Archivos Mensuales: diciembre 2013

Ejercicio de trigonometría

Si x e y varían de forma que su suma x+y se conserva constante (igual a \alpha), hállese:

1. Entre qué límites varía \sin x+ \sin y.

2. Entre qué límites varía \sin x  \sin y

Solución

1. Recordemos que \sin x+ \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}. Por tanto, aplicamos que x+y = \alpha y obtenemos

\sin x+ \sin y = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{x-y}{2}

Pero, ¿vale la pena buscar alguna relación para obtener x-y en función de \alpha?. La verdad es que no pues sólo nos piden su variación. Por tanto, recordando que |cos u | \leq 1, tenemos

| \sin x+ \sin y| = 2| \sin \frac{\alpha}{2}| |\cos \frac{x-y}{2}| \leq 2| \sin \frac{\alpha}{2}|

Es decir, que \sin x+ \sin y varía entre -2\sin \frac{\alpha}{2} y 2 \sin \frac{\alpha}{2}.

2. En este caso utilizamos la relación

\cos(x+y) - \cos (x-y) = -2 \sin x \sin y

Es decir, \frac{1}{2}(\cos (x-y)-\cos \alpha) = \sin x \sin y. Por tanto, podemos afirmar que

\frac{1}{2} (-1-\cos \alpha) \leq \sin x \sin y \leq \frac{1}{2} (1-\cos \alpha).
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Curso EVT. Lectura 25. Cardinales (8)

No definiremos de manera precisa lo que entendemos por cardinal pues ello precisaría de la teoría de los ordinales. Consideraremos pues un cardinal como una “clase de equivalencia” formada por conjuntos equinumerosos. La definición de las operaciones entre cardinales las haremos utilizando representantes. De esta manera si \alpha es un cardinal, escribiremos |A| =  \alpha para indicar que A pertenece al cardinal \alpha. Tampoco daremos las demostraciones de todos los teoremas.

Definición 1. Sean \alpha y \beta dos cardinales y sean A y B conjuntos disjuntos tales que |A|= \alpha y |B|= \beta. Se define la suma \alpha + \beta como el cardinal del conjunto A \cup B

Esta definición es consistente pues se prueba con facilidad que es independiente de los representantes elegidos. Podemos extender esta definición para la suma de un número arbitrario de cardinales.

Definición 2. Sea ( \alpha_{i})_{i \in I} una familia de cardinales y sea (A_{i})_{i \in I} una familia de conjuntos tales que |A_{i}| = \alpha_{i} para cada i \in I. Se define su suma \sum_{i} \alpha_{i} como el cardinal del conjunto \bigcup_{i \in I} (A_{i} \times \{ i \}).

De nuevo resulta una definición consistente pues no depende de los representantes que se elijan, además para cada i de I es cierta la igualdad |A_{i} \times \{ i \}| = |A_{i}|, siendo los conjuntos de la familia (A_{i} \times \{i \})_{i \in I} disjuntos dos a dos.

Teorema 1. Sean \alpha, \beta y \gamma tres cardinales cualesquiera. Se cumplen:
a) \alpha + \beta = \beta + \alpha.
b) Si | \emptyset | = 0, entonces \alpha+0 = 0 + \alpha = \alpha.
c) \alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta)+ \gamma.
Definición 3. Sean \alpha y \beta dos cardinales y sean A y B conjuntos tales que |A|= \alpha y |B|= \beta. Se define el producto \alpha  \beta como el cardinal del conjunto A \times B.

Como vemos no se exige que los conjuntos sean disjuntos. Ahora bien, si uno de ellos es vacío, el producto cartesiano será vacío.

Definición4. Sea ( \alpha_{i})_{i \in I} una familia de cardinales y sea (A_{i})_{i \in I} una familia de conjuntos tales que |A_{i}| = \alpha_{i}. Se define el producto \prod_{i \in I} \alpha_{i} como el cardinal del producto cartesiano \prod_{i \in I} A_{i}.

Si ninguno de los cardinales es cero entonces ninguno de los conjuntos de la familia será vacío y el producto cartesiano no será vacío en virtud del axioma de elección.

Teorema 2. Sean \alpha, \beta y \gamma cardinales cualesquiera. Entonces
a) (\alpha  \beta) \gamma = \alpha  (\beta \gamma).
b) \alpha \beta = \beta \alpha.
c) \alpha 1 = \alpha, donde 1 es el cardinal del natural \{ 0 \}.
d) \alpha (\beta+ \gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma.
e) \alpha 0 = 0.
f) \sum_{i \in I} \alpha = |I| \alpha.

Señalemos en especial la propiedad (f) pues la hemos usado en la demostración de la equicardinalidad de las bases de un mismo espacio vectorial.

Definición 5. Se dice que un cardinal \alpha es menor o igual que otro cardinal \beta si podemos hallar conjuntos A y B para los que |A|= \alpha, |B| = \beta y existe una función f:A \rightarrow B inyectiva. En tal caso, escribimos \alpha \leq \beta.
Teorema 3. Si (\alpha_{i})_{i \in I} es una familia de cardinales y (A_{i})_{i \in I} es una familia de conjuntos con |A_{i}| = \alpha_{i} para cada i \in I, entonces |\bigcup_{i \in I} A_{i} | \leq \sum_{i \in I} \alpha_{i}.
Teorema 4. Sean ( \alpha_{i})_{i \in I} y ( \beta_{i})_{i \in I} dos familias de números cardinales tales que \alpha_{i} \leq \beta_{i}, para todo i \in I, entonces:

a) \sum_{i \in I} \alpha_{i} \leq \sum_{i \in I} \beta_{i}.
b) \prod_{i \in I} \alpha_{i} \leq \prod_{i \in I} \beta_{i}.

Es importante señalar que estas propiedades no se cumplen siempre si la desigualdad entre los cardinales es estricta.

Teorema 5. Sea \alpha un cardinal infinito y sea \omega el cardinal de los naturales. Entonces si \beta es un cardinal que cumple \beta \leq \omega, concluimos que \alpha + \beta = \alpha.

Prueba. Consideremos A y B tales que A \cap B = \emptyset y |A| = \alpha y |B| = \beta. Sabemos que todo conjunto infinito contiene un subconjunto numerable. Por tanto, existe C \subset A tal que |C| = \omega. Escribimos C = \{c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}, \ldots \} y definimos la función f: \mathbb{N} \cup A \rightarrow A, mediante

c_{2n} si x  \in \mathbb{N}.
c_{2n-1} si x \in C.
x si x \in A-C.

Esta función es biyectiva y esto prueba que |\mathbb{N} \cup A| = |A|. Es decir, \omega+ \alpha = \alpha. Aplicando (a) del teorema 4 concluimos de la desigualdad \beta \leq \omega que \alpha+\beta \leq \alpha+\omega = \alpha \leq \alpha + \beta y en virtud del teorema de Schröder-Bernstein es \alpha+\beta = \alpha.

Podemos obtener un conocido resultado a partir de esta demostración.

Corolario 1. Si \omega es el cardinal de los naturales, entonces \omega+ \omega = \omega.

Prueba. Bastará tomar \alpha = \omega y \beta = \omega en el teorema anterior.

Teorema 6. Si \alpha es un cardinal infinito, entonces \alpha+\alpha = \alpha y \alpha \alpha = \alpha.
Teorema 7. Si \alpha y \beta son cardinales mayores que cero y alguno de ellos es infinito, entonces \alpha+\beta =  \alpha \beta = \max \{\alpha, \beta \}.
Teorema 8. Si (A_{i})_{i \in I} es una familia de conjuntos y |A_{i}|= \alpha_{i} para i \in I, entonces |\bigcup_{i \in I} A_{i} | \leq  |I | \bigcup_{i \in I} | A_{i} | \leq |I | \sum_{i \in I} \alpha_{i}.
Definición 6. Sean \alpha y \beta dos cardinales y sean A y B dos conjuntos tales que |A| =  \alpha y |B| = \beta. Definimos \alpha^{\beta} como el cardinal del conjunto A^{B} formado por todas las aplicaciones f:B \rightarrow A.
Teorema 9. Para cualesquiera cardinales \alpha, \beta, \gamma, \delta, se cumplen:
a) Si \alpha >0 y \beta \leq \gamma, entonces \alpha^{\beta} \leq \alpha^{\gamma}.
b) Si \alpha \leq \gamma, entonces \alpha^{\delta} \leq \gamma^{\delta}.

Acabamos esta colección de resultados con un teorema.

Teorema 10. Si \alpha, \beta y $\gamma$ son cardinales, entonces
a) \alpha^{\beta+\gamma} = \alpha^{\beta} \alpha^{\gamma}.
b) \alpha^{\beta \gamma} = (\alpha^{\beta})^{\gamma}.
c) (\alpha \beta)^{\gamma} = \alpha^{\gamma} \beta^{\gamma}.

Cosas de Logaritmos

En mi biblioteca permanecen algunos textos de ejercicios de Álgebra y Análisis de la Editorial Mir que me sirvieron en su momento para profundizar conceptos y sobre todo para adquirir práctica en la resolución de problemas. Entre ellos se halla el titulado “Álgebra y Análisis de Funciones Elementales”. Como consecuencia de una duda sobre logaritmos tuve ocasión de releerlo y me encontré con un ejercicio que me llamó la atención. Es el siguiente:

Hállese \displaystyle \log_{24} 72, sabiendo que \log_{6}2 =a.

Mi primer planteamiento fue utilizar la definición de logaritmo. Esto es, plantear
\displaystyle \log_{24} 72 =x \Rightarrow 24^x = 72.
Una vez descompuestos factorialmente los números que intervienen en la ecuación exponencial tendríamos
\displaystyle (2^{3} 3)^{x} = 2^{3} 3^{2} \Rightarrow 2^{3x-3} = 3^{2-x}.
Esto es innecesariamente complicado pues precisa de una resolución gráfica o analítica (el siguiente gráfico está tomado de http://www.wolframalpha.com):

logaritmos

Además no es ese el objetivo del ejercicio. En realidad todo se hace muy sencillo si utilizamos el cambio de base y las propiedades de los logarítmos. Así tenemos que

\displaystyle \log_{24} 72 = \frac{\log_{6} 72}{\log_{6} 24} =\frac{\log_{6} (3^{2} 2^{3})}{\log_{6} (2^{3} 3)}=\frac{2\log_{6} 3 +3 \log_{6} 2}{\log_{6} 3+3 \log_{6} 2}

Como sabemos que \log_{6} 2 =a, podemos sustituir para obtener

\displaystyle \log_{24} 72 = \frac{2\log_{6} 3 +3 a}{\log_{6} 3+3a}.

Ahora bien, como \displaystyle \log_{6} 3 = \log_{6} (\frac{6}{2}) = \log_{6} 6- \log_{6} 2 = 1-a, podemos terminar el ejercicio en la forma

\displaystyle \log_{24} 72 = \frac{2\log_{6} 3 +3 a}{\log_{6} 3+3a} =\frac{2(1-a) +3 a}{1-a+3a} = \frac{2+a}{1+2a}.

Curso EVT. Lectura 24. Cardinales (7)

Vamos a ver otro interesante resultado que involucra a los números reales

Teorema 1. Se cumple que |\mathcal{P}(\mathbb{N})| \leq |\mathbb{R}|

Prueba. Para llevar a cabo esta demostración vamos a utilizar el llamado conjunto de Cantor. Sea el intervalo cerrado unidad C_{1} =[0,1]. Dividimos este intervalo unidad en tres partes
\displaystyle  I_{1} =\bigg[0, \frac{1}{3}\bigg], I_{2} =\bigg]\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \bigg[, I_{3} =\bigg[\frac{2}{3}, 1 \bigg]
y tomamos las dos partes cerradas extremas para formar la unión:
\displaystyle C_{2} = \bigg[0, \frac{1}{3}\bigg] \cup \bigg[\frac{2}{3}, 1 \bigg].
Repetimos el proceso para cada una de estas nuevas partes:
\displaystyle \bigg[0, \frac{1}{9}\bigg],\bigg]\frac{1}{9}, \frac{2}{9}\bigg[,\bigg[\frac{2}{9}, \frac{3}{9}\bigg],
\displaystyle \bigg[\frac{6}{9}, \frac{7}{9}\bigg],\bigg]\frac{7}{9}, \frac{8}{9}\bigg[,\bigg[\frac{8}{9}, 1\bigg].
Construimos entonces
\displaystyle C_{3} = \bigg[0, \frac{1}{9}\bigg] \cup \bigg[\frac{2}{9}, \frac{3}{9}\bigg] \cup \bigg[\frac{6}{9}, \frac{7}{9}\bigg] \cup \bigg[\frac{8}{9}, 1\bigg]

conjuntocantor

Este proceso sigue indefinidamente y se caracteriza por las propiedades siguientes
(i)Cada C_{m+1} está incluido en C_{m}
(ii) Cada C_{m} es la unión de 2^{m-1} intervalos cerrados disjuntos.
Al conjunto intersección C = \cap_{i=1}^{\infty} C_{i} le llamamos conjunto de Cantor. Construiremos una función inyectiva de \Delta en C. Para ello, recordemos que en la construcción del conjunto de Cantor cada uno de los 2^{m-1} intervalos [a,b] de C_{m} se reemplaza por 2 intervalos
\displaystyle L[a,b] =\bigg[a, a+\frac{1}{3}(b-a) \bigg], R[a,b] = \bigg[ a+\frac{2}{3}(b-a),b \bigg].
Esto nos va a servir para asociar a cada sucesión infinita de \Delta uno de estos dos intervalos. En efecto, sea \delta(n) una sucesión infinita de ceros y unos, definimos

\displaystyle F_{1}^{\delta}= C_{1},
\displaystyle F_{n+1}^{\delta} = LF_{n}^{\delta}, si \delta(n)=0,
\displaystyle F_{n+1}^{\delta}=RF_{n}^{\delta}, si \delta(n) = 1

Evidentemente, cada F_{n}^{\delta} es subconjunto de C_{n} por lo que F_{n+1}^{\delta} \subset F_{n}^{\delta} y obtenemos una sucesión decreciente de intervalos cerrados. La completitud de la recta implica entonces que su intersección es un único punto que llamaremos f(\delta). La función inyectiva que vamos a construir será pues aquella que a cada sucesión \delta le asocia el único punto f(\delta). En efecto, está bien definida y si suponemos que dos sucesiones \delta y \epsilon de \Delta son diferentes, entonces hallaremos un valor mínimo n \in \mathbb{N} tal que \delta(i) = \epsilon(i) para i \leq n y es \delta(n) = 0 pero \epsilon(n) =1 (o al contrario sin pérdida de generalidad). Entonces f(\delta) \in F_{n+1}^{\delta}=LF_{n}^{\delta} y también f(\epsilon) \in F_{n+1}^{\epsilon}=RF_{n}^{\delta}. Los intervalos LF_{n}^{\delta} y RF_{n}^{\delta} son disjuntos por lo que las imágenes f(\delta) y f(\epsilon) son diferentes. Esto prueba que la aplicación es inyectiva. Evidentemente, la aplicación f también es inyectiva de \Delta en \mathbb{R} y esto prueba que |\Delta| \leq |\mathbb{R}|. Como sabemos que |\Delta|=|\mathcal{P}(\mathbb{N})| se sigue el enunciado del teorema y esto termina nuestra demostración.

Vamos a probar ahora la relación contraria.

Teorema 2. Se cumple que |\mathbb{R}| \leq |\mathcal{P}(\mathbb{N})| .

Prueba. Sea I=]0,1[ el intervalo abierto unidad. Consideremos cada número de dicho intervalo en base dos. Esto es, para cada x de I escribimos
\displaystyle x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{ 2^{n}},
donde a_{i} es 0 o 1. La aplicación f que a cada x le hace corresponder la sucesión (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots) es inyectiva ya que si dos sucesiones de ceros y unos son iguales entonces han de representar al mismo número real x. Por tanto, |]0,1[| \leq | \Delta |. Ahora bien, sabemos que el intervalo abierto unidad es equipotente a la recta real y de aquí que |\mathbb{R}| \leq | \Delta |= |\mathcal{P}(\mathbb{N})|

Los teoremas 1 y 2 nos muestran dos desigualdades entre cardinales de la forma a \leq b y b \leq a. Podemos preguntarnos si, como en el orden usual, estas dos desigualdades implican que a=b. La respuesta es afirmativa y viene dada por el teorema llamado de Cantor-Schröder-Bernstein. Para demostrarlo utilizaremos un lema auxiliar

Lema 1.Sean A_{1}, B y A conjuntos tales que A_{1} \subset B \subset A. Si |A_{1}| = |A|, entonces |A| = |B|

Prueba. Como A y A_{1} son equipotentes existe una biyección entre ellos f:A \rightarrow A_{1}. Construimos a partir de esta biyección un par de sucesiones de conjuntos mediante

\displaystyle A_{n} =A, si n=0,
\displaystyle A_{n} = f^{n}(A) , si n \geq 1.
\displaystyle  B_{n} = B, si n =0.
\displaystyle  B_{n} = f^{n}(B), si n \geq 1.

Obsérvese que de la inclusión A_{1} \subset B=B_{0} \subset A_{0} = A se sigue fácilmente por inducción que f^{n}(A_{1}) \subset f^{n} (B_{0}) \subset f^{n} (A_{0}). Esto es, A_{n+1} \subset B_{n} \subset A_{n} para todo n. Definimos C_{n} = A_{n}- B_{n} para cada n. Como f es inyectiva tenemos que f(C_{n}) = f(A_{n})- f(B_{n}) = A_{n+1} -B_{n+1} = C_{n+1}. Sea entonces
\displaystyle C = \bigcup_{n=0}^{\infty} C_{n},
\displaystyle D = A-C.
Esto significa que
\displaystyle f(C) = f(\cup_{n=0}^{\infty} C_{n})= \cup_{n=0}^{\infty}f(C_{n}) = \cup_{n=0}^{\infty}C_{n+1} = \cup_{n=1}^{\infty}C_{n}.
\displaystyle D = A-C = A -\bigcup_{n=0}^{\infty} C_{n} = \bigcap_{n=0}^{\infty} (A-C_{n}).
Entonces f(C) \cup D = B (unión disjunta) y definimos una aplicación g:A \rightarrow B mediante

\displaystyle g (x) =f(x), si x \in C,
\displaystyle g (x) =x, si x \in D,

Esta aplicación es una biyección entre A y B, luego |A| = |B|

Lema 2.Sean A y B dos conjuntos y sea f: A \rightarrow B una aplicación inyectiva. Si |f(A)| = |B| entonces |A| = |B|.

Prueba. Si f: A \rightarrow B es una aplicación inyectiva, entonces la aplicación f: A \rightarrow f(A) es una biyección. Si suponemos que |f(A)| = |B|, entonces existe una biyección h: f(A) \rightarrow B por lo que la composición h \circ f es una biyección entre A y B y esto termina la demostración.

Teorema 3 (Cantor-Schröder-Bernstein).Sean A y B dos conjuntos tales que |A| \leq B y |B| \leq |A|. Entonces |A| = |B|.

Prueba. Existen aplicaciones inyectivas f: A \rightarrow B y g:B \rightarrow A. Por tanto, la composición g \circ f:A \rightarrow A es una biyección (ya que el ser una inyección de un conjunto en sí mismo resulta también sobreyectiva). Claramente
\displaystyle g \circ f (A) \subset g(B) \subset A..
Obviamente |g \circ f(A)| = |A |, por lo que aplicando el lema 1 concluimos que |A | = |g(B) |. Finalmente, aplicando el lema 2 concluimos que |A|=|B|.

Estos resultados nos llevan a afirmar que |\mathcal{P}(\mathbb{N})| =|\mathbb{R}|.

Curso EVT. Lectura 23. Cardinales (6)

Vamos a ver que cualquier intervalo acotado no vacío y que no se limite a un solo punto (degenerado) es equipotente a toda la recta real.

Teorema 1. Todo intervalo I \subset \mathbb{R}, no vacío ni degenerado, es equipotente a \mathbb{R}

Prueba. Consideremos los intervalos unidad I_{1}=[0,1], I_{2}=[0,1[ e I_{3} =]0,1]. Vamos a establecer una biyección entre dichos intervalos y el intervalo ]0,1[. Comenzamos con el intervalo cerrado I_{1}. Sea A = \mathbb{Q} \cap I_{1} el conjunto de los racionales del intervalo cerrado unidad y sea B=\mathbb{Q} \cap ]0,1[ el conjunto de los racionales del intervalo abierto unidad. Como A y B son subconjuntos infinitos de un conjunto numerable serán también infinito numerables por lo que existe una biyección g_{1} entre A y B. Vamos a definir entonces la aplicación f_{1} entre [0,1] y ]0,1[ mediante

f_{1}(x) = x, si x \in [0,1]-A
f_{1}(x) = g_{1}(x), si x \in A.

Esta aplicación es una biyección entre [0,1] y ]0,1[. Para el resto de intervalos sólo hay que modificar ligeramente la argumentación para obtener las correspondientes biyecciones f_{2} y f_{3}. Sean ahora a y b dos números reales con a<b. Podemos definir cualquier intervalo no vacío, acotado y no degenerado como alguno de los [a,b], [a,b[, ]a,b] y ]a,b[. La aplicación h(x) = \frac{1}{b-a} (x-a) es una biyección de cada uno de ellos en los intervalos [0,1], [0,1[, ]0,1] y ]0,1[, respectivamente. Las composiciones f_{i} \circ h, para i=1,2,3 resultan pues biyecciones de cada uno de los intervalos [a,b], [a,b[, ]a,b] en el intervalo abierto unidad ]0,1[. Como dicho intervalo es equipotente a la recta real, cada uno de estos intervalos resulta también equipotente a la recta real. Finalmente, el intervalo abierto ]a,b[ se pone en biyección con el intervalo abierto unidad mediante h y por ello también es equipotente a \mathbb{R}. Esto termina nuestra demostración.

Sea X un conjunto y sea A un subconjunto de X.

Definición 1. La función característica o indicadora de A es la función \lambda_{A} : X \rightarrow \{0, 1\}, dada por \lambda_{A} (x) = 1 si x \in A y \lambda_{A}(x) = 0 si x \notin A.

Veamos algunas interesantes propiedades de esta función.

Teorema 2. Sean A y B subconjuntos de X. Se cumplen
a) \lambda_{X} =1 y \lambda_{\emptyset} = 0.
b)A \subset B, si y sólo si \lambda_{A} \leq \lambda_{B}.
c)\lambda_{A} = \lambda_{B} si y sólo si A=B.
d)\lambda_{A \cap B} = \lambda_{A} \lambda_{B}.
e)\lambda _{A \cup B} + \lambda_{A \cap B} = \lambda_{A} + \lambda_{B}.
e)\lambda_{\overline{A}} = 1 - \lambda_{A}

Prueba. Trivialmente, para todo x \in X será \lambda_{X} (x) = 1 por lo que la función característica de la totalidad del conjunto será la función constante e igual a la unidad. Análogamente, como ningún x \in X pertenece al conjunto vacío, la función característica del conjunto vacío será la función constante e igual a cero. Esto prueba el apartado (a). Sean ahora A y B dos conjuntos y supongamos que A \subset B. En tal caso, para cada x \in A tenemos x \in B por lo que \lambda_{A} (x) =1 \leq 1 =\lambda_{B} (x). Si fuera x \in B pero x \notin A, tendríamos que \lambda_{A} (x) = 0 \leq 1 = \lambda_{B} (x) y, para acabar, si fuera x \notin B, entonces también x \notin A por lo que \lambda_{A} (x) = 0 \leq 0 = \lambda_{B} (x). En todos los casos es \lambda_{A} (x)  \leq  \lambda_{B} (x), lo que permite escribir la desigualdad \lambda_{A} \leq \lambda_{B}. El recíproco es análogo. Por tanto, hemos probado (b). Para probar (c), bastará darse cuenta que A = B si y sólo si A \subset   B y B \subset A y aplicar (b). El resto de demostraciones las dejamos a cargo del lector por su simplicidad.

Sea $X$ un conjunto cualquiera. Designamos por \mathcal{P}(X) el conjunto de todos sus subconjuntos (o partes).

Teorema 3. El conjunto \{0,1\}^{X} de todas las funciones características de X es equipotente al conjunto de sus partes \mathcal{P}(X).

Prueba. Sea la función f: \mathcal{P} (X) \rightarrow \{0,1\}^{X}, definida por f(A) = \lambda_{A} para cada A \in \mathcal{P}(X). Veremos que es una biyección. En efecto, si fuera \lambda_{A} = \lambda_{B}, entonces A = B por (c) del teorema 2. Esto prueba que f es inyectiva. Sea ahora h un elemento cualquiera de \{0,1\}^{X}. El conjunto A = \{ x \in X : h(x) =1 \} nos sirve para comprobar que \lambda_{A} = h y concluimos que f es sobreyectiva.

Con este resultado y apoyándonos en el teorema 1 de la lectura 22 estamos en condiciones de probar un interesante resultado.

Teorema 4. El conjunto de las partes de \mathbb{N} es no numerable.

Prueba. Evidentemente, el conjunto \{0,1 \}^{\mathbb{N}} de las funciones características de \mathbb{N} coincide con \Delta. Por tanto, aplicando el teorema 3 es \mathcal{P}(\mathbb{N}) equipotente a \Delta y aplicando el teorema 1 de la lectura 22 resultará que al ser \Delta no numerable también lo es \mathcal{P}(\mathbb{N}). Aquí termina la demostración.

Existe un resultado más general debido a Cantor que relaciona un conjunto con el conjunto de sus partes.

Teorema 5. Sea A un conjunto. Entonces |A |< |\mathcal{P}(A)|

Prueba. En primer lugar, la aplicación f: A \rightarrow \mathcal{P}(A), dada por f(x) = \{x \} es inyectiva. Por tanto, |A| \leq |\mathcal{P}(A)|. Veamos que no existe ninguna aplicación sobreyectiva entre A y el conjunto de sus partes utilizando la reducción al absurdo. Sea \phi : A \rightarrow \mathcal{P}(A) tal aplicación sobreyectiva y consideremos el conjunto B = \{x \in A : x \notin \phi(x) \}. Para dicho conjunto B podríamos hallar al menos un b \in X tal que \phi(b) = B. Por tanto, si b \in B concluiremos que b \notin \phi(b) = B y si b \notin B concluiremos que b \in \phi(b) =B. En cualquier caso hay contradicción. Así pues, no existe tal aplicación sobreyectiva y el teorema queda demostrado.

Esto permite construir una serie de infinitos cada vez mayores partiendo de un conjunto infinito cualquiera. Por ejemplo, partimos de los naturales y el conjunto de sus partes es “mayor” que los naturales. El conjunto de las partes de las partes será mayor y así sucesivamente. En la siguiente lectura veremos que el conjunto de los números reales es equipotente al de las partes de los naturales y como herramienta de esta prueba definiremos el llamado “Conjunto de Cantor”.

Consultorio de problemas

He decidido abrir un apartado de dudas matemáticas. Intentaré resolver las cuestiones que se planteen o por lo menos dar una indicación que facilite su solución. Por supuesto, no garantizo que todo lo que se pregunte sea contestado ya que tengo un tiempo finito. En resumen, si queréis consultar algo escribir a
sherlockholmes@openmailbox.org.

Curso EVT. Lectura 22. Cardinales (5)

Probaremos ahora la existencia de conjuntos infinitos no numerables.

Teorema 1. El conjunto de las sucesiones binarias \Delta = \{(a_{1}, a_{2}, \ldots ), \forall i, a_{i} = 0 \vee  a_{i} =1 \}
es infinito y no es numerable.

Prueba. En primer lugar, el conjunto \Delta es infinito pues no podemos hallar ninguna aplicación inyectiva f: \Delta \rightarrow S(n). En efecto, si tomamos n sucesiones de ceros y unos diferentes, siempre podremos hallar una sucesión de ceros y unos diferente a las n anteriores sin más que invertir (o sea cambiar cero por uno o uno por cero) el primer término de la primera, el segundo de la segunda y así sucesivamente. Esto dará lugar a una nueva sucesión diferente a las anteriores y, en consecuencia, la aplicación f no podrá ser inyectiva. Supongamos que es numerable, probaremos que entonces obtenemos una contradicción siguiendo el mismo razonamiento que en el caso anterior. Escribamos pues, \Delta como una enumeración.

\Delta = \{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots \}.

Utilizando la enumeración escribimos una matriz de ceros y unos en la forma

a_{1} : x_{11} \quad  x_{12} \quad x_{13} \quad \cdots
a_{2} : x_{21}\quad x_{22} \quad x_{23} \quad \cdots
a_{3} : x_{31} \quad x_{32} \quad x_{33} \quad \cdots
\vdots \quad \quad \quad \cdots

Obtenemos una nueva sucesión que no está en la lista sin más que intercambiar los ceros y los unos en la diagonal: b_{n} = 1 - x_{nn}. De esta manera hallamos una contradicción a nuestra hipótesis de la enumeración y el conjunto \Delta resulta no numerable.

El conjunto de los números reales también resulta ser no numerable. La prueba se basa también en el mismo razonamiento “diagonal” que hemos usado en el teorema 1. Pero antes debemos repasar la expresión decimal de los reales en el intervalo unidad. Recordemos que los reales 0 <x<1 se expresan en forma decimal mediante

0.x_1 x_2 x_3 \ldots x_n \ldots

donde x_i \in \{0,1,2, \ldots, 9\} y eventualmente si existe j tal que x_j=0 para todo k \geq j, obtenemos una expresión finita sin más que prescindir de los decimales x_j, j \geq k (este es el caso de los decimales exactos). Ahora bien, sabemos que en este caso también existe una expresión infinita en la que x_{j}=9 para j \geq k. Por ejemplo,

0.124 = 0.123999999 \ldots.

Para evitar esta doble expresión admitiremos sólo expresiones infinitas.

Teorema 2. El conjunto \mathbb{R} es no numerable.

Prueba. Probaremos que el intervalo abierto unidad (0,1) no es numerable y como la aplicación f(x) = -\cot(\pi x) es una biyección entre (0,1) y la recta real concluiremos que la recta real tampoco es numerable. Supongamos que (0,1) es numerable y escribamos los elementos de dicho intervalo en forma de decimales con infinitas cifras y donde el número de ceros es finito. Por ejemplo, en lugar de 0,3 escribiremos 0,29999  \ldots. Esta notación nos proporcionaría una enumeración completa y unívoca:

a_{1} :0. x_{11} \quad  x_{12} \quad x_{13} \quad \cdots
a_{2} :0. x_{21}\quad x_{22} \quad x_{23} \quad \cdots
a_{3} :0. x_{31} \quad x_{32} \quad x_{33} \quad \cdots
\vdots \quad \quad \quad \cdots

Podemos construir un número real y =0,b_{1} b_{2} b_{3} \ldots del intervalo (0,1) que no está en la lista, tomando para cada i \in \mathbb{N} el valor b_{i} \neq 0, c_{ii}. Llegamos a una contradicción y por tanto, (0,1) no es numerable.