Curso EVT. Lectura 17. Aplicaciones Lineales (2)

Vamos a continuar con el tema de las aplicaciones lineales. Probaremos que “conservan” los subespacios.

Teorema 1. Sea f una aplicación lineal entre los K-espacios E y F y sean S un subespacio de E y T un subespacio de F. Afirmamos que f(S) es un subespacio de F y f^{-1}(T) es un subespacio de E.

Prueba. Si S es un subespacio de E, entonces es no vacío y su imagen f(S) es un subconjunto no vacío de F. Sean u,v elementos de f(S). Hallaremos x e y de S tales que f(x)=u, f(y) =v. Por tanto, para cualesquiera \lambda, \mu escalares, tenemos que \lambda x + \mu y pertenece a S y f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y) = \lambda u + \mu v pertenece a f(S). Esto prueba que f(S) es un subespacio de F. Análogamente, si T es un subespacio de F, resulta que 0 \in T por lo que de la igualdad f(0) = 0 se sigue que 0 \in f^{-1}(T) y f^{-1}(T) es un subconjunto no vacío de E. Dados x,y \in f^{-1}(T), se sigue que f(x), f(y) \in T por lo que para cualesquiera \lambda, \mu escalares, tenemos que \lambda f(x)+ \mu f(y) = f(\lambda x + \mu y) pertenece a T, luego \lambda x + \mu y \in f^{-1}(T). Esto prueba que f^{-1}(T) es un subespacio de E.

Teorema 2. Una aplicación lineal f:E \rightarrow F es inyectiva si y sólo si su núcleo tiene al cero como único elemento

Prueba. Sabemos que f(0)= 0 para toda aplicación lineal. Por tanto, si f es inyectiva y x \neq 0, concluiremos que f(x) \neq 0 y de aquí Ker (f) = \{0 \}. Recíprocamente, supongamos que el núcleo de f sólo tiene al vector 0 como elemento y sean x,y de E tales que f(x) = f(y). Entonces basta observar que

f(x)-f(y) = f(x)+(-1)f(y) = f(x) +f((-1)y) =f(x)+f(-y) = f(x-y) = 0

para concluir que x = y. Así pues, f es inyectiva y termina nuestra demostración

Teorema 3. Una aplicación lineal f:E \rightarrow F es sobreyectiva si y sólo si Im (f) = F.

Prueba. La prueba es inmediata.

También es fácil probar que si una aplicación f.E \rightarrow F es lineal y biyectiva, entonces también es lineal y biyectiva su inversa f^{-1} :F \rightarrow E. Más interés tiene el siguiente teorema pues nos llevará al resultado más interesante de esta lectura.

Teorema 4. Sean E y F espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K y sea B=(x_{i})_{i \in I} una base de E. Podemos definir una aplicación lineal f de E en F de la siguiente manera: para cada i \in I, definimos f(x_{i}) como un elemento cualquiera de F y extendemos esta asignación a cada x de E mediante
f(x)=0, si x=0,
f(\sum_{j \in J} \lambda_{j} x_{j}) = \sum_{j \in J} \lambda_{j} f(x_{j}), si x \neq 0.
Donde J una subfamilia finita de elementos de B que da lugar a x mediante su combinación lineal con coeficientes (\lambda_{j})_{j \in J} no nulos.

Prueba. En primer lugar, la aplicación f está bien definida ya que la expresión de cada vector no nulo de E como combinación lineal, con escalares no nulos, de elementos de B es única. Supongamos que los vectores x o y o ambos sean nulos, entonces se comprueba de forma inmediata que para cualesquiera \lambda, \mu escalares, se tiene que f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x)+ \mu f(y). Sean x= \sum_{j \in J} \lambda_{j} x_{j} e y= \sum_{k \in K} \delta_{k} x_{k}, dos vectores de E expresados como combinación lineal de elementos de la base $ñatex B$ y sean \lambda_{j} \neq 0 y \delta_{k} \neq 0, para todo j \in J y todo k \in K, respectivamente. Entonces para cualesquiera escalares \lambda, \mu podemos escribir

\lambda x+ \mu y = \lambda \sum_{j \in J} \lambda_{j} x_{j} + \mu \sum_{k \in K} \delta_{k} x_{k} = \sum_{j \in J} (\lambda \lambda_{j}) x_{j}+ \sum_{k \in K} (\mu \delta_{k}) x_{k} = \sum_{r \in R} \theta _{r} x_{r},

donde R = J \cup K y \theta_{r} =\lambda \lambda_{r} si r \in J-K, \theta_{r} = \lambda \lambda_{r} + \mu \delta_{r} si r \in J \cap K y \theta_{r} = \mu \delta_{r} si r \in K-J. Por tanto, tenemos que

f( \lambda x + \mu y) = f \big( \sum_{r \in R} \theta _{r} x_{r} \big) = \sum_{r \in R} \theta _{r} f(x_{r})= \sum_{r \in J-K}(\lambda \lambda_{r}) f(x_{r}) + \sum _{r \in J \cap K} (\lambda \lambda_{r} + \mu_{r} \delta_{r}) f(x_{r})+ \sum_{r \in K-J} (\mu_{r} \delta_{r}) f(x_{r})= \sum_{j \in J} (\lambda \lambda_{j}) f(x_{j}) + \sum_{k \in K} (\mu \delta_{k}) f(x_{k}) = \lambda \big(\sum_{j \in J} \lambda_{j} f(x_{j}) \big) + \mu \big(\sum_{k \in K} \delta_{k} f(x_{k}) \big) = \lambda f(x) + \mu f(y).

Esto prueba que f es lineal.

Ahora llegamos al resultado central.

Teorema 5. Dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión.

Prueba. Supongamos que los K-espacios E y F son isomorfos. Entonces existe una biyección lineal f:E \rightarrow F. Si E = \{0 \}, entonces F = f(E) = f(0) = \{0 \} y, en consecuencia, dim (E) = dim (F) =0. Sea E un espacio vectorial no trivial y sea B una base de Hamel de E. Probaremos que C = f(B) es una base de Hamel de F. En efecto, sea (y_{j})_{j \in J} una familia finita de elementos de C y supongamos que \sum_{j \in J} \lambda_{j} y_{j} = 0. Entonces para cada j \in J el vector x_{j} = f^{-1}(y_{j}) es un elemento de B y podemos escribir f(\sum_{j \in J} \lambda_{j} x_{j}) = \sum_{j \in J} \lambda_{j} f(x_{j}) = \sum_{j \in J} \lambda_{j} y_{j} = 0 . Como f es biyectiva esto significa que \sum_{j \in J} \lambda_{j} x_{j} = 0 y como (x_{j})_{j \in J} es una subfamilia finita de B, esto implica que \lambda_{j} = 0 para todo j \in J. Hemos probado pues que C es linealmente independiente. Por otro lado, si z es un elemento cualquiera de F, tenemos que existe un x de E que verifica f(x) = z. Para dicho x podemos hallar una subfamilia finita (u_{k})_{k \in K} de elementos de B, tal que x = \sum_{k \in K} \mu_{k} u_{k} y esto significa que z=f(x) = \sum_{k \in K} \mu_{k} f(u_{k}). Evidentemente (f(u_{k}))_{k \in K} es una subfamilia finita de C y de aquí que C sea un sistema generador de F. Como C=f(B) es una base y f es una biyección, concluimos que dim (E) = |B| = |f(B)|= |C| = dim (F).
Supongamos ahora que dim(E) = dim(F). Si ambas dimensiones son nulas, basta tomar la aplicación f:E \rightarrow F definida por f(0) = 0 para conseguir una biyección lineal (el lector puede comprobar este extremo fácilmente). Sea dim(E) = dim (F) >0. Si B= (x_{i})_{i \in I} es una base de E y C= (y_{i})_{i \in I} es una base de F tenemos que la asignación f(x_{i}) = y_{i}, para cada i \in I, da lugar a una aplicación lineal de E en F (ver teorema 4) mediante: f(x) =0 si x=0 y f(\sum_{j \in J} \lambda_{j} x_{j}) = \sum_{j \in J} \lambda_{j} y_{j}, si x \neq 0, donde J una subfamilia finita de elementos de B que genera x mediante su combinación lineal con coeficientes (\lambda_{j})_{j \in J} no nulos. Claramente f es inyectiva ya que Ker(f) = \{0 \} y también es sobreyectiva pues Im (f) = F. En consecuencia E y F son isomorfos.

Para acabar, exponemos un resultado conocido del álgebra lineal básica pero que a la luz de lo expuesto es válido para cualquier espacio vectorial ya sea de dimensión finita o infinita.

Teorema 6.Sea f:E \rightarrow F una aplicación lineal. Afirmamos que si G es un subespacio de E suplementario de Ker(f), entonces G es isomorfo a Im(f).

Prueba. Sea Ker(f) el núcleo de f y sea G su suplementario. Vamos a restringir la aplicación f a G. Dicha restricción es inyectiva ya que si u y v son elementos de G y resulta que f(u)=f(v), entonces f(u)-f(v) = 0, de donde f(u-v) = 0 y u-v \in Ker(f) \cap G. Luego u-v= 0 y u=v. Es claro que la imagen de la restricción de f a G está incluida en Im(f) pero por otro lado, si y es un elemento de Im(f), hallaremos un x \in E tal que f(x)=y. Ahora bien, como x =z+u, con z \in Ker(f) y u \in G, concluimos que y=f(x)=f(z+u) = f(z)+f(u) = 0+f(u)=f(u). Esto prueba que Im(f) está incluida en la imagen de la restricción de f a G y así ambas coinciden. La conclusión final es que f:G \rightarrow Im(f) es una biyección por lo que G es isomorfo a Im(f).

Corolario 1.f: E \rightarrow F una aplicación lineal. Entonces dim(Ker(f))+dim(Im(f)) = dim(E)

Prueba. Si G es suplementario de Ker (f), el corolario 2 de la lectura 14 permite afirmar que dim(E) = dim((Ker(f))+dim(G) y el teorema 6 nos lleva a la igualdad buscada: dim(E) = dim(Ker(f))+dim(Im(f)).

Anuncios