Lectura 5. De los contenidos a las premedidas (2)

Continuamos con las ideas esbozadas en la lectura 4. Sea $(A_n)$ una sucesión de partes de un conjunto dado $\Omega$ , decimos que es creciente si

$A_n \subset A_{n+1}$ , $n=1,2, \ldots$ .

Si verifica

$A_{n+1} \subset A_n$ , $n=1,2, \ldots$ ,

decimos que es una sucesión decreciente. Las sucesiones crecientes y decrecientes tienen límites (esto es coinciden en ellas sus límites superior e inferior) siendo

$\lim_n A_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n$

el límite de la sucesión creciente y

$\lim_n A_n = \cap_{n=1}^{\infty} A_n$

el límite de la sucesión decreciente. Sea $\mathcal{A}$ un anillo y $\mu$ un contenido en dicho anillo. Decimos que $\mu$ es

(i) semicontinua por abajo, si para toda sucesión creciente $(A_n)$ de elementos del anillo tal que $\lim_n A_n \in \mathcal{A}$ , se cumple que $\lim_n \mu(A_n) = \mu (\lim_n A_n)$ .

(ii) semicontinua por arriba, si para toda sucesión decreciente $(B_n)$ de elementos del anillo tal que para algún $p \in \mathbb{N}$ es $\mu(A_p) < \infty$ y $\lim_n B_n \in \mathcal{A}$ , se cumple que $\lim_n \mu(B_n) = \mu(\lim_n B_n)$ .

(iii) $\emptyset$ -continua, si es semicontinua por arriba para toda sucesión decreciente con límite igual al conjunto vacío.

Estamos en condiciones de demostrar el siguiente resultado.

Sea $\mathcal{R}$ un anillo y sea $\mu$ un contenido sobre dicho anillo. Son equivalentes:
(a) $\mu$ es $\sigma$ -aditiva.
(b) $\mu$ es semicontinua por abajo.
Demostración: (a) implica (b).Sea $(A_n)$ una sucesión creciente de elementos del anillo cuyo límite $\lim_n A_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n$ pertenece al anillo. Si para algún $p \in \mathbb{N}$ es $\mu(A_p) = + \infty$ , entonces el carácter monótono de $\mu$ nos lleva a afirmar que
$+\infty =\mu(A_q) \leq \mu(A_n)$ para todo $n \geq q$ ,
$+\infty =\mu(A_q) \leq \mu(\cup_{n=1}^{\infty} A_n)$ .
En consecuencia,
$+\infty = \lim_n \mu(A_n)$ ,
$+\infty = \mu(\cup_{n=1}^{\infty} A_n) = \mu (\lim_n A_n)$ .
Es decir, $\lim_n \mu(A_n) = \mu (\lim_n A_n)$ .
Si suponemos que $\mu(A_n) < + \infty$ para todo $n$ , entonces podemos considerar la sucesión
$B_1 = A_1$ , $B_n = A_n - A_{n-1}, n \geq 2$ .
Dicha sucesión está formada por elementos del anillo y como $(A_n)$ es creciente resulta que son disjuntos dos a dos y verifican
$B_n \subset A_n$ , para todo $n$ ,
$\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n$ .
Sólo resta recordar la propiedad sustractiva ( $\mu(A-B) = \mu(A)-\mu(B)$ , para $B \subset A$ y $\mu(A)<+\infty$ ) y la aditividad numerable para obtener
$\mu(\lim_n A_n) = \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n) = \mu(\biguplus_{n=1}^{+\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n) = \mu(B_1)+ \lim_n \sum_{k=2}^{n} \mu(B_n)= \mu(A_1)+ \lim_n \sum_{k=2}^{n} \mu (A_n - A_{n-1}) = \mu(A_1) + \lim_n \sum_{k=2}^{n} \mu(A_n)-\mu(A_{n-1}) =\mu(A_1)-\mu(A_1)+ \lim_n \mu(A_n) = \lim_n \mu(A_n)$ .
En conclusión $\mu$ es semicontinua por abajo.
(b) implica (a). Sean ahora $B_1, B_2, \ldots$ , elementos de $\mathcal{R}$ , disjuntos dos a dos, cuya unión pertenece a dicho anillo. Definimos una nueva sucesión mediante
$A_n = \biguplus_{k=1}^{n} B_k$ .
Es evidente que los elementos de $(A_n)$ pertenecen al anillo y que la sucesión es creciente. Por tanto,
$\mu(\lim_n A_n) = \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n) = \mu(\biguplus_{n=1}^{\infty}B_n) = \lim_n \mu(A_n) = \lim_n \mu(\biguplus_{k=1}^{n} B_k) = \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n)$ .
Esto prueba que $\mu$ es una premedida y termina la demostración.

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Lectura 4. De los contenidos a las premedidas (1)

Consideremos un semianillo $\mathcal{A}$ y sea $\mu$ una premedida sobre el anillo. Veremos que se trata de un contenido. En efecto, recordemos que todo semianillo contiene al conjunto vacío por lo que si $A,B$ son elementos de $\mathcal{A}$ , disjuntos y con $A \cup B \in \mathcal{A}$ , entonces podemos formar una sucesión $B_n$ de elementos del semianillo mediante:

$B_1 = A, B_2=B, B_n = \emptyset, n \geq 3$ .

Obviamente esta sucesión está formada por conjuntos disjuntos y es

$\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = A \cup B$ .

Aplicando la aditividad numerable resulta

$\mu(A \cup B) =\mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n) = \lim_{n} \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) = \mu(A)+\mu(B)$ .

Por tanto, toda premedida en un anillo es un contenido y por ello será monótona y finitamente subaditiva. Sin embargo, no todo contenido es una premedida y en la lectura anterior vimos una condición suficiente para que esto ocurra. Ahora trataremos de dar condiciones más fuertes y para ello nuestra estructura de soporte serán los anillos.

Sea $\mathcal{R}$ un anillo y sea $\mu$ un contenido (medida finita) sobre dicho anillo. Entonces son equivalentes

(a) $\mu$ es $\sigma$ -aditiva.

(b) $\mu$ es numerablemente subaditiva.

Demostración: (a) implica (b). Supongamos que $\mu$ es $\sigma$ -aditiva y sea $(A_n)$ una sucesión de elementos del anillo $\mathcal{R}$ , definimos una nueva sucesión mediante

$B_1 = A_1, B_n = A_n - \cup_{h=1}^{n-1} A_k, n \geq 2$ .

Como $\mathcal{R}$ es un anillo, la sucesión $(B_n)$ está formada por elementos de dicho anillo que por su construcción son disjuntos dos a dos y verifican

$B_n \subset A_n,$ , $n=1,2, \ldots$ ,

$\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n$ .

Por tanto, aplicando la monotonía de toda premedida es

$\mu (\cup_{n=1}^{\infty} A_n) = \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu (B_n) = \lim_{n} \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) \leq \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu(A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n)$ .

Esto prueba que toda premedida es numerablemente subaditiva.

(b) implica (a). Sabemos que todo contenido sobre un anillo verifica

$\mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n) \geq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n)$ .

Si el contenido fuera numerablemente subaditivo entonces se daría la desigualdad recíproca y concluiríamos la igualdad. Esto termina la demostración.

Los resultados más interesantes precisan de las nociones de sucesión de conjuntos y de límites de dichas sucesiones. Veremos estos detalles en la siguiente lectura.

Lectura 3. Más propiedades

Hemos visto en la lectura anterior que todo contenido sobre al menos un semianillo es monótono y finitamente subaditivo. También hemos visto que si los contenidos se establecen sobre los anillos las demostraciones son más simples y aparecen algunas propiedades más. En muchos textos se parte de esta idea. Por ejemplo, si $\mathcal{R}$ es un anillo, se dice que una función $\mu: \mathcal{R} \rightarrow [0,+ \infty]$ es una medida finita si:

(i) $\mu (\emptyset) = 0$ .

(ii) Para todos $A,B$ de $\mathcal{R}$ , disjuntos, es $\mu(A \cup B) = \mu(A)+ \mu(B)$ .

Es fácil probar que en este caso medida finita y contenido son equivalentes. En efecto, si $A_1, A_2, \ldots, A_n$ son elementos de $\mathcal{R}$ , disjuntos dos a dos, entonces si suponemos que para $n-1$ con $n-1 \geq 1$ es

$\mu (\biguplus_{i=1}^{n-1} A_i) = \sum_{i=1}^{n-1} \mu (A_i)$ ,

resultará

$\mu (\biguplus_{i=1}^{n} A_i) = \mu ((\biguplus_{i=1}^{n-1} A_i )\biguplus A_n) = \mu (\biguplus_{i=1}^{n-1} A_i) + \mu (A_n) = \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i) + \mu (A_n) = \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i)$ .

Así por inducción concluimos la aditividad finita. Obsérvese que todos los elementos considerados y sus uniones pertenecen al anillo $\mathcal{R}$ . Esto también es esencial en la demostración de la siguiente propiedad.

Sea $\mathcal {R}$ un anillo y sea $\mu$ una medida finita sobre dicho anillo. Para cualquier sucesión $(A_n)_{n=1}^{\infty}$ de disjuntos dos a dos tales que $\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{R}$ tenemos que

$\sum_{n=1}^{\infty} \mu (A_n) \leq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n)$ .

Demostración. Sabemos que toda medida aditiva (contenido en este caso) es finitamente aditiva y monótona por lo que de

$\biguplus_{k=1}^{m} A_k \subset \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n, m=1,2, \ldots$

se sigue que

$\sum_{k=1}^{m} \mu (A_k) \leq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n), m=1,2, \ldots$ .

Llevando al límite la desigualdad concluimos que

$\sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) \leq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n)$ .

Esto termina la demostración.

Esto permite afirmar que un contenido $\mu$ sobre un anillo $\mathcal{R}$ es una premedida si para cualquier sucesión $(A_n)_{n=1}^{\infty}$ de elementos del anillo, disjuntos dos a dos, con $\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{R}$ , se tiene que

$\sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) \geq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n)$ .

Lectura 2. Primeras propiedades

Sea $\mathcal{A}$ un semianillo y sea $\mu: \mathcal{A} \rightarrow [0, + \infty]$ un contenido. Podemos afirmar entonces que dicho contenido es monótono y además finitamente subaditivo. Para probar esta afirmación precisaremos de algunas de las propiedades más características de los semianillos.

(a) Todo contenido es monótono. En efecto, sean $A,B$ elementos del semianillo $\mathcal{A}$ tales que $A \subset B$ . Podemos escribir

$B = A \biguplus (B-A)$ .

Ahora bien, la diferencia $B-A$ no pertenece necesariamente al semianillo $\mathcal{A}$ pero podemos encontrar $C_1, C_2, \ldots, C_n$ , elementos de $\mathcal{A}$ , disjuntos dos a dos, y tales que $B-A = \biguplus_{j=1}^{n} C_j$ . Por tanto,

$B = A \biguplus (\biguplus_{j=1}^{n} C_j)$ ,

por lo que aplicando la aditividad finita del contenido y su carácter no negativo, tenemos

$\mu(B) = \mu(A) + \sum_{j=1}^{n} \mu (C_j) \geq \mu(A)$ .

Esto termina la demostración.

En el caso de que $\mathcal{A}$ sea un anillo, si $A,B \in \mathcal{A}$ , entonces $B-A$ pertenece al anillo $\mathcal{A}$ . Por ello, si $A \subset B$ , entonces la igualdad ya vista

$B = A \biguplus (B-A)$ ,

permite escribir $\mu(B) = \mu(A)+ \mu(B-A)$ y la no negatividad del contenido nos lleva directamente a la monotonía. Además si añadimos la condición $\mu(A) < + \infty$ , concluimos que

$\mu(B)- \mu(A) = \mu(B-A)$ ,

pues restando $\mu(A)$ a ambos miembros de la última igualdad no tendríamos ninguna indeterminación (recordemos que estamos trabajando en $\mathbb{R}$ ampliado).

Veamos ahora la subaditividad. Su prueba es un poco más complicada.

(b) Todo contenido es finitamente subaditivo.

Consideremos $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$ , elementos del semianillo $\mathcal{A}$ y sea $A = \cup_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A}$ . Definimos los conjuntos

$B_1 = A_1$

$B_k = A_k - \cup_{j=1}^{k-1} A_j, k=2, \ldots, n$ .

Los elementos $B_1, B_2, \ldots, B_n$ no pertenecen necesariamente al semianillo pero por su construcción son disjuntos dos a dos y verifican $B_i \subset A_i$ , $i=1,2, \ldots, n$ , $\biguplus_{i=1}^{n} B_i = \cup_{i=1}^{n} A_i$ . Pero es más, la construcción de los $B_i$ permite utilizar una propiedad de los subanillos mediante la cual cada $B_i$ es unión disjunta de elementos $C_{1}^{i}, \ldots, C_{r_{i}}^{i}$ pertenecientes al semianillo $\mathcal{A}$ . Esto es,

$B_i = \biguplus_{j=1}^{r_{i}} C_{j}^{i}, i=1,2, \ldots, n$ .

Por otro lado, tenemos que de $B_i =\biguplus_{j=1}^{r_{i}} C_{j}^{i}\subset A_i$ para $i=1,2, \ldots, n$ , concluimos que existen $D_{1}^{i}, \ldots, D_{s_{i}}^{i}$ , pertenecientes a $\mathcal{A}$ y disjuntos dos a dos, tales que

$A_i = (\biguplus_{j=1}^{r_{i}} C_{j}^{i}) \biguplus (\biguplus_{j=1}^{s_{i}}D_{j}^{i})$ .

Esta igualdad es importante pues aplicando la aditividad finita vemos que

$\mu(A_i) \geq \sum_{j=1}^{r_{i}} \mu (C_{j}^{i}), i=1,2, \ldots, n$ .

En efecto, resultará

$\mu (\cup_{i=1}^{n} A_i) = \mu (\biguplus_{i=1}^{n} B_i) = \mu (\biguplus_{i=1}^{n} (\biguplus_{j=1}^{r_i} C_{j}^{i})) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{r_i} \mu (C_{j}^{i}) \leq \sum_{i=1}^{n} \mu (A_i)$ .

Esto termina la demostración.

Sii partimos de un anillo, el resultado podría haberse obtenido de una forma más sencilla pues los conjuntos $B_i$ pertenecen al anillo y bastaría aplicar la monotonía. Para acabar esta lectura vemos una última propiedad que se aplica a anillos y donde de nuevo apreciamos sus ventajas como soporte.

(c) Sea $\mathcal{R}$ un anillo y sea $\mu$ un contenido definido en dicho anillo. Para todos $A,B \in \mathcal{R}$ es $\mu (A \cup B) + \mu (A \cap B) = \mu (A) + \mu(B)$ .

Sean $A,B$ elementos del anillo $\mathcal{R}$ , podemos escribir

$A \cup B = A \biguplus (B-A)$ ,

$B = (A \cap B) \biguplus (B-A)$ ,

por tanto

$\mu (A \cup B) = \mu(A)+\mu(B-A)$ ,

$\mu(B) = \mu(A \cap B) + \mu (B-A)$ .

Si sumamos a la primera igualdad la cantidad $\mu (A \cap B)$ y recordamos el valor de la segunda, vemos que

$\mu (A \cup B) + \mu (A \cap B) = \mu(A)+ \mu (B-A) + \mu (A \cap B) = \mu (A)+ \mu (B)$ .

Esto termina la demostración.

Lectura 1. Funciones de conjunto, contenidos, premedidas y medidas

Consideremos un conjunto no vacío $\Omega$ y sea $\mathcal{A}$ una clase no vacía de partes de $\Omega$ . Toda aplicación

$f: \mathcal{A} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$

se denomina función de conjunto. Recordemos que $\overline{\mathbb{R}}$ es la recta real ampliada. En general, nos van a interesar funciones de conjunto no negativas. Esto es, funciones de conjunto cuyos valores sean mayores o iguales que cero. Sea pues,

$\mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,+\infty]$

una función de conjunto no negativa, diremos que $\mu$ es

monótona, si para todos $A,B \in \mathcal{A}$ , tales que $A \subset B$ , es $\mu(A) \leq \mu(B)$ ,
finitamente aditiva (o aditiva), si para cualquier colección $A_1, A_2, \ldots, A_n$ , de elementos de $\mathcal{A}$ , disjuntos dos a dos y tales que $\biguplus_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A}$ es $\mu (\biguplus_{i=1}^{n} A_i) = \sum_{i=1}^{n} \mu (A_i)$ ,
numerablemente aditiva ( $\sigma$ -aditiva), si para cualquier sucesión $(A_n)_{n=1}^{\infty}$ de elementos de $\mathcal{A}$ , disjuntos dos a dos y tales que $\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A}$ , se tiene que $\mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n)$ ,
finitamente subaditiva, si para cualquier colección $A_1, A_2, \ldots, A_n$ , de elementos de $\mathcal{A}$ con $\cup_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A}$ , es $\mu ( \cup_{i=1}^{n} A_i) \leq \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i)$ ,
numerablemente subaditiva, si para cualquier sucesión $(A_n)_{n=1}^{\infty}$ de elementos de $\mathcal{A}$ , tales que $\cup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A}$ es $\mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n )\leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n)$ .

Obsérvese que salvo la condición de monotonía, el resto de condiciones exige el cierre para las uniones (unas veces finitas y otras infinito numerables). Como sabemos, la estructura de anillo de conjuntos es la adecuada para garantizar al menos el cierre para la unión finita. Por ello resultaría natural exigir que la clase a la que se aplica la función de conjunto no negativa sea al menos un anillo. En muchos textos se hace así pero si queremos una mayor generalidad podemos usar la estructura de semianillo. Además, también es conveniente exigir que la función de conjunto definida sobre el semianillo verifique $\mu (\emptyset) = 0$ (recordemos que el vacío es elemento de todo semianillo). Así pues, si $\mathcal{A}$ es un semianillo sobre $\Omega$ , diremos que una función de conjunto $\mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,+\infty]$ , es

un contenido, si $\mu$ es finitamente aditiva,
una premedida, si $\mu$ es numerablemente aditiva,
una medida, si $\mu$ es una premedida y $\mathcal{A}$ es una $\sigma$ -álgebra (o un $\sigma$ -anillo),
una medida de probabilidad, si $\mu$ es una medida sobre una $\sigma$ -álgebra y $\mu(\Omega) = 1$ .