Solución ejercicio espacio vectorial

Respondiendo al correo de consultas de hoy, voy a resolver el siguiente ejercicio:

Captura de pantalla de 2015-11-25 19-29-53

En primer lugar, debemos recordar que una base de Hamel (o base algebraica) de un espacio vectorial es una familia de vectores de dicho espacio que es linealmente independiente y que genera dicho espacio.  El cardinal de la familia de vectores de cualquier base es siempre el mismo y se llama dimensión del espacio vectorial. En el caso de que el cardinal sea finito diremos que el espacio vectorial es de dimensión finita y entonces podemos dar una serie de resultados más sencillos de entender y manejar:

  1. En un espacio vectorial V de dimensión n, todo sistema linealmente independiente tiene como máximo n vectores.
  2. En un espacio vectorial V de dimensión n, todo sistema linealmente independiente con n vectores es una base.

En nuestro problema vamos a utilizar el segundo resultado. En efecto, si B=(v_1, \ldots, v_n) es una base de V, entonces la dimensión de V es n y bastará probar que (u_1, u_2, \ldots, u_n) es una familia de vectores linealmente independientes para concluir que son una base de V. ¿Cómo hacemos esto? Pues planteando la combinación lineal trivial
\sum_{j=1}^{n} \lambda_i u_i =0.
En nuestro caso,
\sum_{j=1}^{n} \lambda_i (\sum_{i=1}^{j} v_i).
Esto parece muy difícil en notación de sumatorios pero en realidad es
\lambda_1 v_1 + \lambda_2 (v_1+v_2) + \ldots + \lambda_n (v_1+ \ldots v_n) =
(\lambda_1+ \ldots + \lambda_n)v_1 + \lambda_2 (v_2+ \ldots + v_n)+ \ldots + \lambda_n v_n =0.
Como v_1, v_2, \ldots, v_n son linealmente independientes (recordemos que son una base), entonces
\lambda_n =0,
\lambda_{n-1}+ \lambda_n = 0,
\ldots ,
\lambda_1 + \lambda_2 + \ldots + \lambda _n = 0.
Es decir, obtenemos un sistema homogéneo cuya única solución es
\lambda_1 = \lambda_2 = \ldots = \lambda_n =0.
Esto prueba que B' =(u_1, u_2, \ldots, u_n) es linealmente independiente y por ello, aplicando el resultado 2, es una base.

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Ejercicios resueltos. (Carothers) (5)

Carothers-10-11 Solución:

10.  Observemos que todos los términos de esta sucesión son positivos. Esto es importante pues nos permite plantear desigualdades que de otra forma no tendrían sentido. Pobaremos que esta sucesión está acotada superiormente por 2. Lo haremos por inducción sobre n. Para n=1 es inmediato que a_n = \sqrt{2} \leq 2. Sea cierto para n dado, entonces a_n \leq 2 y de aquí a_{n+1} = \sqrt{2a_n} \leq \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{4} = 2. Por tanto, a_n \leq 2 para todo n. Veamos que es una sucesión creciente. Para ello utilizamos la acotación ya demostrada y de ella deducimos que

\sqrt{a_n} \leq \sqrt{2}.

Multiplicando ambos miembros por \sqrt{a_n} y simplificando, obtenemos

a_n =\sqrt{a_n} \sqrt{a_n} \leq \sqrt{2} \sqrt{a_n} = \sqrt{2 a_n} = a_{n+1}.

Al ser la sucesión creciente y acotada superiormente tiene límite en la recta real y su valor es el supremo del rango de la sucesión. Para determinarlo vamos a transformar la expresión recurrente en una expresión explícita. Vemos que

a_1 = 2^{1/2}, \quad a_2 = (2 \cdot 2^{1/2})^{1/2} = 2^{1/2} \cdot 2^{1/4} = 2^{1/2 + 1/4}, a_3 = (2 \cdot 2^{1/2 + 1/4})^{1/2} = 2^{1/2} 2^{1/4 + 1/8} = 2^{1/2 + 1/4 + 1/8}.

Podemos concluir que la expresión explícita será a_n = 2^{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k}}}. En efecto, esta afirmación se puede probar por inducción de forma sencilla (dejamos esto en manos del lector).

En este punto, debemos recordar la expresión de la suma de n términos de una progresión geométrica x_n, de razón r:

x_1 + x_2 + \ldots + x_n = \frac{x_1 -r x_n}{1-r}.

Como x_n = (\frac{1}{2})^{n} es una progresión geométrica de razón \frac{1}{2}, podemos simplificar más aún la fórmula explícita aplicando la fórmula anterior. Quedará entonces

a_n = 2^{\frac{1/2 - (1/2)^{n+1}}{1/2}} = 2^{1-(\frac{1}{2})^n}.

Si hacemos el límite de esta expresión obtenemos

\lim_n a_n = 2^{\lim_n 1-(\frac{1}{2})^{n}} = 2.

11. Veremos que la sucesión x_n está acotada. Para ello la relación de recurrencia se puede simplificar de manera que

x_{n}^2-2 x_{n+1} x_n+a = 0, para todo n. (1)

Esto significa que el valor real x_n satisface dicha ecuación y esto sólo será posible si el discriminante de dicha ecuación es positivo:

\Delta = 4 x_{n+1}^2 - 4a \geq 0. (2)

Es decir, x_{n+1}^2 \geq a, x_{n+1} \geq \sqrt{a}. (3)

Como x_1 > \sqrt{a}, será entonces x_n \geq \sqrt{a}, para todo n.

Ahora veremos que es monótona decreciente. En efecto, planteamos

x_{n+1} -x_{n} = \frac{1}{2} (x_n +\frac{a}{x_n}) - x_n =\frac{a}{x_n}-\frac{x_n}{2} = \frac{a -x_{n}^2}{ 2 x_n}.

Como el denominador x_n es positivo y el numerador a-x_{n}^2 es negativo (ver (2),) el cociente es negativo y la sucesión es decreciente.  Con todo lo visto ya sabemos que tiene límite y que dicho límite es el ínfimo de su rango. Para calcularlo, utilizamos de nuevo la aritmética de los límites y despejamos su valor en la ecuación de recurrencia (1). Esto, es si \lim_n x_{n} = l, entonces

\lim_n (x_{n}^{2} -2 x_{n+1} x_{n} +a) = l^2 -2 l^2 +a = 0.

Esto es, a-l^2 = 0 y l = \sqrt{a}.