Graduate Record Examinations. Video 1

En la sección Pluma y Papel iremos resolviendo un test de Graduate Record Examinations. Este primer video corresponde a las preguntas 3 y 4.

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Un problemilla

Un único virus proveniente del espacio exterior ha llegado a la Tierra en el interior de un meteorito. Su particular química hace que para reproducirse necesite infectar al menos a dos bacterias terrestres y que una vez infectadas éstas, si no mueren en un período de dos minutos, dan lugar a 8 virus extraterrestres que siguen la misma pauta de comportamiento tanto temporal como de infección. Tras las dos primeras infecciones, la plaga se propaga mediante la expresión v_{n+2} = 3v_{n+1} -v_{n}, siendo v_{n} el número de virus extraterrestres en un momento dado y v_{n+1} y v_{n+2} el número de virus a los dos minutos y a los cuatro minutos después de dicho momento, respectivamente. Si suponemos que las dieciocho bacterias infectadas no mueren, ¿cuántos virus extraterrestres existen el cabo de dos horas y media?

Consulta binomio de Newton

Pregunta:  El siguiente binomio

(\frac{x^{n-7}}{y^{n+2}}+\frac{y^{2n-3}}{x^{3n-11}})^{n+10}

posee 16 términos. Hallar el termino onceavo de su desarrollo.

Respuesta: El binomio de Newton adopta la forma

(a+b)^m = \sum_{i=0}^{m} \binom{m}{i} a^{m-i} b^{i}

Veamos cómo quedaría al aplicarse a la expresión dada

(\frac{x^{n-7}}{y^{n+2}}+ \frac{y^{2n-3}}{x^{3n-11}})^{n+10}=

\sum_{i=0}^{n+10} \binom{n+10}{i} (\frac{x^{n-7}}{y^{n+2}})^{n+10-i} (\frac{y^{2n-3}}{x^{3n-11}})^{i} .

Ahora bien, suponemos que hay dieciséis términos en este desarrollo y que todos ellos son relevantes. Esto es, que no es posible simplificarlos a partir del desarrollo inicial. En ese caso, tenemos que (n+10)+1 = 16, de donde n=5  y, entonces, el término decimoprimero se obtiene haciendo i=10:

\binom{15}{10} (\frac{x^{-2}}{y^{7}})^{5} (\frac{y^{7}}{x^{4}})^{10}

Sólo restaría simplificar para obtener

\binom{15}{10} x^{-50} y^{35}.

 

Consulta sobre geometría

Estas son algunas respuestas para Karen Álvarez.

Pregunta 1: Los puntos A =(3,-2) y B=(3,6) son dos de los vértices de un cuadrado. Halla dos pares de puntos que puedan ser los otros dos vértices.

Respuesta:  Es fácil ver que los dos vértices que conocemos se hallan en el mismo lado pues comparten una coordenada (en este caso x=3). Esto nos permite hallar la longitud L  del lado del cuadrado mediante una simple operación:

L = \sqrt{(3-3)^2 + (6-(-2))^2} = 8.

Una vez tenemos la longitud del lado, la simetría nos lleva a considerar dos pares de posibles vértices. Un par se obtiene sumando 8 a cada una de las coordenadas x de los ya conocidos y el otro se obtiene restando 8. Así pues

C=(11, -2), D=(11,6),

E=(-5,6), F=(-5,-2).

cuadradin

 

Pregunta 2: Halla el punto extremo que hace falta en cada uno de los segmentos dados.
A)  un punto extremo es (0,0) y su punto medio es (5,-3).
B) un punto extremo es (-3,2) y su punto medio es (-1,5).

Respuesta: Recordemos que el punto medio de un segmento de extremos (a,b) y (c,d) es el punto

(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2}).

Por tanto, planteamos

A) (\frac{0+c}{2}, \frac{0+d}{2}) =(5,-3),

\frac{c}{2} = 5, \frac{d}{2} =-3,

c= 10, d=-3.

B) Se hace de forma análoga.

Pregunta 3: Dos vértices de una figura geométrica son (0,0) y (6,0) resuelve:
A) si la figura es un triángulo equilátero, ¿cual son las coordenadas del tercer vértice?
B) si la figura es un cuadrado, ¿cuales son las coordenadas de los otros dos vértices?

Respuesta:

A) Encontramos el punto medio del segmento determinado por A=(0,0) y B=(6,0). Es decir,

C =(\frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3,0).

Trazamos una recta perpendicular al segmento AB y que pase por dicho punto. Al ser una recta perpendicular el eje de abscisas, su ecuación es

x =3.

Para determinar el vértice del triángulo equilátero, bastará recordar que si la longitud del lado de dicho triángulo es a, la altura mide

h =\frac{a \sqrt{3}}{2}.

Por ello, como a = \sqrt{(6-0)^2+(0-0)^2}= 6. Resulta

h =\frac{6 \sqrt{3}}{2} =3 \sqrt{3},

y esa cantidad se la sumamos en la coordenada y, al punto (3,0), quedando

D= (3, 3 \sqrt{3}).

triangulin

 

B) Es similar a la primera pregunta.