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La generación de la sigma-álgebra de Borel en la recta

Sabemos que la \sigma-álgebra de Borel de la recta real es la generada por los abiertos de la topología usual. Existen otras clases que generan dicha \sigma-álgebra. A continuación esbozo una demostración de este hecho.

Las siguientes clases de partes de \mathbb{R} generan la \sigma-álgebra de Borel:

[(a)] La clase \mathcal{C}_1 de los intervalos abiertos (a,b).
[(b)] La clase \mathcal{C}_2 de los intervalos cerrados [a,b].
[(c)] La clase \mathcal{C}_3 de los conjuntos cerrados.
[(d)] La clase \mathcal{C}_4 de los conjuntos compactos.
[(e)] La clase \mathcal{C}_5 de las bolas abiertas B(q,r), donde q es racional y r>0 también es racional.
[(f)] La clase \mathcal{C}_6 de los intervalos (a,b].
[(g)] La clase \mathcal{C}_7 de los intervalos [a,b).
[(h)] La clase \mathcal{C}_8 de los intervalos no acotados (-\infty,b).

(a). Recordemos que todo intervalo (a,b) con a \leq b es un abierto. Por tanto,
\mathcal{C}_{1} \subset \mathbb{B},
luego
\sigma(\mathcal{C}_{1}) \subset \mathbb{B}.
Pero todo abierto A de la topología usual es unión numerable y disjunta de intervalos abiertos. Por tanto, si T es la topología usual en \mathbb{R}, tenemos
T \subset \sigma(\mathcal{C}_{1})
y de aquí
\mathbb{B} = \sigma(T) \subset \sigma(\mathcal{C}_{1}).
Luego \sigma(\mathcal{C}_{1})= \mathbb{B}.
(b). Dados a \leq b, tenemos
[a,b]^c = (-\infty,a) \cup (b,+\infty)
por lo que concluimos que [a,b] \in \mathbb{B}, luego \mathcal{C}_{2} \subset \mathbb{B} y de aquí
\sigma (\mathcal{C}_{2}) \subset \mathbb{B}.
Observemos que
[a,b) = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigg[ a, b- \frac{1}{n} \bigg], \quad  (a,b] = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigg[ a+ \frac{1}{n}, b \bigg].
Por tanto,$[a,b)$ y (a,b] son elementos de \sigma(\mathcal{C}_2) y, en consecuencia,
(a,b) = [a,b) \cap (a,b]
es un elemento de \sigma(\mathcal{C}_{2}), por lo que \mathcal{C}_1 \subset \sigma(\mathcal{C}_2) y esto implica que \mathbb{B} \subset \sigma(\mathcal{C}_2). Esta doble inclusión lleva a la igualdad \sigma(\mathcal{C}_2) = \mathbb{B}.
(c). Veamos ahora la clase de los conjuntos cerrados. Sea C un conjunto cerrado de la topología usual de la recta real, entonces su complementario A = \mathbb{R}-C es abierto, por lo que C \in \mathbb{B}, luego \mathcal{C}_3 \subset \mathbb{B} y de aquí
\sigma(\mathcal{C}_3) \subset \mathbb{B}.
Recíprocamente, si A es un abierto de la topología usual, su complementario C=\mathbb{R}-A es cerrado y A \in \sigma(\mathcal{C}_3), luego T \subset \sigma(\mathcal{C}_3) y concluimos que
\mathbb{B} \subset \sigma(\mathcal{C}_3).
La doble inclusión lleva a la igualdad.
(d). Sea \mathcal{C}_4 la clase de todos los compactos. Todo compacto de la topología usual de la recta es cerrado y acotado por lo que \mathcal{C}_4 \subset \mathcal{C}_3 y, en consecuencia
\sigma(\mathcal{C}_4) \subset \sigma(\mathcal{C}_3) =\mathbb{B}.
Sea C un cerrado y consideremos la familia (\overline{B(0,n)})_{n\in \mathbb{N}}. Esta familia está formada por conjuntos cerrados y acotados (compactos). Vemos que
C \cap \overline{B(0,n)}, \quad n=1,2,\ldots
son compactos (pues cada uno de ellos es intersección de cerrados y está acotado). Finalmente,
C = \cup_{n \in \mathbb{N}} (C \cap \overline{B(0,n)}).
Esto prueba que C \in \sigma(\mathcal{C}_4) y de aquí \mathcal{C}_3 \subset \sigma(\mathcal{C}_4) y \mathbb{B}= \sigma(\mathcal{C}_3) \subset \sigma(\mathcal{C}_4). La doble inclusión lleva a la igualdad.
(e). Sabemos que toda bola B(q,r) con q,r \in \mathbb{Q} es un abierto y de aquí \mathcal{C}_5 \subset T y por ello
\sigma(\mathcal{C}_5) \subset \mathbb{B}.
Sean a,b \in \mathbb{R} con a < b y sea (a,b). Entonces \mathbb{Q} \cap (a,b) es no vacío y numerable. Podemos escribir
\mathbb{Q} \cap (a,b) = \{q_1, q_2, \ldots, q_n, \ldots \}.
Tomamos 0<r_n < \min \{|q_n-a|, |q_n-b| \}, para n=1,2, \ldots. Esta elección nos permite afirmar que
(a,b) = \bigcup_{n \geq 1} B(q_n, r_n).
Por tanto, (a,b) \in \sigma(\mathcal{C}_5) y de aquí \mathcal{C}_1 \subset \sigma(\mathcal{C}_5) y \mathbb{B}= \sigma(\mathcal{C}_1) \subset \sigma(\mathcal{C}_5).
(f). Sea \mathcal{C}_6 la clase formada por los intervalos de la forma (a,b] con a \leq b. Vemos que si a=b es (a,b]= \emptyset y si a <b es
(a,b] = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigg(a,b+\frac{1}{n} \bigg).
Esto prueba que \mathcal{C}_6 \subset \mathbb{B} y, en consecuencia, \sigma(\mathcal{C}_6) \subset \mathbb{B}. Por otro lado,
[a,b] = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigg( a-\frac{1}{n}, b \bigg].
Por lo que [a,b] \in \sigma(\mathcal{C}_6). Esto significa que \mathcal{C}_2 \subset \sigma(\mathcal{C}_6), de donde
\mathbb{B}= \sigma (\mathcal{C}_2) \subset \sigma(\mathcal{C}_6).
Es decir, \mathbb{B}= \sigma(\mathcal{C}_6).
(g). Utilizamos el mismo razonamiento que en (h) con las igualdades
[a,b) = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigg(a-\frac{1}{n}, b \bigg),
[a,b] = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigg[a, b+\frac{1}{n} \bigg).
(h) Sea la clase \mathcal{C}_8 = \{ (-\infty, b): b \in \mathbb{R} \}. Como todo elemento de dicha clase es un abierto se concluye de forma inmediata que
\sigma(\mathcal{C}_8) \subset \mathbb{B}.
Por otro lado,
(-\infty,a] = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigg( -\infty, a+\frac{1}{n} \bigg),
lo que prueba que (-\infty,a]  \in \sigma(\mathcal{C}_8) y también su complementario (a,+\infty) pertenece a \sigma(\mathcal{C}_8). En consecuencia, si a<b, es
(a,b)=(-\infty,b) \cap (a,+\infty)
y resulta que (a,b) \in \sigma(\mathcal{C}_8) por lo que \mathcal{C}_1 \subset \sigma(\mathcal{C}_8) y \mathbb{B}= \sigma(\mathcal{C}_1) \subset \sigma(\mathcal{C}_8). La doble inclusión lleva a la igualdad buscada.

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Estructura de los anillos de Boole generados por una clase no vacía

Supongamos que \mathcal{M} es una clase no vacía de partes de un conjunto X. Denotamos por \mathcal{R}(\mathcal{M}) al anillo de Boole generado por dicha clase. Sabemos que dicho anillo siempre existe y es el mínimo en sentido inclusivo que contiene a la clase \mathcal{M}, pero ¿podemos dar alguna caracterización de cómo se forma? En principio, si la clase \mathcal{M} es un semianillo, sabemos que \mathcal{R}(\mathcal{M}) es el conjunto de las uniones finitas disjuntas de elementos de  \mathcal{M} pero me temo que en el caso general no hay una forma clara de obtenerlo. El siguiente resultado esboza una forma que admito que no es muy práctica pero puede ser útil para algunos casos.

Sea la clase no vacía  \mathcal{M}. Llamaremos H_0 a dicha clase y supondremos que \emptyset \in H_0.  La clase H_1 es el conjunto de las uniones finitas de diferencias de elementos de H_0, la clase H_2 es el conjunto de las uniones finitas de diferencias de elementos de H_1 y así sucesivamente. Obtenemos pues una sucesión recurrente H_n de clases. Como H_0 es no vacía. Dado A \in H_0 es A-\emptyset = A un elemento de H_1. Análogamente, si B es un elemento de H_1, entonces B-\emptyset = B \in H_2 y así H_0 \subset H_1 \subset H_2. En general,

H_0 \subset H_1 \subset H_2 \subset \ldots \subset H_n \subset H_{n+1} \subset \ldots .

Probaremos que la unión

S = \cup_{n=0}^{\infty} H_n

es el anillo generado por \mathcal{M}. En primer lugar, es claro que

\mathcal{M} \subset \cup_{n=0}^{\infty} H_n \subset \mathcal{R} (\mathcal{M}),

pues por definición H_0 = \mathcal{M} y además todo anillo es cerrado para la unión finita y la diferencia de sus elementos. En segundo lugar, si C y D son elementos de S, hallaremos que pertenecen a ciertos H_j y H_k de la sucesión creciente. Por tanto, si r = \max \{j,k \} , ambos pertenecerán a H_{ r }. En consecuencia,

C-D \in H_{r+1} \subset S,

C \cup D = (C- \emptyset) \cup (D- \emptyset) \in H_{r+1} \subset S.

Esto prueba que S es cerrado para la diferencia y la unión finita y, por tanto, es un anillo. Así pues

\mathcal{R}(\mathcal{M}) \subset S

y esta inclusión junto con la anterior nos muestra que

\mathcal{R}(\mathcal{M}) = S.

Sobre semianillos de conjuntos y operaciones finitas

Una clase o familia de partes de un conjunto X es un semianillo si contiene al vacío, es cerrada para la intersección finita y la diferencia de dos de sus elementos se puede expresar como unión finita disjunta de elementos de la misma clase. Un ejemplo de semianillo muy utilizado es el de la clase de los intervalos de la recta real de la forma

]a,b],

donde a y b son números reales con a \leq b. Otro ejemplo de semianillo es el de los intervalos

[a,b[

y también es un semianillo la clase de todos los intervalos (abiertos, cerrados, semiabiertos, vacíos, acotados, no acotados, etc.). Sin embargo, la clase

\mathcal{C} = \{ [a,b] : a \leq b \} \cup \emptyset

no es un semianillo. Basta ver que si a < c <b < d, entonces

[a,b]-[c,d] = [a,c[

y [a,c[ no puede expresarse como unión finita y disjunta de intervalos cerrados. Sin embargo, sí puede expresarse como unión numerable de intervalos cerrados aunque no disjunta. Basta observar que

\cup_{n=1}^{\infty} [a, c-\frac{1}{n}] = [a,c[.

Yendo un paso más allá podríamos preguntarnos si es posible encontrar una sucesión disjunta de intervalos cerrados cuya unión fuera el intervalo [a,c[.

Sucesiones disjuntas de conjuntos y convergencia.

Una sucesión (A_{n})_{n} de subconjuntos de un conjunto X, se dice que es convergente si coinciden sus límites inferior y superior. Recordemos que tales límites se pueden definir mediante operaciones conjuntistas:

\lim \inf A_{n} = \cup_{n=1}^{\infty}(\cap_{k=n}^{\infty} A_{k}),

\lim \sup A_{n} = \cap_{n=1}^{\infty}(\cap_{k=n}^{\infty}A_{k}).

 Vamos a probar que cuando la sucesión está formada por conjuntos disjuntos converge y lo hace al conjunto vacío.

Sea (A_{n})_{n} una sucesión disjunta de partes de X. Definimos la sucesión
D_{n} =\cup_{k=n}^{\infty} A_{k}.
Sabemos que esta sucesión D_{n} es decreciente por su misma construcción y que \lim \sup A_{n} = \lim D_{n}= \cap_{n=1}^{\infty} D_{n}. Probaremos que esta intersección es vacía. Supongamos que x \in \cap_{n=1}^{\infty} D_{n}, entonces x \in D_{1} y hallaremos i \geq 1, tal que x \in A_{i}, pero también x \in D_{i+1}, lo que implica que existe A_{j} con j > i para el que x \in A_{j}. Esto contradice el carácter disjunto de la sucesión (A_{n})_{n} y por tanto, la intersección es vacía. Es decir,
\lim \sup A_{n} = \cap_{n=1}^{\infty} D_{n} = \emptyset
Como \lim \inf A_{n} \subset \lim \sup A_{n}, también es \lim \inf A_{n} = \emptyset. Al coincidir límite superior e inferior, la sucesión disjunta es convergente al vacío.

El método de los buenos conjuntos

Como paso previo a la demostración del teorema de las clases monótonas se suele utilizar el resultado de que si \mathcal{R} es un anillo (álgebra) sobre un conjunto X, la clase monótona generada por dicho anillo \mathcal{M}(\mathcal{R}) es también un anillo (álgebra). En la prueba de este enunciado se ejemplifica de manera muy interesante el método llamado de “los buenos conjuntos”.  Veamos la demostración.

Todo anillo contiene al conjunto vacío por lo que \mathcal{M}(\mathcal{R}) es una clase no vacía. Para probar que dicha clase es un anillo utilizaremos el método de los buenos conjuntos. Empezaremos definiendo la clase
\mathcal{U} =\{ A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) : A' \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) \}.
(donde A' designa el complementario de A). Esta clase contiene al anillo \mathcal{R} y si (A_{n})_{n} es una sucesión monótona creciente de elementos de \mathcal{U}, entonces \cup_{n} A_{n} \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), y la sucesión (A'_{n})_{n} será decreciente y estará formada también por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}) por lo que
(\bigcup_{n} A_{n})' = \bigcap_{n} A_{n}' \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
Si consideramos una sucesión decreciente (B_{n})_{n} de elementos de \mathcal{U}, el resultado es análogo. Esto significa que \mathcal{U} es una clase monótona que incluye a \mathcal{R} por lo que \mathcal{U}=\mathcal{M} (\mathcal{R}) y la clase monótona es cerrada para el paso al complementario. Sea la clase
\mathcal{E} = \{ A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) : A \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), \forall B \in \mathcal{R} \}.
Probaremos que es una clase monótona. En primer lugar, \mathcal{R} \subset \mathcal{E}, pues el anillo es cerrado para la unión finita. Sea (A_{n})_{n} una sucesión creciente de elementos de \mathcal{E}. Entonces, \cup_{n} A_{n} pertenece a \mathcal{M}(\mathcal{R}), la sucesión (A_{n} \cup B)_{n}, con B \in \mathcal{R}, está formada por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}) y también es creciente por lo que
\bigcup_{n} (A_{n} \cup B) = (\bigcup_{n} A_{n})\cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
Es decir, \cup_{n} A_{n} \in \mathcal{E}. Para el caso de una sucesión decreciente (B_{n})_{n} de elementos de \mathcal{E}, es \cap_{n} B_{n} un elemento de \mathcal{M}(\mathcal{R}), la sucesión (B_{n} \cup B)_{n}, con B \in \mathcal{R}, también es decreciente y está formada por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}), luego
\bigcap_{n}(B_{n} \cup B) = (\bigcap_{n} B_{n}) \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
En consecuencia, \cap_{n} B_{n} \in \mathcal{E}. Eso prueba que \mathcal{E} es clase monótona y, por su definición, \mathcal{E} = \mathcal{M}(\mathcal{R}). Para acabar, definimos la clase
\mathcal{D} = \{ B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}): A \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), \forall A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) \}.
Entonces, por lo demostrado para la clase \mathcal{E}, se tiene que \mathcal{R} \subset \mathcal{D}. Sólo nos restará probar que es una clase monótona. Sea (B_{n})_{n} una sucesión creciente de elementos de \mathcal{D}. Por definición, \cup_{n} B_{n} \in \mathcal{M}(\mathcal{R}). La sucesión ( A \cup B_{n})_{n}, para A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), será también creciente y además

\bigcup_{n} (B_{n} \cup A) = (\bigcup_{n} B_{n}) \cup A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).

Es decir, \cup_{n} B_{n} \in \mathcal{D}. Para el caso de una sucesión decreciente, la prueba es análoga. Como \mathcal{D} es una clase monótona que contiene a \mathcal{R} y está contenida en \mathcal{M}(\mathcal{R}), concluimos que \mathcal{D} = \mathcal{M}(\mathcal{R}) y \mathcal{M}(\mathcal{R}) es cerrada para la unión. Esto era lo que nos restaba para probar que \mathcal{M}(\mathcal{R}) es un anillo.
En el caso de que el punto de partida sea un álgebra el resultado es análogo pues sólo faltaría comprobar que el conjunto X pertenece a \mathcal{M}(\mathcal{R}). Pero esto es inmediato, pues si \mathcal{R} es un álgebra, entonces X \in \mathcal{R} \subset \mathcal{M}(\mathcal{R}).

Más sobre anillos de conjuntos

Me surgió un problema relativo al carácter del producto cartesiano de anillos de conjuntos. Como no daba con la clave consulté en el estupendo foro del rincón matemático y Tanius fue muy amable al darme un contraejemplo.  Esta es la argumentación que he podido pergeñar:

Sean \mathcal{R}_{1} y \mathcal{R}_{2} anillos sobre X e Y, respectivamente. La clase \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2}, ¿es un anillo sobre X \times Y?
Todo anillo es semianillo por lo que es claro que \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2} es un semianillo y contendrá al vacío y será cerrado para la intersección finita. Sin embargo, no siempre es un anillo como podemos ver mediante un contraejemplo. Sean
\mathcal{R}_{1} = \{ \emptyset,\{1\}, \mathbb{N}-\{1 \}, \mathbb{N} \},
\mathcal{R}_{2} = \{ \emptyset,\{2\}, \mathbb{N}-\{2 \}, \mathbb{N} \}.
Ambas clases son anillos sobre los naturales. La clase \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2} contiene a los conjuntos (\mathbb{N}- \{1\}) \times (\mathbb{N} -\{2 \}) y \{(1,2) \}. Pero su unión es
A= (\{2,3, \ldots, n, \ldots \} \times \{1,3,4, \ldots, m, \ldots, \}) \cup \{(1,2) \}
Veamos que tal unión no pertenece al producto cartesiano de las clases. Los elementos de \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2} son

\emptyset, \{(1,2)\}, \{1\} \times (\mathbb{N}- \{2\}), \{1\} \times \mathbb{N}, (\mathbb{N}-\{1\}) \times \{2\},
(\mathbb{N}-\{1\}) \times (\mathbb{N}-\{2\}), (\mathbb{N}-\{1\})\times \mathbb{N}, \mathbb{N} \times \{2\}, \mathbb{N} \times (\mathbb{N}- \{2\}),\mathbb{N} \times \mathbb{N}.

Pero el conjunto A no es ninguno de ellos como el lector puede comprobar. Así pues, el producto cartesiano de anillos (o de álgebras) no es siempre un anillo (o álgebra).

Demostración sobre producto cartesiano de semianillos de conjuntos

Sea X un conjunto no vacío. Una colección de subconjuntos de X es un semianillo sobre X si contiene al vacío, es cerrada para la intersección finita y además la diferencia de dos cualesquiera de los elementos de la colección resulta expresable mediante unión finita y disjunta de elementos de la misma colección.

Si queremos probar que dados \mathcal{S}_{1}, semianillo sobre X y \mathcal{S}_{2} semianillo sobre Y, su producto cartesiano

\mathcal{S}_{1} \times \mathcal{S}_{2} = \{ A \times B: A \in \mathcal{S}_{1}, B \in \mathcal{S}_{2} \} ,

es un semianillo sobre X \times Y, necesitamos hacer uso de una interesante propiedad de la diferencia de productos cartesianos. En concreto, necesitaremos probar que para A, C \in X y B,D \in Y, se tiene que

(A \times B)-(C \times D) = (A \times (B-D)) \cup ((A-C) \times B) .

He encontrado una interesante demostración en Proof Wiki.