Anillos ordenados (III)

En un anillo ordenado A se cumplen las propiedades más comunes de las desigualdades. Así tenemos que:
(a) Para todos x,y \in A tales que x \leq y y para todo z \geq 0 es xz \leq yz.
(b) Para todos x,y \in A tales que x \leq y y para todo z \leq 0 es xz \geq yz.
(c) Para todos x,y \in A, si x \leq 0 e y \leq 0, entonces xy \geq 0.
(d) Para todos x,y \in A, si x \leq 0 e y \geq 0, entonces xy \leq 0.
(e) Para todos x,y \in A, si x \geq 0 e y \leq 0, entonces xy \leq 0.
(f) Si A es totalmente ordenado, entonces x^{2} \geq 0.
(g) Si A es unitario y totalmente ordenado, entonces 1 \geq 0.
(h) Todo anillo unitario totalmente ordenado es de característica cero.

(a) Sean x,y dos elementos de A verificando x \leq y y sea z otro elemento de A tal que z \geq 0, entonces si P es el cono positivo definido por el orden tenemos que z \in P y también y-x \in P. Por tanto, (y-x)z = yz -xz pertenece a P, de donde xz \preceq yz.
(b) Del mismo modo, si z \leq 0, entonces z-z \leq 0-z y de aquí (-z) \geq 0 por lo que (-z) \in P. Por tanto, (y-x) (-z)= -yz+xz = xz-yz \in P y concluimos que yz \leq xz.

(c) Si x \leq 0 e y \leq 0, entonces (-x) \geq 0 y (-y) \geq 0 por lo que (-x) (-y) = xy \in P y de aquí xy \geq 0.

(d) (e) Se prueban de forma análoga a (c) .

(f) Esta propiedad se sigue de la ordenación total. En efecto, para todo x \in A es x \in P o -x \in P, por lo que, en todos los casos es x^{2} = x x = (-x) (-x) \in P y de aquí x^{2} \geq 0.

(g) Supongamos que en el anillo A, unitario no trivial y totalmente ordenado, es 1 \leq 0. En tal caso, (-1) \geq 0 y aplicando la propiedad (f) concluimos que (-1)(-1)= 1 \geq 0. De ambas desigualdades llegaríamos a la igualdad 0=1. Esto es absurdo por lo que nuestra suposición inicial es falsa y será 1 \geq 0.

(h) Como 1 \in P, tenemos que para cualquier entero positivo m, la suma
m 1 = 1+1+1+ \cdots +1 \quad (m \quad \text{veces})
pertenece a P como podemos probar fácilmente por inducción. Si para algún entero positivo n es n 1 = 0, entonces
(n-1) 1 = n 1 - 1 = -1 \in P.
Pero si (-1) \in P, entonces 1 \leq 0. Esto es absurdo. Para evitar esta contradicción nuestra suposición inicial es falsa y el anillo unitario y conmutativo totalmente ordenado es de característica cero.

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Anillos ordenados (I)

Recordemos que un anillo A es un conjunto no vacío dotado de dos operaciones, que convenimos en notar como suma y producto y que verifican

a) (A,+) es un grupo abeliano.

b) (A, \cdot) es un semigrupo

c) Para todos x,y,z \in A es x \cdot (y+z) = x \cdot y+x \cdot z y también (x+y) \cdot z = x \cdot z+ y \cdot z

El neutro del grupo (A,+) se nota por 0. Si el semigrupo (A, \cdot) es conmutativo decimos que el anillo es conmutativo y si (A, \cdot) tiene neutro decimos que el anillo es unitario y dicho neutro se nota por 1. Generalmente, prescindimos del símbolo “\cdot” para el producto y usamos la yuxtaposición. Esto es, escribimos xy en lugar de x \cdot y.

Si existe una relación \leq de orden (parcial o total) en un anillo conmutativo A, decimos que dicha relación es compatible con las operaciones del anillo si y sólo si

i) (A,+) es un grupo ordenado.

ii) Para todos x,y \in A, tales que x \geq 0, y \geq 0, es xy \geq 0.

En lugar de hablar de órden compatible con la estructura de anillo decimos simplemente que el anillo es ordenado. Si A es un anillo ordenado podemos definir el cono positivo de la misma forma que hacíamos para los grupos ordenados:

P = \{ x \in A : x \geq 0 \}.

Es fácil probar que en un anillo ordenado, el cono positivo P así definido, verifica:

a) 0 \in P.

b)P+P \subset P.

c) P \cap (-P) = \{0 \}.

d) P P \subset P.

Las propiedades a,b y c ya se demostraron en una entrada anterior y la propiedad d se deduce de la definición de anillo ordenado. En efecto, si x,y son elementos de P, entonces x \geq 0 e y \geq 0. Por tanto, aplicando ii) es xy \geq 0 y esto significa que xy \in P, luego P P \subset P.

Se puede probar que el cono positivo es unívoco para cada orden. Esto es, que podemos caracterizar a los anillos ordenados mediante dichos subconjuntos. En particular,

Teorema: Si A es un anillo conmutativo, son equivalentes:

1. El anillo A está totalmente ordenado.

2. Existe un subconjunto P de A, que verifica: 0 \in P, P+P \subset P, P \cap (-P) = \{0 \}, P P \subset P y P \cup (-P) = A.

Probaremos este y otros interesantes resultados en una entrada posterior.

Referencias: Wikipedia 1, Wikipedia 2