Archivo de la categoría: Apuntes

Notas sobre funciones monótonas

Aquí os dejo un pequeño trabajo sobre funciones monótonas. Es parte de un trabajo mayor pero puede leerse independientemente.

Notas

 

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Nueva página de Apuntes en Internet

Retomando la búsqueda de material por Internet que sea de utilidad para estudiantes de matemáticas he decidido añadir una página más al menú principal. En ella iré poniendo poco a poco los materiales que vaya encontrando. Así que será siempre un lugar ” en construcción”. La podéis encontrar desde ya mismo en dicho menú con el nombre “Apuntes en Internet”.

El teorema de la altura y su aplicación para dibujar algunos segmentos de longitud irracional

Sabemos que existen números reales que no son racionales. Es decir, números reales que no son expresables en la forma \frac{a}{b} con  a,b \in \mathbb{Z} y b \neq 0. En terminología clásica esto viene a decir que existen segmentos inconmensurables respecto a una unidad dada. Para denotar el conjunto de los números irracionales suele escribirse

\mathbb{R}- \mathbb{Q}

pues la notación \mathbb{I} no es conveniente al no tener el conjunto de tales racionales una estructura algebraica.

Una operación que da lugar “frecuentemente” a números irracionales es la radicación. En particular, sabemos que

Teorema 1: Si n  es un entero positivo que no es un cuadrado perfecto, entonces n^{1/2} es un número irracional.

La demostración de este teorema no es difícil pero exige el conocimiento del teorema fundamental de la aritmética y ciertas propiedades de las ecuaciones. No lo haremos aquí pues no es nuestro objetivo pero prometo hacerlo en otra entrada. Así pues, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, \sqrt{10}, \ldots son números irracionales y como son números reales pueden asignarse a puntos de una recta con origen y unidad dados. Ahora bien, ¿cómo podemos representar tales puntos con regla y compás? Pues existen varias técnicas que usan las propiedades de los triángulos rectángulos. Nosotros vamos a utilizar la propiedad llamada teorema de la altura.

Teorema 2: En todo triángulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional de los catetos.

Vamos a demostrar esta afirmación y para ello utilizaremos las nociones de semejanza y un pequeño dibujo.

teoremaaltura

El triángulo ABC es rectángulo. La altura que se traza sobre la hipotenusa BD tiene longitud h y las proyecciones de los catetos son los segmentos AD y DC de longitudes m y n, respectivamente. Primero probaremos que los triángulos ABD y CBD son rectángulos y semejantes. En efecto, comparten un lado (BD) y tienen los mismos ángulos. Para demostrar esta afirmación, tomamos el triángulo ABC y observamos que el ángulo A es igual a 90-C (pues B es recto y A+B+C = 180). Es decir, en el triángulo ABD el ángulo A es 90-C. Mientras que en el triángulo CBD el ángulo \beta también ha de ser igual a 90-C. Esto prueba que los ángulos correspondientes son iguales. Utilizando la semejanza tenemos que

\frac{h}{m} = \frac{n}{h}.

Esto es, la altura es media proporcional de las proyecciones m y n. Simplificando

h^2 = mn.

Esta última expresión es la que nos va a servir para la representación de números irracionales del tipo expuesto anteriormente. Así, podemos representar con facilidad \sqrt{6} pues podemos escribir

h^2=6=2 \cdot 3,

h = \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 3}.

Lo que nos permite dibujar una circunferencia de diámetro 5=2+3 y obtener la altura \sqrt{6} como muestra el dibujo siguiente:

teoremaaltura2

Curso EVT. Lectura 2. Primeras propiedades de un espacio vectorial

Una vez establecida la estructura de espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo vamos a dar una serie de propiedades que se deducen directamente de la definición.
Teorema 1. Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K, entonces
a) Para todo x \in E, es 0 x = 0.
b) Para todo \lambda \in K es \lambda 0 = 0.
c) Dados \lambda \in K y x \in E, si \lambda x = 0, entonces \lambda = 0 o x = 0, o ambos son nulos.
d) Para todo \lambda \in K y x \in E, se cumple que (-\lambda) x = \lambda (-x) = - \lambda x.
e) Para todo \lambda \in K y x \in E, es (-\lambda)(-x) = \lambda x.

Obsérvese que en el símbolo cero se emplea indistintamente para el cero del grupo E y para el cero del cuerpo K.

Es importante señalar que en el caso de los módulos, la propiedad c no se cumple.

Ejercicios propuestos.

Soluciones ejercicios: ejercicio 1, ejercicio 2.

Algunos de mis apuntes

He localizado algunos de mis apuntes como bibliografía usada en el Laboratorío de Dinámica No Lineal de la UNAM. En concreto, unos apuntes de Cálculo de Probabilidades II y unas notas sobre Interpolación. No son gran cosa pero al menos alguien los considera dignos de ser leídos.

Enlace:

http://www.dynamics.unam.edu/DinamicaNoLineal/BibliografiaUsada.html