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Consulta binomio de Newton

Pregunta:  El siguiente binomio

(\frac{x^{n-7}}{y^{n+2}}+\frac{y^{2n-3}}{x^{3n-11}})^{n+10}

posee 16 términos. Hallar el termino onceavo de su desarrollo.

Respuesta: El binomio de Newton adopta la forma

(a+b)^m = \sum_{i=0}^{m} \binom{m}{i} a^{m-i} b^{i}

Veamos cómo quedaría al aplicarse a la expresión dada

(\frac{x^{n-7}}{y^{n+2}}+ \frac{y^{2n-3}}{x^{3n-11}})^{n+10}=

\sum_{i=0}^{n+10} \binom{n+10}{i} (\frac{x^{n-7}}{y^{n+2}})^{n+10-i} (\frac{y^{2n-3}}{x^{3n-11}})^{i} .

Ahora bien, suponemos que hay dieciséis términos en este desarrollo y que todos ellos son relevantes. Esto es, que no es posible simplificarlos a partir del desarrollo inicial. En ese caso, tenemos que (n+10)+1 = 16, de donde n=5  y, entonces, el término decimoprimero se obtiene haciendo i=10:

\binom{15}{10} (\frac{x^{-2}}{y^{7}})^{5} (\frac{y^{7}}{x^{4}})^{10}

Sólo restaría simplificar para obtener

\binom{15}{10} x^{-50} y^{35}.

 

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Consulta sobre geometría

Estas son algunas respuestas para Karen Álvarez.

Pregunta 1: Los puntos A =(3,-2) y B=(3,6) son dos de los vértices de un cuadrado. Halla dos pares de puntos que puedan ser los otros dos vértices.

Respuesta:  Es fácil ver que los dos vértices que conocemos se hallan en el mismo lado pues comparten una coordenada (en este caso x=3). Esto nos permite hallar la longitud L  del lado del cuadrado mediante una simple operación:

L = \sqrt{(3-3)^2 + (6-(-2))^2} = 8.

Una vez tenemos la longitud del lado, la simetría nos lleva a considerar dos pares de posibles vértices. Un par se obtiene sumando 8 a cada una de las coordenadas x de los ya conocidos y el otro se obtiene restando 8. Así pues

C=(11, -2), D=(11,6),

E=(-5,6), F=(-5,-2).

cuadradin

 

Pregunta 2: Halla el punto extremo que hace falta en cada uno de los segmentos dados.
A)  un punto extremo es (0,0) y su punto medio es (5,-3).
B) un punto extremo es (-3,2) y su punto medio es (-1,5).

Respuesta: Recordemos que el punto medio de un segmento de extremos (a,b) y (c,d) es el punto

(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2}).

Por tanto, planteamos

A) (\frac{0+c}{2}, \frac{0+d}{2}) =(5,-3),

\frac{c}{2} = 5, \frac{d}{2} =-3,

c= 10, d=-3.

B) Se hace de forma análoga.

Pregunta 3: Dos vértices de una figura geométrica son (0,0) y (6,0) resuelve:
A) si la figura es un triángulo equilátero, ¿cual son las coordenadas del tercer vértice?
B) si la figura es un cuadrado, ¿cuales son las coordenadas de los otros dos vértices?

Respuesta:

A) Encontramos el punto medio del segmento determinado por A=(0,0) y B=(6,0). Es decir,

C =(\frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3,0).

Trazamos una recta perpendicular al segmento AB y que pase por dicho punto. Al ser una recta perpendicular el eje de abscisas, su ecuación es

x =3.

Para determinar el vértice del triángulo equilátero, bastará recordar que si la longitud del lado de dicho triángulo es a, la altura mide

h =\frac{a \sqrt{3}}{2}.

Por ello, como a = \sqrt{(6-0)^2+(0-0)^2}= 6. Resulta

h =\frac{6 \sqrt{3}}{2} =3 \sqrt{3},

y esa cantidad se la sumamos en la coordenada y, al punto (3,0), quedando

D= (3, 3 \sqrt{3}).

triangulin

 

B) Es similar a la primera pregunta.

Un ejercicio más de E.V.

Captura de pantalla de 2015-11-28 10-54-26

Recordemos que si E y F son dos subespacios vectoriales de V, entonces el conjunto

E+F = \{ u+v: u \in E, v \in F \}

es un subespacio de V y además el más pequeño entre aquellos que incluyen a ambos. Es decir,
E \cup F \subset E+F \subset H,
para todo H subespacio de V que incluye a E y a F. En el caso de que E \cap F = \{0 \} y sólo en ese caso diremos que la suma E+F es directa y escribimos E \bigoplus F.  Por otro lado, la notación

L(S)

hace referencia a la envoltura lineal del conjunto S. Esto es, al subespacio vectorial formado por las combinaciones lineales de los elementos de S o lo que es lo mismo, al menor subespacio vectorial que incluye a S.

(a) Sean S_1 y S_2 dos subconjuntos finitos de vectores de V, linealmente independientes. Por ejemplo, si suponemos que V = \mathbb{R}^2, y definimos

S_1= \{(0,1)\}, S_2 = \{(0,1),(1,1) \}.

Tenemos que

L(S_1) = \{(0.x) : x \in \mathbb{R} \}, \quad L(S_2) = \mathbb{R}^2 ,

por lo que L(S_1) \cap L(S_2) = L(S_1) y la suma L(S_1)+L(S_2) no es directa.

(b) Si L(S_1) \bigoplus L(S_2), entonces L(S_1) \cap L(S_2) = \{0\} o lo que es lo mismo, cada vector de L(S_1) + L(S_2) se puede escribir de una sola forma como suma de un vector de L(S_1) y otro de L(S_2). En particular, si formamos la combinación lineal

\lambda_1 u_1 + \lambda_n u_n+ \mu_1 v_1+ \ldots + \mu_m v_m =0,

tenemos que

\lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_n v_n = -\mu_1 v_1 - \ldots - \mu_m v_m.

Es decir, tenemos un vector que pertenece a la intersección L(S_1) \cap L(S_2) por lo que será nulo. Es decir,

\lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_n v_n = 0,

-\mu_1 v_1 - \ldots - \mu_m v_m = 0.

Pero esto no garantiza que todos los escalares sean nulos. Sólo será posible si tanto S_1 como S_2 son linealmente independientes. Así que la afirmación (b) es falsa.

(c) Por nuestras explicaciones iniciales podemos afirmar que

L(S_1) \cup L(S_2) \subset L(S_1)+L(S_2).

Como S_1 \subset L(S_1) y S_2 \subset L(S_2) concluimos que

S_1 \cup S_2 \subset L(S_1) \cup L(S_2) \subset L(S_1)+L(S_2).

En consecuencia,

L(S_1 \cup S_2) \subset L(S_1)+ L(S_2).

Por otro lado, si z es un vector L(S_1)+L(S_2), hallaremos

u = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i u_i, \quad v= \sum_{j=1}^{m} \mu_{j} v_j,

tales que

z = u+v = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i u_i+\sum_{j=1}^{m} \mu_{j} v_j,

luego z \in L(S_1 \cup S_2). Esto prueba que L(S_1) + L(S_2) \subset L(S_1 \cup S_2) y la doble inclusión nos lleva a la igualdad

L(S_1 \cup S_2) =L(S_1)+ L(S_2).

Solución ejercicio espacio vectorial

Respondiendo al correo de consultas de hoy, voy a resolver el siguiente ejercicio:

Captura de pantalla de 2015-11-25 19-29-53

En primer lugar, debemos recordar que una base de Hamel (o base algebraica) de un espacio vectorial es una familia de vectores de dicho espacio que es linealmente independiente y que genera dicho espacio.  El cardinal de la familia de vectores de cualquier base es siempre el mismo y se llama dimensión del espacio vectorial. En el caso de que el cardinal sea finito diremos que el espacio vectorial es de dimensión finita y entonces podemos dar una serie de resultados más sencillos de entender y manejar:

  1. En un espacio vectorial V de dimensión n, todo sistema linealmente independiente tiene como máximo n vectores.
  2. En un espacio vectorial V de dimensión n, todo sistema linealmente independiente con n vectores es una base.

En nuestro problema vamos a utilizar el segundo resultado. En efecto, si B=(v_1, \ldots, v_n) es una base de V, entonces la dimensión de V es n y bastará probar que (u_1, u_2, \ldots, u_n) es una familia de vectores linealmente independientes para concluir que son una base de V. ¿Cómo hacemos esto? Pues planteando la combinación lineal trivial
\sum_{j=1}^{n} \lambda_i u_i =0.
En nuestro caso,
\sum_{j=1}^{n} \lambda_i (\sum_{i=1}^{j} v_i).
Esto parece muy difícil en notación de sumatorios pero en realidad es
\lambda_1 v_1 + \lambda_2 (v_1+v_2) + \ldots + \lambda_n (v_1+ \ldots v_n) =
(\lambda_1+ \ldots + \lambda_n)v_1 + \lambda_2 (v_2+ \ldots + v_n)+ \ldots + \lambda_n v_n =0.
Como v_1, v_2, \ldots, v_n son linealmente independientes (recordemos que son una base), entonces
\lambda_n =0,
\lambda_{n-1}+ \lambda_n = 0,
\ldots ,
\lambda_1 + \lambda_2 + \ldots + \lambda _n = 0.
Es decir, obtenemos un sistema homogéneo cuya única solución es
\lambda_1 = \lambda_2 = \ldots = \lambda_n =0.
Esto prueba que B' =(u_1, u_2, \ldots, u_n) es linealmente independiente y por ello, aplicando el resultado 2, es una base.

Sobre fracciones

Una de las últimas preguntas que me han hecho versaba sobre fracciones. En concreto, se trataba de averiguar, sin efectuar la división, si una fracción dada tenía una expresión decimal periódica o exacta. Esto me ha recordado un problema de Apostol (“Análisis Matemático, 2ª Edición, página 36, problema 1.8”) que dice así:

Demostrar que la expresión decimal de x terminará en ceros (o en nueves) si, y sólo si, x es un número racional cuyo denominador es de la forma 2^{n} 5^{m}, donde m,n son enteros no negativos.

En resumen, la respuesta a la pregunta que me hacen es que si una vez expresada la fracción en su forma irreducible, el denominador sólo tiene como factores potencias de dos o de cinco o de ambos, entonces la fracción da lugar a un decimal exacto. Por ejemplo, la fracción

\frac{114}{40}

se expresa como decimal exacto pues en su forma irreducible es

\frac{57}{20},

con denominador

20 = 2^2 \cdot 5.

Pero la fracción \frac{58}{36} se expresa en forma irreducible como

\frac{29}{18},

siendo el denominador 18 = 3^2 \cdot 2, por lo que su expresión decimal es periódica. En los siguientes párrafos voy a pergeñar una demostración de por qué esto es así.
Partimos de la hipótesis de que
x = \frac{k}{2^{n} 5^{m}}
donde k,n y m son enteros y m,n son positivos. En virtud del orden total presente en \mathbb{Z} será n \geq m o bien n \leq m. Para el primer caso (n \geq m) escribimos
x = \frac{k 5^{n-m}}{2^{n} 5^{m} 5^{n-m}} = \frac{k 5^{n-m}}{2^{n} 5^{n}} = \frac{k 5^{n-m}}{10^{n}}.
Esta fracción resultante termina en ceros (lo que equivale a terminar en infinitos nueves). Para el segundo caso (n \leq m), escribimos
x = \frac{k 2^{m-n}}{2^{n} 5^{m} 2^{m-n}} = \frac{k 2^{m-n}}{2^{m} 5^{m}} = \frac{k 2^{m-n}}{10^{m}} .
De nuevo esto significa que x termina en ceros o en infinitos nueves.

Recíprocamente, si x tiene un desarrollo decimal que acaba en ceros, entonces puede ponerse en forma finita:
x = a_{0}, a_{1}a_{2} \ldots a_{n},
donde a_{i} \in \{0,1, \ldots, 9 \}. Esto significa que
x = \sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{-i}.
Simplificando y agrupando obtenemos
x = \sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{-i} = \frac{1}{10^{n}} \sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i} .
El lector puede observar que en la expresión anterior el sumatorio es un número entero. En consecuencia
x = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i}}{2^{n} 5^{n}}
y se cumple la condición buscada. Veamos ahora el caso en el que x acaba en infinitos nueves:
x = a_{0}, a_{1}a_{2} \ldots a_{n} 9 9 9 9 9 9 \ldots,
donde a_{i} \in \{0,1, \ldots, 9 \}. Agrupamos esta expresión en la forma
x = \sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{-i} +9 \sum_{i=n+1}^{\infty} 10^{-i}.
El lector observa fácilmente que el primer sumando finito es equivalente al obtenido para el caso anterior. Así pues, aplicando lo ya visto y operando un poco tenemos
x = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i}}{2^{n} 5^{n}} + \frac{9}{10^{n+1}}\sum_{i=0}^{\infty} 10^{-i} .
La suma infinita es la suma de todos los valores de una progresión geométrica de primer término 1 y razón 10^{-1}, luego resulta
\sum_{i=0}^{\infty} 10^{-i} = \frac{1}{1-\frac{1}{10}} = \frac{10}{9} ,
que sustituyendo en la expresión anterior y simplificando da lugar a
x = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i}}{2^{n} 5^{n}} + \frac{9}{10^{n+1}} \frac{10}{9} = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i}}{2^{n} 5^{n}} + \frac{1}{10^{n}} = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i} +1}{2^{n} 5^{n}}.
Esto prueba que la fracción correspondiente tiene el denominador en la forma buscada.

Consultorio: Una desigualdad a demostrar (III)

Como último detalle relativo a la desigualdad que estamos tratando vamos a probar precisamente la desigualdad de las medias aritmética y geométrica (AM-GM para abreviar).

Supongamos que dados n números positivos a_1, a_2, \ldots, a_n es A_n = \frac{ \sum_{i=1}^{n} a_i}{n} su media aritmética. Hemos visto que se cumple

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n

para todo n \geq 2. Reiterando esta desigualdad

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n \geq A_{n-2}^{n-2} a_{n-1} a_n \geq \ldots \geq A_{1}^{1} a_2 \ldots a_{n-1} a_{n}.

Ahora bien, A_1 = a_1 por lo que queda

A_{n}^{n} \geq a_1 a_2 \ldots a_{n-1} a_n,

A_{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_{n-1} a_n}.

Consultorio: Una desigualdad a demostrar (II)

Vamos a demostrar la desigualdad de la entrada anterior:

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n,

utilizando la desigualdad de la media aritmética y geométrica. Esto es, utilizando el hecho de que si a_1, a_2, \ldots, a_n son n números reales positivos, entonces

\frac{ a_1+ a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{ a_1 a_2 \cdots a_n}.

Como hemos visto antes, podemos escribir

A_n =\frac{a_1+ a_2 + \ldots +a _n}{n} = \frac{ (n-1) A_{n-1} + a_n}{n}.

Por lo que si aplicamos la desigualdad de la medias aritmética y geométrica a los n términos

A_{n-1}, \ldots A_{n-1},  (n-1 veces),

a_n,

tenemos

A_n = \frac{(n-1) A_{n-1} + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{A_{n-1}^{n-1} a_n}

luego

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n.