Un ejemplo práctico de resolución de ecuación recíproca de grado cuatro

Las ecuaciones recíprocas son aquellas ecuaciones polinómicas que tienen una raíz junto con su inversa o recíproca (ver anterior post). Si el grado es impar vimos que una de sus raíces ha de ser 1 o -1 lo que facilita la reducción a un grado par. Por ello es interesante ejemplificar el procedimiento de resolución para grado par. Utilizaremos una ecuación de grado cuatro para no alargar nuestros desarrollos, pero las ideas empleadas son generales.

Sea la ecuación 2 x^{4}-9 x^{3}+14 x^{2}-9 x +2 = 0. Dicha ecuación es recíproca pues vemos que tiene los coeficientes equidistantes iguales y del mismo signo. Nuestro primer paso es dividir ambos miembros de la ecuación por x^{2}. Obtenemos

2 x^{2}-9 x + 14 - \frac{9}{x} + \frac{2}{x^{2}} = 0.

Agrupamos términos equidistantes

2(x^{2}+ \frac{1}{x^{2}})- 9 (x + \frac{1}{x}) +14 = 0.

Hacemos el cambio de variable z = x + \frac{1}{x} y sustituimos

2(z^{2} -2) -9 z +14 = 0.

Simplificamos

2z^{2} -9z + 10 =0.

Llegamos a una ecuación de segundo grado en z con soluciones

z = 2, \frac{5}{2}.

Sustituimos estos valores en la expresión del cambio de variable para obtener dos ecuaciones de segundo grado

2 x^{2} -5 x +2 =0,

x^{2}-2x+1 =0.

La primera de ellas tiene por soluciones x=2,\frac{1}{2} y la segunda tiene una raíz doble x =1. Obsérvese que, como esperábamos, las soluciones son cuatro, inversas entre sí:

x = 1, 1, x =2, \frac{1}{2}.

El lector puede comprobar que son correctas utilizando wolframalpha

Anuncios