Funciones monótonas (IV)

Sea I un intervalo no vacío de la recta real. Recordemos que la propiedad definitoria de un intervalo es que si a,b son elementos del intervalo con a <b, entonces existe un c de dicho intervalo que verifica a<c<b. Esto mismo puede trasladarse con ciertos matices a las funciones que se definan sobre intervalos. Así decimos que una función real f definida sobre un intervalo I verifica la propiedad del valor intermedio si para cualesquiera a,b \in I con a<b, si r es un valor entre f(a) y f(b), entonces hallaremos cierto x \in [a,b] que cumple f(x)=r.  Obsérvese que si f(a)=f(b)=r, bastará tomar a o b para que esto sea cierto y, en consecuencia, las funciones constantes verifican trivialmente la propiedad del valor intermedio. Lo más interesante de las funciones con esta propiedad es que transforman intervalos en intervalos (aunque no necesariamente del mismo tipo).

Teorema 1: Sea I un intervalo no vacío de la recta real y sea f:I \rightarrow \mathbb{R} una función que verifica la propiedad del valor intermedio. Entonces f(I) es un intervalo.

Prueba: Obviamente f(I) es no vacío. Si I consiste en un sólo punto entonces f(I) también consiste en un sólo punto y también es un intervalo. Supongamos que I tiene más de un punto y sean c,d elementos de f(I) con c<d. Hallaremos a,b \in I con f(a)=c y f(b)=d. Si r \in (c,d), la propiedad del valor intermedio nos asegura que existe un x \in I entre a y b (no preciso si uno es mayor que el otro) tal que f(x)=r, luego r=f(x) \in f(I) y f(I) es un intervalo.

Es fácil comprobar que no toda función monótona tiene la propiedad del valor intermedio. Por ejemplo, la gráfica siguiente nos muestra como una función monótona creciente transforma el intervalo [0,1] en dos subintervalos disjuntos.

monotona1

Vamos a probar que las funciones reales de variable real continuas verifican la propiedad del valor intermedio y, en consecuencia, transforman intervalos en intervalos. Primero necesitamos algunos resultados.

Teorema 2: Sea I un intervalo no vacío y sea f una función real continua en un punto p de I y con f(p) \neq 0. Entonces existe un \delta >0 tal que f(x) tiene el mismo signo que f(p) en (p-\delta, p+\delta) \cap I.

Prueba: Supongamos que f(p)>0. Como f es continua en p, dado \epsilon = \frac{f(p)}{2}, hallaremos \delta>0 tal que

x \in (p-\delta , p+\delta)\cap I  implica -\frac{f(p)}{2} < f(x)< \frac{f(p)}{2}.

Esto es, \frac{f(p)}{2} <f(x) < fra{3f(p)}{2} si x \in (p-\delta, p+\delta) \cap I, lo que prueba que en dicho entorno de p la función f(x) tiene el mismo signo que f(p). Si fuera f(p)<0, tomamos \epsilon = -\frac{f(p)}{2} y el desarrollo es análogo.

Teorema 3: (Bolzano). Sea [a,b] un compacto de la recta real y sea f una función real continua en dicho compacto y con f(a)f(b)<0 (extremos de distinto signo). Entonces hallaremos al menos un c \in (a,b) tal que f(c) = 0.

Prueba: Supongamos que f(a)>0 y f(b)<0. Definimos el conjunto

A = \{x \in [a,b]: f(x) \geq 0.

Es decir, los puntos del compacto donde la función es no negativa. Obviamente A es no vacío pues al menos a pertence a A. Además está acotado por b. Esto significa que existe  y es único el valor c= \sup A. Probaremos que f(c)=0. En efecto, si no fuera así, sería f(c)>0 y aplicando el teorema anterior, existiría un entorno de c donde f tendría signo positivo. Esto, es habría al menos un x_0>c que está en A. Esto contradice la definición de c por lo que no es posible. Del mismo modo, si fuera f(c)<0, hallaríamos un entorno (c-\delta, c+\delta) de c donde f es negativa. Ahora bien, por definición del supremo hallaríamos un x_0 \in A tal que c- \delta <x_0 <c. Pero esto no es posible pues para dicho x_0 sería f(x_0) \geq 0. Para evitar estas contradicciones concluimos que f(c)=0.

Teorema 4: Sea f una función real continua en un intervalo compacto [a,b]. Sean xx' dos puntos de [a,b] con x <x'. Entonces f toma todos los valores comprendidos entre f(x) y f(x').

Prueba: La continuidad en [a,b] implica la continuidad en [x,x']. Sea \alpha un número real comprendido entre f(x) y f(x'). Definimos la función g(x)=f(x)-\alpha y resulta continua en [x,x'] con g(x)g(x') <0. Aplicando el teorema de Bolzano, hallamos un x<c<x' tal que

g(c) =f(c) - \alpha =0.

Esto es, f(c) =\alpha.

Teorema 5: Sea I un intervalo no vacío ni reducido a un punto y sea f una función real continua en dicho intervalo. Entonces f(I) es un intervalo.

Prueba: Sean \alpha, \beta dos elementos de f(I). Si f(I) fuera un conjunto unipuntual no habría nada que probar. Supongamos que existen \alpha, \beta en f(I) con \alpha < \beta. Hallaremos a,b \in I, tales que f(a) = \alpha y f(b)= \beta. Ahora bien, es evidente que a \neq b por lo que podemos suponer sin pérdida de generalidad que a<b. Entonces la función f es continua en el compacto [a,b] \subset I y aplicando el teorema 4 concluimos que existe a<c<b tal que f(c) está comprendido entre \alpha y \beta.  Esto significa que f cumple la propiedad del valor intermedio y, en consecuencia, f(I) es un intervalo.

Podemos precisar más si el intervalo en cuestión es compacto. Pero eso lo veremos en la siguiente entrada de esta serie

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Funciones monótonas (III)

Vamos a estudiar las relaciones entre la monotonía y continuidad de las funciones reales de variable real. Esto precisa de un repaso de conceptos topológicos para hacer la exposición más clara y amplia.

Definición 1: Sean (X,T) e (Y,S) dos espacios topológicos y sea f:X \rightarrow Y una aplicación. Diremos que f es continua en X si para todo abierto V de S, su imagen inversa f^{-1}(V) es un abierto de T.

Esta es la definición de lo que podemos llamar continuidad global. También nos interesa la continuidad puntual.

Definición 2: Sean (X,T) e (Y,S) dos espacios topológicos, f una función de X en Y y x \in X. Decimos que f es continua en x si para todo entorno V de f(x) existe un entorno U de x que verifica f(U) \subset V.

Obsérvese la utilización de entornos en lugar de abiertos. Recordemos que un entorno de un punto x no es más que un conjunto que incluye a un abierto al que pertenece x. Además, según esta definición de continuidad puntual, en todo punto aislado resulta que f es continua. En efecto, si x_0 es un punto aislado de X, entonces existe un entorno U' tal que U' \cap X= \{x_0\}. Por tanto, dado cualquier entorno V de f(x_0), bastará tomar U' para que f(U') = \{f(x_0) \} \subset V.

Vamos a dar algunas condiciones equivalentes de continuidad.

Teorema 1: Sean (X,T) e (Y,S) dos espacios topológicos. Son equivalentes:
(1) f:X \rightarrow Y es continua en X.
(2) Para cada subconjunto A de X es f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}.
(3) Para cada cerrado B de Y es f^{-1}(B) un cerrado de X.

Prueba: (1) implica (2). Sea A un subconjunto de X. Supongamos que \overline{A} = \emptyset, entonces trivialmente \emptyset = f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}. Supongamos que \overline{A} es no vacío y sea x \in \overline{A}. Si V es un entorno de f(x), hallaremos un abierto \theta tal que f(x) \in \theta \subset V. Por tanto,

x \in f^{-1}(\theta) \subset f^{-1}(V).

Pero al ser f continua esto implica que f^{-1}(\theta) es abierto y f^{-1}(V) es un entorno de x. En consecuencia, f^{-1}(V) \cap A \neq \emptyset y de aquí

\emptyset \neq f(f^{-1}(V) \cap A) \subset f^(f^{-1}(V)) \cap f^{-1}(A) \subset V \cap f^{-1}(A).

Es decir, todo entorno de f(x) corta a f(A) por lo que f(x) \in \overline{f(A)}. Como es claro que f(x) \in f( \overline{A}), concluimos pues la inclusión buscada: f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}.

(2) implica (3). Sea B un cerrado de Sy sea A=f^{-1}(B). Como

f(A) = f(f^{-1}(B)) \subset B,

resulta que si x \in \overline{A}, entonces

f(x) \in f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)} \subset \overline{B} = B.

Esto prueba que x \in f^{-1}(B) =A y por ello A contiene todos sus puntos adherentes y es cerrado.

(3) implica (1). Sea \theta un abierto de S. Entonces Y-\theta es abierto y tenemos que

f^{-1}(Y-\theta) = X- f^{-1}(\theta)

es cerrado. En consecuencia, f^{-1}(\theta) es abierto y la función f es continua.

Para acabar esta entrada nos queda relacionar la continuidad global y la puntual

Teorema 2: Sean (X,T) e (Y,S) dos espacios topológicos. Son equivalentes:

(a) f:X \rightarrow Y es continua en todo punto x \in X.

(b) f:X \rightarrow Y es continua en X.

Prueba:

(a) implica (b). Sea \theta un abierto de S. Sea x \in f^{-1}(\theta). Hallaremos que f(x) \in \theta y existe un entorno abierto U_x del punto x tal que

f(U_x) \subset \theta.

Es decir,

x \in U_x \subset f^{-1}(\theta).

Hacemos esto para cada punto de f^{-1}(\theta) quedando

\cup_{x} U_x = f^{-1}(\theta)

y así f^{-1}(\theta) es abierto al ser unión de abiertos. Esto nos permite afirmar que f es continua en X.

(b) implica (a). Sea f continua en X y sea x un punto de X y V un entorno de f(x). Hallaremos pues un abierto \theta de S tal que

f(x) \in \theta \subset V.

Luego

x \in f^{-1}(\theta) \subset f^{-1}(V).

Como f es continua, resulta que f^{-1}(\theta) es un abierto y f^{-1}(V) un entorno de x. Para acabar

f(f^{-1}(V)) \subset V.

Esto prueba que U=f^{-1}(V) es un entorno de x que cumple la definición de continuidad puntual y así f es continua en x.

En la próxima entrada veremos que ocurre con las funciones continuas y los compactos.

Funciones monótonas (I)

Sean (A, \leq) y (B,\preceq) dos conjuntos parcialmente ordenados. Una aplicación

f:A \rightarrow B

se dice que es monótona creciente si para cualesquiera a,a' de A, a \leq a' implica f(a) \preceq f(a'). En el caso de que a \leq a' implique f(a') \preceq f(a) se dirá que f es monótona decreciente. Obsérvese que esta definición no es más que la idea de la “conservación” del orden a través de la aplicación.
Veamos dos conjuntos A=\{a_1,a_2,a_3\} y B=\{b_1, b_2, b_3, b_4 \} cuyos órdenes parciales están descritos mediante diagramas de Hasse
AyB
La aplicación f:A \rightarrow B dada por
f(a_1) =b_1, f(a_2)=b_2, f(a_3)=b_3
AyB-1

no es monótona pues a_1 \leq a_3 pero f(a_1) = b_1 no es comparable con f(a_3)= b_3.

En general, vamos a aplicar estos conceptos a la recta real y subconjuntos de ésta, considerando el orden usual. Así, si A es un subconjunto no vacío de \mathbb{R} y
f:A \rightarrow \mathbb{R}
es una función, entonces f es monótona creciente si y sólo si para cada par x_1,x_2 de elementos de A tales que x_1 \leq x_2 es f(x_1) \leq f(x_2). En el caso de que x_1 < x_2 implique f(x_1) \leq f(x_2) diremos que es monótona no decreciente y en el caso de que x_1 < x_2 implique f(x_1) < f(x_2) diremos que es estrictamente creciente. De forma análoga podemos definir las funciones decrecientes, monótonas no crecientes y estrictamente decrecientes.

Un primer resultado relaciona las funciones estrictamente monótonas y las inyectivas.

Teorema: Toda función real de variable real estrictamente monótona es inyectiva. Por tanto, tiene una inversa que también es estrictamente monótona en el mismo sentido que la original.
Prueba: Sea A un subconjunto no vacío de la recta real y sea f una función real definida en A y estrictamente creciente en dicho conjunto. Entonces dados x_1, x_2 \in A con x_1 \neq x_2, tenemos que x_1 < x_2 o bien x_2 <x_1 (en virtud del orden total de \mathbb{R}). Por tanto, f(x_1) < f(x_2) o bien f(x_2) < f(x_1) lo que nos dice que la función es inyectiva. Sea g:B \rightarrow A la inversa de f. Consideremos y_1 <y_2, elementos de B y sean x_1=g(y_1) y x_2 = g(y_2). Si fuera g(y_1) \geq g(y_2), entonces x_1 \geq x_2 y por ello y_1 = f(x_1) \geq f(x_2)= y_2. Esto contradice nuestra suposición inicial por lo que g(x_1) < g(x_2) y g también es estrictamente creciente. Similares argumentos podemos emplear para el caso de funciones estrictamente decrecientes.

Sin embargo, existen funciones que son inyectivas pero no estrictamente monótonas. Por ejemplo, la función real de variable real definida en (0,1) mediante
f(x) = x, si x es racional,
f(x) = 1-x, si x es irracional.
De hecho no existe ningún subintervalo de su dominio donde sea monótona.