Sobre cardinales de conjuntos

Estoy resolviendo algunas cuestiones del texto “Selected Problems in Real Analysis” (Makarov, Goluzina, Lodkin, Podkorytov, Ed. AMS) y me he obligado a repasar conceptos y demostraciones que daba por hechas. Sobre todo demostraciones de cardinalidad y teoría de conjuntos. Por ejemplo, la demostración de que \mathbb{N}^{2} es equipotente a \mathbb{N}. Para ello existe una forma elegante utilizando el método diagonal de Cantor y una forma “menos elegante” utilizando el teorema de Cantor-Schröeder-Bernstein. Voy a pergeñar la segunda.

Consideremos la aplicación f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} dada por f(n,m) = 2^{n}3^{m}. Es claro que se trata de una aplicación inyectiva pues si

2^{n} 3^{m} = 2^{n'} 3^{m'},

entonces

2^{n-n'}= 3^{m'-m}

lo que sólo es posible si n-n'=m'-m=0. Por tanto, el cardinal de \mathbb{N} \times \mathbb{N} es menor o igual que el de \mathbb{N}. Por otro lado, la aplicación

g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N}

dada por

g(n)=(n,0)

es trivialmente inyectiva. En consecuencia, el cardinal de \mathbb{N} es menor igual que el de \mathbb{N} \times \mathbb{N}.  Aplicando, teorema de Cantor-Schröder-Bernstein ambos cardinales son iguales.

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