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Ejercicios Ecuaciones Rectas (II)

Nuevo video con más ejercicios sobre rectas.

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Ejercicio resuelto Espacios vectoriales

Captura de pantalla de 2015-12-04 10-06-31.png

(a) Obviamente W_1 \subset C([0,1]) pues los elementos W_1 son funciones continuas en el intervalo [0,1]. Sean f,g dos elementos del conjunto W_1. Existen pues, a_1,b_1, a_2, b_2, números reales, tales que

f=a_1 x+ b_1 x^3,

g=a_2 x + b_2 x^3.

Sean \lambda, \mu dos números reales.  Entonces

\lambda f + \mu g = \lambda (a_1 x+ b_1 x^3)+ \mu (a_2 x + b_2 x^3) = (\lambda a_1+ \mu a_2) x+ (\lambda b_1 + \mu b_2 ) x^3.

Esto prueba que \lambda f + \mu g pertenece a W_1 y dicho conjunto es un subespacio vectorial de C([0,1]). Usando el  mismo razonamiento podemos ver que W_2 es un subespacio vectorial.

(b) La suma W_1+W_2  es el subespacio vectorial cuyos elementos son de la forma

f+g, con f \in W_1 y g \in W_2.

Pero esto supone que

f+g =ax+bx^3+a' +b'x+c' x^2 = a' + (a+b')x+c'x^2 + bx^3.

Lo que significa que W_1 + W_2 = \{ a+bx+cx^2+dx^3: a,b,c,d \in \mathbb{R} \}. Obviamente la suma no es directa pues

W_1 \cap W_2 = \{ ax : a \in \mathbb{R} \} \neq \{0\}.

Finalmente, es fácil ver que

dim W_1 = 2, dim W_2 = 3.

 

Solución ejercicio espacio vectorial

Respondiendo al correo de consultas de hoy, voy a resolver el siguiente ejercicio:

Captura de pantalla de 2015-11-25 19-29-53

En primer lugar, debemos recordar que una base de Hamel (o base algebraica) de un espacio vectorial es una familia de vectores de dicho espacio que es linealmente independiente y que genera dicho espacio.  El cardinal de la familia de vectores de cualquier base es siempre el mismo y se llama dimensión del espacio vectorial. En el caso de que el cardinal sea finito diremos que el espacio vectorial es de dimensión finita y entonces podemos dar una serie de resultados más sencillos de entender y manejar:

  1. En un espacio vectorial V de dimensión n, todo sistema linealmente independiente tiene como máximo n vectores.
  2. En un espacio vectorial V de dimensión n, todo sistema linealmente independiente con n vectores es una base.

En nuestro problema vamos a utilizar el segundo resultado. En efecto, si B=(v_1, \ldots, v_n) es una base de V, entonces la dimensión de V es n y bastará probar que (u_1, u_2, \ldots, u_n) es una familia de vectores linealmente independientes para concluir que son una base de V. ¿Cómo hacemos esto? Pues planteando la combinación lineal trivial
\sum_{j=1}^{n} \lambda_i u_i =0.
En nuestro caso,
\sum_{j=1}^{n} \lambda_i (\sum_{i=1}^{j} v_i).
Esto parece muy difícil en notación de sumatorios pero en realidad es
\lambda_1 v_1 + \lambda_2 (v_1+v_2) + \ldots + \lambda_n (v_1+ \ldots v_n) =
(\lambda_1+ \ldots + \lambda_n)v_1 + \lambda_2 (v_2+ \ldots + v_n)+ \ldots + \lambda_n v_n =0.
Como v_1, v_2, \ldots, v_n son linealmente independientes (recordemos que son una base), entonces
\lambda_n =0,
\lambda_{n-1}+ \lambda_n = 0,
\ldots ,
\lambda_1 + \lambda_2 + \ldots + \lambda _n = 0.
Es decir, obtenemos un sistema homogéneo cuya única solución es
\lambda_1 = \lambda_2 = \ldots = \lambda_n =0.
Esto prueba que B' =(u_1, u_2, \ldots, u_n) es linealmente independiente y por ello, aplicando el resultado 2, es una base.

Demostrando desigualdades con geometría simple

Captura1

La anterior figura se ha tomado del texto “When Less is More. Visualizing Basic Inequalities” de Claudi Alsina y Roger B. Nelsen y ejemplifica de manera extraordinaria cómo se relacionan la geometría y el cálculo. Justamente dicho texto nos da algunas interesantes demostraciones de desigualdades clásicas utilizando la representación de números reales mediante segmentos de una línea y los siguientes principios:

  1. El principio de inclusión. Cuando un segmento es subconjunto de otro entonces éste es mayor.
  2. El principio geodésico. En el plano euclídeo el camino de menor longitud que une dos puntos es el segmento de recta que tiene a uno como principio y al otro como extremo.
  3. La comparación Pitagórica. En cualquier triángulo el lado opuesto al mayor ángulo es el mayor lado.
  4. La desigualdad del triángulo. En cualquier triángulo la suma de dos de sus lados es mayor que el lado restante.
  5. Comparación de gráficos de funciones. Si el gráfico de y=f(x) yace por encima del gráfico de y=g(x) en un intervalo I, entonces para cada x de dicho intervalo, el segmento que uno (x,f(x)) y (x,g(x)) es positivo, lo que establece que f(x) \geq g(x).

Vamos a utilizar estos principios para demostrar una curiosa desigualdad (el lector interesado puede encontrar el desarrollo más conciso en el texto mencionado). Probaremos que si a,b son números positivos, entonces
\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq \frac{a+b}{\sqrt{2}}.
Vamos a usar la siguiente figura:

grafico1

La longitud del segmento AB es \sqrt{a^2+b^2}, la longitud del segmento BC es también \sqrt{a^2+b^2} mientras que la longitud del segmento AC es \sqrt{ (a+b)^2 + (a+b)^2}. Como vemos en la figura, la longitud del segmento AC es menor que la de la suma de los segmentos AB y BC (principio geodésico), luego

\sqrt{2} (a+b) \leq 2 \sqrt{a^2+b^2}.

Por otro lado, usando el principio 4 (desigualdad del triángulo), es (a+b)+(a+b) \geq 2 \sqrt{a^2+b^2}, quedando

\sqrt{2} (a+b) \leq 2 \sqrt{a^2 + b^2} \leq 2(a+b).

Si multiplicamos todos los miembros de la desigualdad por \frac{1}{2 \sqrt{2}}, obtenemos

\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq \frac{a+b}{\sqrt{2}}.