedades del conjunto de los números reales como cuerpo ordenado. De esta manera, si queremos resolver \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0, debemos resolver los sistemas

P(x) \leq 0, Q(x) >0, (I)

P(x) \geq 0, Q(x) <0, (II)

pues el cociente será negativo o nulo si el numerador y el denominador tienen diferentes signos, teniendo en cuenta además que el denominador no puede ser nulo. Evidentemente estos sistemas pueden ser difíciles de resolver pues todo depende de la complejidad de los polinomios considerados. Veamos un ejemplo. Sea la inecuación

\frac{x^3-1}{2x-2} \leq 1.

Nuestro primer paso es ponerla en forma normal. Para ello restamos 1 a ambos miembros lo que no altera el sentido de la desigualdad (recordemos que sumar o restar a ambos miembros de una inecuación la misma cantidad no altera el sentido de la desigualdad y nos permite obtener una inecuación equivalente)

\frac{x^3-1}{2x-2}- 1 \leq 0,

\frac{x^3-1-(2x-2)}{2x-2} \leq 0,

\frac{x^3-2x+1}{2x-2} \leq 0.

Por tanto, tenemos que resolver los sistemas

x^3-2x+1 \geq 0, 2x-2 <0, (I)

x^3-2x+1 \leq 0, 2x-2 >0. (II)

Veamos el primero de ellos. La inecuación x^3-2x+1 \geq 0 se resuelve mediante la obtención de las raíces reales de la ecuación

x^3-2x+1 = 0.

Una aproximación mediante el teorema del resto nos muestra que una las soluciones de esta ecuación es x_1=1, por tanto podemos escribir

x^3-2x+1 = (x-1)(x^2+x-1).

Nos falta encontrar las raíces reales de x^2+x-1=0. Tenemos que su discriminante es

\Delta = 1^2-4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5,

luego las raíces son

x_2 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2},

x_3 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}.

Procedemos a ordenarlas de menor a mayor y permiten definir cuatro intervalos

(-\infty, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}),

(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}),

(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},1),

(1, \infty).

Buscamos valores en el interior de dichos intervalos para sustituirlos en la expresión y=x^3-2x+1 y obtenemos que el signo de los resultados es positivo o nulo en

[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}],

[1, \infty),

como podemos ver en la gráfica:

solinecua

Por tanto, la solución de esta inecuación es

[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}] \cup [1, \infty).

Tenemos ahora que resolver también 2x-2 <0, que resulta en

x < 1,

es decir, el intervalo (-\infty, 1). La solución de (I) es la intersección de este intervalo con la unión de los intervalos anteriores. Es decir,

[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}] .

Dejamos al lector la solución del otro sistema (II), recordándole que puede utilizar como base los intervalos que ya hemos obtenido.