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Visión topológica del límite de sucesiones reales

La topología es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades que se mantienen inalteradas mediante transformaciones continuas. Su aplicación en el Análisis es fundamental y esclarecedora. En particular, vamos a ver cómo definir el límite de una sucesión de números reales de una manera topológica extremadamente sencilla.

Sea p un punto de la recta real. Un entorno de p de radio r >0 no es más que el intervalo

(p-r, p+r).

Una sucesión (a_n) de números reales se puede concebir como una lista ordenada e infinita de números reales

(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, a_{n+1}, \ldots ),

donde por supuesto pueden existir elementos repetidos (incluso infinitos elementos repetidos). Por ejemplo, la sucesión

(1,2,2,2,2,2,2, \ldots ),

cuyo término general es a_n =1 si n=1, a_n =2 si n \geq 2 .

Pues bien, una sucesión a_n es convergente a p o bien tiene por límite p si y sólo si para cada entorno de p podemos encontrar una infinidad de términos de la sucesión dentro de él y una cantidad finita fuera. En símbolos, para todo r>0 existe m tal que si n \geq m se tiene que

a_n \in (p-r, p+r).

Lo importante es que esto ocurra para cualquier r>0.

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