Vectores – MATEMATICAS.NET

Consideremos un espacio vectorial $E$ sobre un cuerpo $K$ . Probaremos que

a) Toda familia $A$ de vectores de $E$ que incluye al cero es linealmente dependiente.

b) Si $x$ es un elemento no nulo de $E$ , entonces el conjunto $\{x\}$ es linealmente independiente.

c) Si $A$ y $B$ son subconjuntos de $E$ con $A \subset B$ , entonces si $A$ es linealmente dependiente también lo es $B$ y si $B$ es linealmente independiente, también lo es $A$ .

d) Sea $x$ un elemento de $E$ y sea $A$ un subconjunto linealmente independiente de $E$ . Si $x$ no depende linealmente de $A$ , entonces el conjunto $B = A \cup \{x\}$ es linealmente independiente.

Demostración.

a) Sea $A= (x_i)_{i \in I}$ y supongamos que para algún $j \in I$ es $x_j = 0$ , entonces tomando la subfamilia $(x_j) = (0)$ podemos ver que la combinación lineal $1 0 = 0$ no es trivial y produce el vector cero. Así pues $A$ es linealmente dependiente.

b) Supongamos que el conjunto $A = \{x \}$ , con $x \neq 0$ es linealmente dependiente. Entonces, la única familia finita que podemos formar es $(x)$ (aparte de la vacía que por convenio es linealmente independiente). La combinación $\lambda x = 0$ , sólo será posible si $\lambda = 0$ (ver propiedades del espacio vectorial en lectura 2). Esto prueba que $A$ es linealmente independiente.

c) Este hecho se deduce de forma inmediata de la definición de dependencia e independencia lineal.

d) Supongamos que $A$ es linealmente independiente. Si fuera vacío, tendríamos que su envoltura lineal es el vector cero por lo que si $x$ no depende linealmente de $A$ , resulta no nulo y por b), el conjunto $B = A \cup \{x\} = \{x\}$ es linealmente independiente. Supongamos ahora que $A$ es no vacío. Si $B = A \cup \{x\}$ fuera linealmente dependiente hallaríamos una familia finita $(x_i)_{i \in I}$ de elementos de $B$ que dan lugar al cero de forma no trivial. Es claro que si todos los elementos de dicha familia fueran de $A$ , entonces $A$ sería linealmente dependiente en contra de lo supuesto. Por ello, ha de existir al menos un $i_{0} \in I$ , tal que $x = x_{i_{0}}$ . Además, el escalar correspondiente en esta combinación lineal no trivial $\lambda_{i_{0}}$ no puede ser nulo pues entonces la contribución de $x$ desaparece y volvemos a tener una combinación lineal nula no trivial de elementos de $A$ . En definitiva,