Cuerpos ordenados

Sabemos que un cuerpo conmutativo (K,+, ) no es más que un anillo unitario y conmutativo donde todo elemento diferente del cero aditivo tiene inverso multiplicativo. Por ello, la estructura de cuerpo totalmente ordenado se obtiene considerándolo como un anillo totalmente ordenado. Esto es, se considera una 4-tupla

(K,+, , P),

donde (K,+, ) es un cuerpo conmutativo, P un subconjunto de K, tal que (P, -P, \{0\}) es una partición de K, (P,+) un semigrupo y (P, ) un magma. Como ya demostramos en la entrada relativa a anillos ordenados, todo cuerpo ordenado, al ser un anillo unitario y conmutativo ordenado, tiene característica cero. También vimos una serie de propiedades que verificaban las desigualdades. Las completaremos con una serie de nuevas desigualdades y llegaremos a la conclusión de que el orden en el cuerpo es denso y dicho cuerpo es infinito.

Sean x,y,a,b elementos del cuerpo ordenado K. Entonces si \leq es el orden total de dicho cuerpo,

a)Las desigualdades x \leq y y a \leq b, implican x+a \leq y+b.
b) Si es x > 0, entonces x^{-1} \geq 0.
c) Si se cumple 0 < x \leq y, entonces 0 < y^{-1} \leq x^{-1}.
d) Si tenemos x \leq y < 0, entonces y^{-1} \leq x^{-1}.

a) Como y-x \in P \cup \{0\} y también b-a \in P \cup \{0\}, resulta que su suma

(y-x)+(b-a) = (y+b)-(x+a)

es un elemento de P \cup \{0\}, lo que nos permite afirmar que x+a \leq y+b.

b) Si x > 0  y suponemos que x^{-1} <0, resultaría que x x^{-1} = 1 <0. Pero sabemos que en todo anillo unitario y conmutativo ordenado es 1 >0. Para evitar esta contradicción, es x^{-1} >0.

c) Supongamos que es x^{-1} < y^{-1}. Entonces multiplicando ambos miembros por x>0, resulta

xx^{-1} < y^{-1} x,

es decir, 1 < y^{-1} x. Volviendo a multiplicar por y >0 ambos miembros

y < (y^{-1} x)y,

expresión que, en virtud de la asociatividad y conmutatividad del producto viene a dar

y <x.

Pero esto contradice nuestra suposición inicial . Por tanto,

0 < y^{-1} \leq x^{-1}.

d) La prueba es análoga a la de c).

Recordemos ahora que un orden \leq es denso en un conjunto X si para todos a,b \in X, tales que a \leq b y a \neq b, existe un c \in X, con c \neq a,b, tal que a \leq c \leq b. Es decir, que si tenemos dos elementos, uno mayor que el otro, entre ellos hay un tercero que es mayor que el menor y menor que el mayor.  Para probar que todo cuerpo ordenado tiene un orden denso primero probaremos que todo cuerpo ordenado es infinito y para ello usaremos la idea de aplicación que preserva el orden. 

Definición: Sean (A, \leq) y (B, \preceq) conjuntos ordenados. Una aplicación

\phi : A \rightarrow B

se dice que preserva el orden si a \leq a' implica \phi(a) \preceq \phi(a'), para todos a, a' \in A.

Cuando los conjuntos A y B tienen además estructura algebraica podemos considerar homomorfismos que preserven el orden. Esto es, aplicaciones que además de conservar las operaciones también conserven el orden.

Teorema: Todo cuerpo ordenado contiene un subanillo isomorfo al anillo de los enteros \mathbb{Z}.

Demostración: Sea 1 el neutro multiplicativo del cuerpo K, definimos para cada entero n \in \mathbb{Z}, el elemento

1+1+ \ldots+1 (n veces), si n >0,

0 si n=0

-(1+1+ \ldots +1) (-n) veces, si n<0.

Comprobaremos que esta asignación determina una aplicación f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{K} que conserva las operaciones y el orden y además resulta inyectiva. En efecto, la definición es correcta ya que sólo es posible asignar un elemento del cuerpo a cada entero. Además, sean n,m enteros, trivialmente comprobamos que f(n+m)=f(n)+f(m) y también f(nm) = f(n)f(m). Para acabar si n <m, entonces f(n) < f(m).
Esta última propiedad nos muestra además que f es inyectiva pues si n \neq m, entonces en virtud del orden total definido en los enteros, será n < m o m <n, luego las imágenes f(n) y f(m) tienen la misma relación que sus originales y no son iguales.

Por tanto, existe en todo cuerpo ordenado un subconjunto infinito y así todo cuerpo ordenado es infinito (aunque no precisemos de qué tipo). Ahora veremos que el orden es denso.

Teorema: Todo cuerpo ordenado tiene un orden denso.

Demostración: Sean a,b elementos del cuerpo ordenado K  con a < b, entonces

a+a < a+b < b+b,

2a < a+b < b+b,

(donde utilizamos x+x = 1x+1x = (1+1)x = 2x, siendo 2 el elemento correspondiente al entero 2 en el isomorfismo de orden anterior). Como 2> 0, entonces

a <2^{-1} (a+b) < b.

Esto prueba que el orden es denso.

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Una definición equivalente de grupo ordenado

Leyendo el texto “Elements of Abstract Anaylisis” ( Mícheál Ó Seracóid, Ed. Springer Verlag) me he encontrado con una definición de grupo totalmente ordenado equivalente a la dada en anteriores entradas de esta bitácora. Cito la definición tal como aparece en el texto:Imagen

Vamos a comentar esta definición pero antes daremos unos conceptos sobre orden.

Una relación binaria R sobre un conjunto X, se dice que es un orden estricto si es antireflexiva y transitiva. Es decir, si para cada x \in X es (x,x) \notin R y para cada x,y,z \in X, si (x,y),(y,z) \in R, entonces (x,z) \in R. Escribimos entonces \prec en lugar de R y la definición anterior queda una forma más familiar:

a) Para todo x \in X, x \nprec x.

b) Para todos x,y,z \in X, si x \prec y e y \prec z, entonces x \prec z.

Todo orden estricto cumple la antisimetría y que si x \prec y e y \prec x, entonces por b) sería x \prec x. Pero esto contradice a) por lo que o bien se cumple una de las dos desigualdades anteriores o ninguna.

A partir de un orden estricto siempre se puede obtener un orden parcial. Basta añadir la diagonal de X a la relación. Es decir, si R es un orden estricto en dicho conjunto, R \cup \{(x,x) : x \in X es un orden parcial.

Consideremos ahora un grupo abeliano (G,+) y una partición de G en tres subconjuntos: P, (-P), \{0\}, de forma que (P,+) es un semigrupo. Esto significa que

i) P \cup (-P) \cup \{0\} = G.

ii) P \cap (-P) = \emptyset, P \cap \{0\} = \emptyset, (-P) \cap \{0 \} = \emptyset.

iii) P+P \subset P.

Definimos una relación en G mediante x \prec y, si y sólo si y-x \in P. Esta relación es un orden estricto conexo. En efecto, sean x,y,z \in G. Como x-x = 0 \notin P, se sigue que x \nprec x y la relación es antireflexiva. Si x \prec y e y \prec z, tenemos que (y-x), (z-y) \in P por lo que z-x =(z-y)+(y-x) \in P, lo que prueba que $x \prec z$ y la relación es transitiva. Para acabar, la diferencia x-y es un elemento de G por lo sólo puede ser nula, pertenecer a P o a -P, siendo estas posibilidades mutuamente excluyentes. En el primer caso, x=y. En el segundo, y \prec x y en el tercero y-x =-(x-y) \in P y x \prec y. Por tanto, todos los elementos de G son comparables en esta relación.

Para acabar, bastará añadir a este orden estricto conexo los elementos (x,x) para obtener un orden total \preceq. Este orden total conserva la operación del grupo. Sean x,y,z \in G y supongamos que x \preceq y. Entonces (y-x) \in P o x=y. En el primer caso, (y+z)-(x+z) =(y+z)-(z+x)=y+(z-z)-x = y-x \in P, por lo que x+z \preceq y+z y en el segundo trivialmente x+z = y+z y también x+z \preceq y+z.

Anillos ordenados (III)

En un anillo ordenado A se cumplen las propiedades más comunes de las desigualdades. Así tenemos que:
(a) Para todos x,y \in A tales que x \leq y y para todo z \geq 0 es xz \leq yz.
(b) Para todos x,y \in A tales que x \leq y y para todo z \leq 0 es xz \geq yz.
(c) Para todos x,y \in A, si x \leq 0 e y \leq 0, entonces xy \geq 0.
(d) Para todos x,y \in A, si x \leq 0 e y \geq 0, entonces xy \leq 0.
(e) Para todos x,y \in A, si x \geq 0 e y \leq 0, entonces xy \leq 0.
(f) Si A es totalmente ordenado, entonces x^{2} \geq 0.
(g) Si A es unitario y totalmente ordenado, entonces 1 \geq 0.
(h) Todo anillo unitario totalmente ordenado es de característica cero.

(a) Sean x,y dos elementos de A verificando x \leq y y sea z otro elemento de A tal que z \geq 0, entonces si P es el cono positivo definido por el orden tenemos que z \in P y también y-x \in P. Por tanto, (y-x)z = yz -xz pertenece a P, de donde xz \preceq yz.
(b) Del mismo modo, si z \leq 0, entonces z-z \leq 0-z y de aquí (-z) \geq 0 por lo que (-z) \in P. Por tanto, (y-x) (-z)= -yz+xz = xz-yz \in P y concluimos que yz \leq xz.

(c) Si x \leq 0 e y \leq 0, entonces (-x) \geq 0 y (-y) \geq 0 por lo que (-x) (-y) = xy \in P y de aquí xy \geq 0.

(d) (e) Se prueban de forma análoga a (c) .

(f) Esta propiedad se sigue de la ordenación total. En efecto, para todo x \in A es x \in P o -x \in P, por lo que, en todos los casos es x^{2} = x x = (-x) (-x) \in P y de aquí x^{2} \geq 0.

(g) Supongamos que en el anillo A, unitario no trivial y totalmente ordenado, es 1 \leq 0. En tal caso, (-1) \geq 0 y aplicando la propiedad (f) concluimos que (-1)(-1)= 1 \geq 0. De ambas desigualdades llegaríamos a la igualdad 0=1. Esto es absurdo por lo que nuestra suposición inicial es falsa y será 1 \geq 0.

(h) Como 1 \in P, tenemos que para cualquier entero positivo m, la suma
m 1 = 1+1+1+ \cdots +1 \quad (m \quad \text{veces})
pertenece a P como podemos probar fácilmente por inducción. Si para algún entero positivo n es n 1 = 0, entonces
(n-1) 1 = n 1 - 1 = -1 \in P.
Pero si (-1) \in P, entonces 1 \leq 0. Esto es absurdo. Para evitar esta contradicción nuestra suposición inicial es falsa y el anillo unitario y conmutativo totalmente ordenado es de característica cero.

Anillos ordenados (II)

Vamos a probar que son equivalentes:
a) El anillo (A,+, ) es un anillo totalmente ordenado.
b) Existe un subconjunto P de A que cumple las condiciones siguientes:
i) 0 \in P,
ii) P+P \subset P,
iii) P \cap (-P) = \{0 \},
iv) P P \subset P,
v) P \cup (-P) =A.
Veamos que a) implica b). Para ello, si \leq es el orden total presente en el anillo A y compatible con las operaciones de éste, veremos que
P = \{x \in A : x \geq 0 \}
es el subconjunto buscado (que, como el lector puede observar, está formado por los elementos “no negativos” de A). En efecto, por construcción 0 \in P y se cumple i).
Sean x,y elementos de P, entonces
x \geq 0, y \geq 0.
Por tanto, teniendo en cuenta que el orden es compatible con las operaciones del anillo (suma y producto) resulta al sumar y a ambos miembros de la desigualdad primera:
x+y \geq 0+y = y \geq 0.
Esto prueba que x+y \in P y, por tanto, P+P \subset P y se cumple ii).
Consideremos ahora un elemento x \in A que pertenezca tanto a P como a (-P), entonces x \geq 0 y también -x \geq 0. Sumando x a la última desigualdad vemos que
0= (-x)+x \geq 0 +x = x.
Es decir, x \leq 0. En consecuencia, x \leq 0 y x \geq 0, lo que nos lleva a que x=0 y se cumple (iii).
La propiedad (iv) es inmediata ya que si A es un anillo ordenado, entonces para todos x,y \in A, tales que x,y \geq 0, se tiene que xy \geq0. Es decir, P P \subset P.
Como el orden \leq es total, dados x,y \in A es x \leq y o y \leq x. En particular, si y=0, tenemos que para cualquier x \in A es $x \leq 0$ o 0 \leq x. En el primer caso, x \in (-P) y en el segundo x \in P. Por ello x \in P \cup (-P) y de aquí A = P \cup (-P).

Supongamos que b) es cierto. Definimos una relación en A utilizando el conjunto P: dados x,y \in A, escribimos x \leq y, si y sólo si y-x \in P. Veremos que dicha relación es de orden total y además compatible con la estructura de anillo. En primer lugar, como x-x = 0 \in P se sigue que x \leq x para todo x \in A y la relación es reflexiva. Supongamos ahora que x \leq y y también y \leq x. Esto quier decir que y-x \in P y también x-y \in P. Como y-x = -(x-y) \in (-P), tenemos que y-x \in P \cap (-P), luego y-x = 0, quedando x=y. Esto prueba que la relación es antisimétrica.

Sean x \leq y, y \leq z. Es decir, y-x \in P y z-y \in P. Sumando ambas expresiones
(y-x)+(z-y) = z-x \in P.
Luego x \leq z y la relación es transitiva. Se trata pues de un orden. Veremos que es total. Dados x,y \in A, su diferencia y-x es un elemento de A por lo que es nula, pertenece a P o pertenece a (-P). En el primer caso x=y, en el segundo x \leq y y en el tercero y \leq x.

Si existiera otro conjunto Q \subset A que cumpliera las condiciones i) a iv) y que diera lugar al orden que determina P, entonces Q = P, ya que una vez establecido dicho orden, se obtiene unívocamente el conjunto que lo determina mediante
S = \{ x \in A : x \geq 0 \}

Anillos ordenados (I)

Recordemos que un anillo A es un conjunto no vacío dotado de dos operaciones, que convenimos en notar como suma y producto y que verifican

a) (A,+) es un grupo abeliano.

b) (A, \cdot) es un semigrupo

c) Para todos x,y,z \in A es x \cdot (y+z) = x \cdot y+x \cdot z y también (x+y) \cdot z = x \cdot z+ y \cdot z

El neutro del grupo (A,+) se nota por 0. Si el semigrupo (A, \cdot) es conmutativo decimos que el anillo es conmutativo y si (A, \cdot) tiene neutro decimos que el anillo es unitario y dicho neutro se nota por 1. Generalmente, prescindimos del símbolo “\cdot” para el producto y usamos la yuxtaposición. Esto es, escribimos xy en lugar de x \cdot y.

Si existe una relación \leq de orden (parcial o total) en un anillo conmutativo A, decimos que dicha relación es compatible con las operaciones del anillo si y sólo si

i) (A,+) es un grupo ordenado.

ii) Para todos x,y \in A, tales que x \geq 0, y \geq 0, es xy \geq 0.

En lugar de hablar de órden compatible con la estructura de anillo decimos simplemente que el anillo es ordenado. Si A es un anillo ordenado podemos definir el cono positivo de la misma forma que hacíamos para los grupos ordenados:

P = \{ x \in A : x \geq 0 \}.

Es fácil probar que en un anillo ordenado, el cono positivo P así definido, verifica:

a) 0 \in P.

b)P+P \subset P.

c) P \cap (-P) = \{0 \}.

d) P P \subset P.

Las propiedades a,b y c ya se demostraron en una entrada anterior y la propiedad d se deduce de la definición de anillo ordenado. En efecto, si x,y son elementos de P, entonces x \geq 0 e y \geq 0. Por tanto, aplicando ii) es xy \geq 0 y esto significa que xy \in P, luego P P \subset P.

Se puede probar que el cono positivo es unívoco para cada orden. Esto es, que podemos caracterizar a los anillos ordenados mediante dichos subconjuntos. En particular,

Teorema: Si A es un anillo conmutativo, son equivalentes:

1. El anillo A está totalmente ordenado.

2. Existe un subconjunto P de A, que verifica: 0 \in P, P+P \subset P, P \cap (-P) = \{0 \}, P P \subset P y P \cup (-P) = A.

Probaremos este y otros interesantes resultados en una entrada posterior.

Referencias: Wikipedia 1, Wikipedia 2