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La generación de la sigma-álgebra de Borel en la recta

Sabemos que la \sigma-álgebra de Borel de la recta real es la generada por los abiertos de la topología usual. Existen otras clases que generan dicha \sigma-álgebra. A continuación esbozo una demostración de este hecho.

Las siguientes clases de partes de \mathbb{R} generan la \sigma-álgebra de Borel:

[(a)] La clase \mathcal{C}_1 de los intervalos abiertos (a,b).
[(b)] La clase \mathcal{C}_2 de los intervalos cerrados [a,b].
[(c)] La clase \mathcal{C}_3 de los conjuntos cerrados.
[(d)] La clase \mathcal{C}_4 de los conjuntos compactos.
[(e)] La clase \mathcal{C}_5 de las bolas abiertas B(q,r), donde q es racional y r>0 también es racional.
[(f)] La clase \mathcal{C}_6 de los intervalos (a,b].
[(g)] La clase \mathcal{C}_7 de los intervalos [a,b).
[(h)] La clase \mathcal{C}_8 de los intervalos no acotados (-\infty,b).

(a). Recordemos que todo intervalo (a,b) con a \leq b es un abierto. Por tanto,
\mathcal{C}_{1} \subset \mathbb{B},
luego
\sigma(\mathcal{C}_{1}) \subset \mathbb{B}.
Pero todo abierto A de la topología usual es unión numerable y disjunta de intervalos abiertos. Por tanto, si T es la topología usual en \mathbb{R}, tenemos
T \subset \sigma(\mathcal{C}_{1})
y de aquí
\mathbb{B} = \sigma(T) \subset \sigma(\mathcal{C}_{1}).
Luego \sigma(\mathcal{C}_{1})= \mathbb{B}.
(b). Dados a \leq b, tenemos
[a,b]^c = (-\infty,a) \cup (b,+\infty)
por lo que concluimos que [a,b] \in \mathbb{B}, luego \mathcal{C}_{2} \subset \mathbb{B} y de aquí
\sigma (\mathcal{C}_{2}) \subset \mathbb{B}.
Observemos que
[a,b) = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigg[ a, b- \frac{1}{n} \bigg], \quad  (a,b] = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigg[ a+ \frac{1}{n}, b \bigg].
Por tanto,$[a,b)$ y (a,b] son elementos de \sigma(\mathcal{C}_2) y, en consecuencia,
(a,b) = [a,b) \cap (a,b]
es un elemento de \sigma(\mathcal{C}_{2}), por lo que \mathcal{C}_1 \subset \sigma(\mathcal{C}_2) y esto implica que \mathbb{B} \subset \sigma(\mathcal{C}_2). Esta doble inclusión lleva a la igualdad \sigma(\mathcal{C}_2) = \mathbb{B}.
(c). Veamos ahora la clase de los conjuntos cerrados. Sea C un conjunto cerrado de la topología usual de la recta real, entonces su complementario A = \mathbb{R}-C es abierto, por lo que C \in \mathbb{B}, luego \mathcal{C}_3 \subset \mathbb{B} y de aquí
\sigma(\mathcal{C}_3) \subset \mathbb{B}.
Recíprocamente, si A es un abierto de la topología usual, su complementario C=\mathbb{R}-A es cerrado y A \in \sigma(\mathcal{C}_3), luego T \subset \sigma(\mathcal{C}_3) y concluimos que
\mathbb{B} \subset \sigma(\mathcal{C}_3).
La doble inclusión lleva a la igualdad.
(d). Sea \mathcal{C}_4 la clase de todos los compactos. Todo compacto de la topología usual de la recta es cerrado y acotado por lo que \mathcal{C}_4 \subset \mathcal{C}_3 y, en consecuencia
\sigma(\mathcal{C}_4) \subset \sigma(\mathcal{C}_3) =\mathbb{B}.
Sea C un cerrado y consideremos la familia (\overline{B(0,n)})_{n\in \mathbb{N}}. Esta familia está formada por conjuntos cerrados y acotados (compactos). Vemos que
C \cap \overline{B(0,n)}, \quad n=1,2,\ldots
son compactos (pues cada uno de ellos es intersección de cerrados y está acotado). Finalmente,
C = \cup_{n \in \mathbb{N}} (C \cap \overline{B(0,n)}).
Esto prueba que C \in \sigma(\mathcal{C}_4) y de aquí \mathcal{C}_3 \subset \sigma(\mathcal{C}_4) y \mathbb{B}= \sigma(\mathcal{C}_3) \subset \sigma(\mathcal{C}_4). La doble inclusión lleva a la igualdad.
(e). Sabemos que toda bola B(q,r) con q,r \in \mathbb{Q} es un abierto y de aquí \mathcal{C}_5 \subset T y por ello
\sigma(\mathcal{C}_5) \subset \mathbb{B}.
Sean a,b \in \mathbb{R} con a < b y sea (a,b). Entonces \mathbb{Q} \cap (a,b) es no vacío y numerable. Podemos escribir
\mathbb{Q} \cap (a,b) = \{q_1, q_2, \ldots, q_n, \ldots \}.
Tomamos 0<r_n < \min \{|q_n-a|, |q_n-b| \}, para n=1,2, \ldots. Esta elección nos permite afirmar que
(a,b) = \bigcup_{n \geq 1} B(q_n, r_n).
Por tanto, (a,b) \in \sigma(\mathcal{C}_5) y de aquí \mathcal{C}_1 \subset \sigma(\mathcal{C}_5) y \mathbb{B}= \sigma(\mathcal{C}_1) \subset \sigma(\mathcal{C}_5).
(f). Sea \mathcal{C}_6 la clase formada por los intervalos de la forma (a,b] con a \leq b. Vemos que si a=b es (a,b]= \emptyset y si a <b es
(a,b] = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigg(a,b+\frac{1}{n} \bigg).
Esto prueba que \mathcal{C}_6 \subset \mathbb{B} y, en consecuencia, \sigma(\mathcal{C}_6) \subset \mathbb{B}. Por otro lado,
[a,b] = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigg( a-\frac{1}{n}, b \bigg].
Por lo que [a,b] \in \sigma(\mathcal{C}_6). Esto significa que \mathcal{C}_2 \subset \sigma(\mathcal{C}_6), de donde
\mathbb{B}= \sigma (\mathcal{C}_2) \subset \sigma(\mathcal{C}_6).
Es decir, \mathbb{B}= \sigma(\mathcal{C}_6).
(g). Utilizamos el mismo razonamiento que en (h) con las igualdades
[a,b) = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigg(a-\frac{1}{n}, b \bigg),
[a,b] = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigg[a, b+\frac{1}{n} \bigg).
(h) Sea la clase \mathcal{C}_8 = \{ (-\infty, b): b \in \mathbb{R} \}. Como todo elemento de dicha clase es un abierto se concluye de forma inmediata que
\sigma(\mathcal{C}_8) \subset \mathbb{B}.
Por otro lado,
(-\infty,a] = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigg( -\infty, a+\frac{1}{n} \bigg),
lo que prueba que (-\infty,a]  \in \sigma(\mathcal{C}_8) y también su complementario (a,+\infty) pertenece a \sigma(\mathcal{C}_8). En consecuencia, si a<b, es
(a,b)=(-\infty,b) \cap (a,+\infty)
y resulta que (a,b) \in \sigma(\mathcal{C}_8) por lo que \mathcal{C}_1 \subset \sigma(\mathcal{C}_8) y \mathbb{B}= \sigma(\mathcal{C}_1) \subset \sigma(\mathcal{C}_8). La doble inclusión lleva a la igualdad buscada.

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Un problema de sucesiones de conjuntos

Problema: Sean A_n y B_n sucesiones de partes de un conjunto X y sea B_n \subset A_n, para todo n \geq 1. Probar que entonces \lim \inf B_n \subset \lim \inf A_n y que la misma relación de inclusión se tiene para el límite inferior.
Solución: Como resulta que B_n \subset A_n, para todo n, si definimos las sucesiones:
D_n = \cup_{k=n}^{\infty} B_k,
E_n = \cup_{k=n}^{\infty} A_k,
podemos probar por inducción que
D_n \subset E_n, para todo n. Es decir,
\lim \inf B_n = \cap_{n=1}^{\infty} D_n \subset \cap_{n=1}^{\infty} E_n = \lim \inf A_n.
El mismo razonamiento se puede aplicar para demostrar la inclusión del límite superior usando las sucesiones
H_n = \cap_{k=n}^{\infty} B_k,
J_n = \cap_{k=n}^{\infty} A_k.
Esto termina nuestro desarrollo. Ahora bien, ¿cómo utilizamos la inducción para probar que D_n \subset E_n? Pues bien, vamos a esbozar el procedimiento. En primer lugar, dado n definimos para r=1,2, \ldots:
D_{n}^{r} = \cup_{k=n}^{r} B_k,
E_{n}^{r} = \cup_{k=n}^{r} A_k.
Por hipótesis, si n es fijo
D_{n}^{r} \subset E_{n}^{r}.
Entonces,
D_{n}^{r+1} = D_{n}^{r} \cup B_{r+1} \subset E_{n}^{r} \cup A_{r+1} = E_{n}^{r+1}.
Esto significa que para cualquier r es
D_{n}^{r} \subset E_{n}^{r},
luego
D_n = D_{n}^{\infty} \subset E_{n}^{\infty} = E_n,
que es lo que queríamos probar.

Lectura 5. De los contenidos a las premedidas (2)

Continuamos con las ideas esbozadas en la lectura 4. Sea (A_n) una sucesión de partes de un conjunto dado \Omega, decimos que es creciente si

A_n \subset A_{n+1}, n=1,2, \ldots.

Si verifica

A_{n+1} \subset A_n, n=1,2, \ldots,

decimos que es una sucesión decreciente. Las sucesiones crecientes y decrecientes tienen límites (esto es coinciden en ellas sus límites superior e inferior) siendo

\lim_n A_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n

el límite de la sucesión creciente y

\lim_n A_n = \cap_{n=1}^{\infty} A_n

el límite de la sucesión decreciente. Sea \mathcal{A} un anillo y \mu un contenido en dicho anillo. Decimos que \mu es

(i) semicontinua por abajo, si para toda sucesión creciente (A_n) de elementos del anillo tal que \lim_n A_n \in \mathcal{A}, se cumple que \lim_n \mu(A_n) = \mu (\lim_n A_n).

(ii) semicontinua por arriba, si para toda sucesión decreciente (B_n) de elementos del anillo tal que para algún p \in \mathbb{N} es \mu(A_p) < \infty y \lim_n B_n \in \mathcal{A}, se cumple que \lim_n \mu(B_n) = \mu(\lim_n B_n).

(iii) \emptyset-continua, si es semicontinua por arriba para toda sucesión decreciente con límite igual al conjunto vacío.

Estamos en condiciones de demostrar el siguiente resultado.

Sea \mathcal{R} un anillo y sea \mu un contenido sobre dicho anillo. Son equivalentes:
(a) \mu es \sigma-aditiva.
(b) \mu es semicontinua por abajo.
Demostración: (a) implica (b).Sea (A_n) una sucesión creciente de elementos del anillo cuyo límite \lim_n A_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n pertenece al anillo. Si para algún p \in \mathbb{N} es \mu(A_p) = + \infty, entonces el carácter monótono de \mu nos lleva a afirmar que
+\infty =\mu(A_q) \leq \mu(A_n) para todo n \geq q,
+\infty =\mu(A_q) \leq \mu(\cup_{n=1}^{\infty} A_n).
En consecuencia,
+\infty = \lim_n \mu(A_n),
+\infty = \mu(\cup_{n=1}^{\infty} A_n) = \mu (\lim_n A_n).
Es decir, \lim_n \mu(A_n) = \mu (\lim_n A_n).
Si suponemos que \mu(A_n) < + \infty para todo n, entonces podemos considerar la sucesión
B_1 = A_1, B_n = A_n - A_{n-1}, n \geq 2.
Dicha sucesión está formada por elementos del anillo y como (A_n) es creciente resulta que son disjuntos dos a dos y verifican
B_n \subset A_n, para todo n,
\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n.
Sólo resta recordar la propiedad sustractiva (\mu(A-B) = \mu(A)-\mu(B), para B \subset A y \mu(A)<+\infty) y la aditividad numerable para obtener
\mu(\lim_n A_n) = \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n) = \mu(\biguplus_{n=1}^{+\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n) = \mu(B_1)+ \lim_n \sum_{k=2}^{n} \mu(B_n)= \mu(A_1)+ \lim_n \sum_{k=2}^{n} \mu (A_n - A_{n-1}) = \mu(A_1) + \lim_n \sum_{k=2}^{n} \mu(A_n)-\mu(A_{n-1}) =\mu(A_1)-\mu(A_1)+ \lim_n \mu(A_n) = \lim_n \mu(A_n).
En conclusión \mu es semicontinua por abajo.
(b) implica (a). Sean ahora B_1, B_2, \ldots, elementos de \mathcal{R}, disjuntos dos a dos, cuya unión pertenece a dicho anillo. Definimos una nueva sucesión mediante
A_n = \biguplus_{k=1}^{n} B_k.
Es evidente que los elementos de (A_n) pertenecen al anillo y que la sucesión es creciente. Por tanto,
\mu(\lim_n A_n) = \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n) = \mu(\biguplus_{n=1}^{\infty}B_n) = \lim_n \mu(A_n) = \lim_n \mu(\biguplus_{k=1}^{n} B_k) = \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n).
Esto prueba que \mu es una premedida y termina la demostración.

Lectura 4. De los contenidos a las premedidas (1)

Consideremos un semianillo \mathcal{A} y sea \mu una premedida sobre el anillo. Veremos que se trata de un contenido. En efecto, recordemos que todo semianillo contiene al conjunto vacío por lo que si A,B son elementos de \mathcal{A}, disjuntos y con A \cup B \in \mathcal{A}, entonces podemos formar una sucesión B_n de elementos del semianillo mediante:

B_1 = A, B_2=B, B_n = \emptyset, n \geq 3.

Obviamente esta sucesión está formada por conjuntos disjuntos y es

\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = A \cup B.

Aplicando la aditividad numerable resulta

\mu(A \cup B) =\mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n) = \lim_{n} \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) = \mu(A)+\mu(B).

Por tanto, toda premedida en un anillo es un contenido y por ello será monótona y finitamente subaditiva. Sin embargo, no todo contenido es una premedida y en la lectura anterior vimos una condición suficiente para que esto ocurra. Ahora trataremos de dar condiciones más fuertes y para ello nuestra estructura de soporte serán los anillos.

Sea \mathcal{R} un anillo y sea \mu un contenido (medida finita) sobre dicho anillo. Entonces son equivalentes

(a) \mu es \sigma-aditiva.

(b) \mu es numerablemente subaditiva.

Demostración: (a) implica (b). Supongamos que \mu es \sigma-aditiva y sea (A_n) una sucesión de elementos del anillo \mathcal{R}, definimos una nueva sucesión mediante

B_1 = A_1, B_n = A_n - \cup_{h=1}^{n-1} A_k, n \geq 2.

Como \mathcal{R} es un anillo, la sucesión (B_n) está formada por elementos de dicho anillo que por su construcción son disjuntos dos a dos y verifican

B_n \subset A_n, ,  n=1,2, \ldots,

\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n.

Por tanto, aplicando la monotonía de toda premedida es

\mu (\cup_{n=1}^{\infty} A_n) = \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu (B_n) = \lim_{n} \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) \leq \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu(A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Esto prueba que toda premedida es numerablemente subaditiva.

(b)  implica (a). Sabemos que todo contenido sobre un anillo verifica

\mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n) \geq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Si el contenido fuera numerablemente subaditivo entonces se daría la desigualdad recíproca y concluiríamos la igualdad. Esto termina la demostración.

Los resultados más interesantes precisan de las nociones de sucesión de conjuntos y de límites de dichas sucesiones. Veremos estos detalles en la siguiente lectura.

Lectura 3. Más propiedades

Hemos visto en la lectura anterior que todo contenido sobre al menos un semianillo es monótono y finitamente subaditivo.  También hemos visto que si los contenidos se establecen sobre los anillos las demostraciones son más simples y aparecen algunas propiedades más. En muchos textos se parte de esta idea. Por ejemplo,  si \mathcal{R} es un anillo, se dice que una función \mu: \mathcal{R} \rightarrow [0,+ \infty] es una medida finita si:

(i) \mu (\emptyset) = 0.

(ii) Para todos A,B de \mathcal{R}, disjuntos, es \mu(A \cup B) = \mu(A)+ \mu(B).

Es fácil probar que en este caso medida finita y contenido son equivalentes.  En efecto, si A_1, A_2, \ldots, A_n son elementos de \mathcal{R}, disjuntos dos a dos, entonces si suponemos que para n-1 con n-1 \geq 1 es

\mu (\biguplus_{i=1}^{n-1} A_i) = \sum_{i=1}^{n-1} \mu (A_i),

resultará

\mu (\biguplus_{i=1}^{n} A_i) = \mu ((\biguplus_{i=1}^{n-1} A_i )\biguplus A_n) = \mu (\biguplus_{i=1}^{n-1} A_i) + \mu (A_n) = \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i) + \mu (A_n) = \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i).

Así por inducción concluimos la aditividad finita. Obsérvese que todos los elementos considerados y sus uniones pertenecen al anillo \mathcal{R}. Esto también es esencial en la demostración de la siguiente propiedad.

Sea \mathcal {R} un anillo y sea \mu una medida finita sobre dicho anillo. Para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de disjuntos dos a dos tales que \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{R} tenemos que

\sum_{n=1}^{\infty} \mu (A_n) \leq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n).

Demostración. Sabemos que toda medida aditiva (contenido en este caso) es finitamente aditiva y  monótona por lo que de

\biguplus_{k=1}^{m} A_k \subset \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n, m=1,2, \ldots

se sigue que

\sum_{k=1}^{m} \mu (A_k) \leq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n), m=1,2, \ldots.

Llevando al límite la desigualdad concluimos que

\sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) \leq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n).

Esto termina la demostración.

Esto permite afirmar que un contenido \mu sobre un anillo \mathcal{R} es una premedida si para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de elementos del anillo, disjuntos dos a dos, con \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{R}, se tiene que

\sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) \geq \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n).

Lectura 2. Primeras propiedades

Sea \mathcal{A} un semianillo y sea \mu: \mathcal{A} \rightarrow [0, + \infty] un contenido. Podemos afirmar entonces que dicho contenido es monótono y además finitamente subaditivo. Para probar esta afirmación precisaremos de algunas de las propiedades más características de los semianillos.

(a) Todo contenido es monótono. En efecto, sean A,B elementos del semianillo \mathcal{A} tales que A \subset B. Podemos escribir

B = A \biguplus (B-A).

Ahora bien, la diferencia B-A no pertenece necesariamente al semianillo \mathcal{A} pero podemos encontrar C_1, C_2, \ldots, C_n, elementos de \mathcal{A}, disjuntos dos a dos, y tales que B-A = \biguplus_{j=1}^{n} C_j. Por tanto,

B = A \biguplus (\biguplus_{j=1}^{n} C_j),

por lo que aplicando la aditividad finita del contenido y su carácter no negativo, tenemos

\mu(B) = \mu(A) + \sum_{j=1}^{n} \mu (C_j) \geq \mu(A).

Esto termina la demostración.

En el caso de que \mathcal{A} sea un anillo, si A,B \in \mathcal{A},  entonces  B-A pertenece al anillo \mathcal{A}. Por ello, si  A \subset B, entonces la igualdad ya vista

B = A \biguplus (B-A),

permite escribir \mu(B) = \mu(A)+ \mu(B-A) y la no negatividad del contenido nos lleva directamente a la monotonía. Además si añadimos la condición \mu(A) < + \infty, concluimos que

\mu(B)- \mu(A) = \mu(B-A),

pues restando \mu(A) a ambos miembros de la última igualdad no tendríamos ninguna indeterminación (recordemos que estamos trabajando en \mathbb{R} ampliado).

Veamos ahora la subaditividad. Su prueba es un poco más complicada.

(b) Todo contenido es finitamente subaditivo.

Consideremos A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n, elementos del semianillo \mathcal{A} y sea A = \cup_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A}. Definimos los conjuntos

B_1 = A_1

B_k = A_k - \cup_{j=1}^{k-1} A_j, k=2, \ldots, n.

Los elementos B_1, B_2, \ldots, B_n no pertenecen necesariamente al semianillo pero por su construcción son disjuntos dos a dos y verifican B_i \subset A_i, i=1,2, \ldots, n, \biguplus_{i=1}^{n} B_i = \cup_{i=1}^{n} A_i. Pero es más, la construcción de los B_i permite utilizar una propiedad de los subanillos mediante la cual cada B_i es unión disjunta de elementos C_{1}^{i}, \ldots, C_{r_{i}}^{i} pertenecientes al semianillo \mathcal{A}. Esto es,

B_i = \biguplus_{j=1}^{r_{i}} C_{j}^{i}, i=1,2, \ldots, n.

Por otro lado, tenemos que de B_i =\biguplus_{j=1}^{r_{i}} C_{j}^{i}\subset A_i para i=1,2, \ldots, n, concluimos que existen D_{1}^{i}, \ldots, D_{s_{i}}^{i}, pertenecientes a \mathcal{A} y disjuntos dos a dos, tales que

A_i = (\biguplus_{j=1}^{r_{i}} C_{j}^{i}) \biguplus (\biguplus_{j=1}^{s_{i}}D_{j}^{i}).

Esta igualdad es importante pues aplicando la aditividad finita vemos que

\mu(A_i) \geq \sum_{j=1}^{r_{i}} \mu (C_{j}^{i}), i=1,2, \ldots, n.

En efecto, resultará

\mu (\cup_{i=1}^{n} A_i) = \mu (\biguplus_{i=1}^{n} B_i) = \mu (\biguplus_{i=1}^{n} (\biguplus_{j=1}^{r_i} C_{j}^{i})) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{r_i} \mu (C_{j}^{i}) \leq \sum_{i=1}^{n} \mu (A_i).

Esto termina la demostración.

Sii partimos de un anillo, el resultado podría haberse obtenido de una forma más sencilla pues los conjuntos B_i pertenecen al anillo y bastaría aplicar la monotonía. Para acabar esta lectura vemos una última propiedad que se aplica a anillos y donde de nuevo apreciamos sus ventajas como soporte.

(c) Sea \mathcal{R} un anillo y sea \mu un contenido definido en dicho anillo. Para todos A,B \in \mathcal{R} es \mu (A \cup B) + \mu (A \cap B) = \mu (A) + \mu(B).

Sean A,B elementos del anillo \mathcal{R}, podemos escribir

A \cup B = A \biguplus (B-A),

B = (A \cap B) \biguplus (B-A),

por tanto

\mu (A \cup B) = \mu(A)+\mu(B-A),

\mu(B) = \mu(A \cap B) + \mu (B-A).

Si sumamos a la primera igualdad la cantidad \mu (A \cap B) y recordamos el valor de la segunda, vemos que

\mu (A \cup B) + \mu (A \cap B) = \mu(A)+ \mu (B-A) + \mu (A \cap B) = \mu (A)+ \mu (B).

Esto termina la demostración.