Continuamos con las ideas esbozadas en la lectura 4. Sea una sucesión de partes de un conjunto dado
, decimos que es creciente si
,
.
Si verifica
,
,
decimos que es una sucesión decreciente. Las sucesiones crecientes y decrecientes tienen límites (esto es coinciden en ellas sus límites superior e inferior) siendo
el límite de la sucesión creciente y
el límite de la sucesión decreciente. Sea un anillo y
un contenido en dicho anillo. Decimos que
es
(i) semicontinua por abajo, si para toda sucesión creciente de elementos del anillo tal que
, se cumple que
.
(ii) semicontinua por arriba, si para toda sucesión decreciente de elementos del anillo tal que para algún
es
y
, se cumple que
.
(iii) -continua, si es semicontinua por arriba para toda sucesión decreciente con límite igual al conjunto vacío.
Estamos en condiciones de demostrar el siguiente resultado.
Sea un anillo y sea
un contenido sobre dicho anillo. Son equivalentes:
(a) es
-aditiva.
(b) es semicontinua por abajo.
Demostración: (a) implica (b).Sea una sucesión creciente de elementos del anillo cuyo límite
pertenece al anillo. Si para algún
es
, entonces el carácter monótono de
nos lleva a afirmar que
para todo
,
.
En consecuencia,
,
.
Es decir, .
Si suponemos que para todo
, entonces podemos considerar la sucesión
,
.
Dicha sucesión está formada por elementos del anillo y como es creciente resulta que son disjuntos dos a dos y verifican
, para todo
,
.
Sólo resta recordar la propiedad sustractiva (, para
y
) y la aditividad numerable para obtener
.
En conclusión es semicontinua por abajo.
(b) implica (a). Sean ahora , elementos de
, disjuntos dos a dos, cuya unión pertenece a dicho anillo. Definimos una nueva sucesión mediante
.
Es evidente que los elementos de pertenecen al anillo y que la sucesión es creciente. Por tanto,
.
Esto prueba que es una premedida y termina la demostración.