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Demostrando desigualdades con geometría simple

Captura1

La anterior figura se ha tomado del texto “When Less is More. Visualizing Basic Inequalities” de Claudi Alsina y Roger B. Nelsen y ejemplifica de manera extraordinaria cómo se relacionan la geometría y el cálculo. Justamente dicho texto nos da algunas interesantes demostraciones de desigualdades clásicas utilizando la representación de números reales mediante segmentos de una línea y los siguientes principios:

  1. El principio de inclusión. Cuando un segmento es subconjunto de otro entonces éste es mayor.
  2. El principio geodésico. En el plano euclídeo el camino de menor longitud que une dos puntos es el segmento de recta que tiene a uno como principio y al otro como extremo.
  3. La comparación Pitagórica. En cualquier triángulo el lado opuesto al mayor ángulo es el mayor lado.
  4. La desigualdad del triángulo. En cualquier triángulo la suma de dos de sus lados es mayor que el lado restante.
  5. Comparación de gráficos de funciones. Si el gráfico de y=f(x) yace por encima del gráfico de y=g(x) en un intervalo I, entonces para cada x de dicho intervalo, el segmento que uno (x,f(x)) y (x,g(x)) es positivo, lo que establece que f(x) \geq g(x).

Vamos a utilizar estos principios para demostrar una curiosa desigualdad (el lector interesado puede encontrar el desarrollo más conciso en el texto mencionado). Probaremos que si a,b son números positivos, entonces
\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq \frac{a+b}{\sqrt{2}}.
Vamos a usar la siguiente figura:

grafico1

La longitud del segmento AB es \sqrt{a^2+b^2}, la longitud del segmento BC es también \sqrt{a^2+b^2} mientras que la longitud del segmento AC es \sqrt{ (a+b)^2 + (a+b)^2}. Como vemos en la figura, la longitud del segmento AC es menor que la de la suma de los segmentos AB y BC (principio geodésico), luego

\sqrt{2} (a+b) \leq 2 \sqrt{a^2+b^2}.

Por otro lado, usando el principio 4 (desigualdad del triángulo), es (a+b)+(a+b) \geq 2 \sqrt{a^2+b^2}, quedando

\sqrt{2} (a+b) \leq 2 \sqrt{a^2 + b^2} \leq 2(a+b).

Si multiplicamos todos los miembros de la desigualdad por \frac{1}{2 \sqrt{2}}, obtenemos

\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq \frac{a+b}{\sqrt{2}}.

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Consultorio: Una desigualdad a demostrar (III)

Como último detalle relativo a la desigualdad que estamos tratando vamos a probar precisamente la desigualdad de las medias aritmética y geométrica (AM-GM para abreviar).

Supongamos que dados n números positivos a_1, a_2, \ldots, a_n es A_n = \frac{ \sum_{i=1}^{n} a_i}{n} su media aritmética. Hemos visto que se cumple

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n

para todo n \geq 2. Reiterando esta desigualdad

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n \geq A_{n-2}^{n-2} a_{n-1} a_n \geq \ldots \geq A_{1}^{1} a_2 \ldots a_{n-1} a_{n}.

Ahora bien, A_1 = a_1 por lo que queda

A_{n}^{n} \geq a_1 a_2 \ldots a_{n-1} a_n,

A_{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_{n-1} a_n}.

Consultorio: Una desigualdad a demostrar (II)

Vamos a demostrar la desigualdad de la entrada anterior:

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n,

utilizando la desigualdad de la media aritmética y geométrica. Esto es, utilizando el hecho de que si a_1, a_2, \ldots, a_n son n números reales positivos, entonces

\frac{ a_1+ a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{ a_1 a_2 \cdots a_n}.

Como hemos visto antes, podemos escribir

A_n =\frac{a_1+ a_2 + \ldots +a _n}{n} = \frac{ (n-1) A_{n-1} + a_n}{n}.

Por lo que si aplicamos la desigualdad de la medias aritmética y geométrica a los n términos

A_{n-1}, \ldots A_{n-1},  (n-1 veces),

a_n,

tenemos

A_n = \frac{(n-1) A_{n-1} + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{A_{n-1}^{n-1} a_n}

luego

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n.