Consideremos un espacio vectorial sobre un cuerpo
. Probaremos que
a) Toda familia de vectores de
que incluye al cero es linealmente dependiente.
b) Si es un elemento no nulo de
, entonces el conjunto
es linealmente independiente.
c) Si y
son subconjuntos de
con
, entonces si
es linealmente dependiente también lo es
y si
es linealmente independiente, también lo es
.
d) Sea un elemento de
y sea
un subconjunto linealmente independiente de
. Si
no depende linealmente de
, entonces el conjunto
es linealmente independiente.
Demostración.
a) Sea y supongamos que para algún
es
, entonces tomando la subfamilia
podemos ver que la combinación lineal
no es trivial y produce el vector cero. Así pues
es linealmente dependiente.
b) Supongamos que el conjunto , con
es linealmente dependiente. Entonces, la única familia finita que podemos formar es
(aparte de la vacía que por convenio es linealmente independiente). La combinación
, sólo será posible si
(ver propiedades del espacio vectorial en lectura 2). Esto prueba que
es linealmente independiente.
c) Este hecho se deduce de forma inmediata de la definición de dependencia e independencia lineal.
d) Supongamos que es linealmente independiente. Si fuera vacío, tendríamos que su envoltura lineal es el vector cero por lo que si
no depende linealmente de
, resulta no nulo y por b), el conjunto
es linealmente independiente. Supongamos ahora que
es no vacío. Si
fuera linealmente dependiente hallaríamos una familia finita
de elementos de
que dan lugar al cero de forma no trivial. Es claro que si todos los elementos de dicha familia fueran de
, entonces
sería linealmente dependiente en contra de lo supuesto. Por ello, ha de existir al menos un
, tal que
. Además, el escalar correspondiente en esta combinación lineal no trivial
no puede ser nulo pues entonces la contribución de
desaparece y volvemos a tener una combinación lineal nula no trivial de elementos de
. En definitiva,
, con
y
.
Esto permite expresar en la forma
.
Así pues depende linealmente de
. Para evitar esta contradicción,
ha de ser linealmente independiente.