Archivos Mensuales: marzo 2013

Curioso ejercicio de límites superior e inferior

Sabemos que los números racionales de la recta real forman un conjunto numerable. Por ello existe una enumeración en la forma \mathbb{Q} = \{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \ldots \}. Es importante saber que tal enumeración no implica una ordenación x_{1} < x_{2}< \ldots <x_{n} < \ldots . Tan sólo es el resultado de una aplicación biyectiva f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}. El siguiente ejercicio es una cuestión de límites superior e inferior de conjuntos pero en su resolución se ha tenido en cuenta este hecho. Se trata de considerar la sucesión de intervalos de la recta real dada por

A_{n} =(x_{n}-1, x_{n}+1), n=1,2, \ldots,

donde x_{n} es el enésimo racional de una enumeración de los racionales. Se nos pide el límite superior e inferior de dicha sucesión.

Supongamos que x pertenece al límite inferior de la sucesión (A_{n})_{n}, entonces x pertenece a todos los elementos de la sucesión, excepto quizás a un número finito de ellos. Es decir, hallaremos un n_{0} tal que x \in A_{n} si n \geq n_{0}. Teniendo en cuenta la definición de la sucesión, esto significa que

x_{n}-1 < x < x_{n}+1 si n \geq n_{0}.

De manera equivalente

|x-x_{n}| <1, para todo n \geq n_{0}.

Ahora es cuando hay que tener cuidado con lo que significa considerar la enumeración de los racionales de n_{0} en adelante. La primera consecuencia de la desigualdad anterior es que

|x_{n}-x_{n_{0}}| = |x_{n}-x+x-x_{n_{0}}| \leq |x_{n}-x|+|x-x_{n_{0}}| <2,

si n es mayor que n_{0}. Lo que nos lleva a que \{x_{n_{0}}, x_{n_{0}+1}, \ldots, x_{m}, \ldots \} \subset (x_{n_{0}}-2, x_{n_{0}}+2). Esto es, todos los racionales, menos un número finito de ellos se hallan en un entorno de radio 2 del racional x_{0}. Pero esto es absurdo pues sabemos que hay una infinidad de racionales en cualquier intervalo no vacío de la recta real. Así pues, \lim \inf A_{n} = \emptyset. Veamos ahora el caso del límite superior. Si x pertenece a \lim \sup A_{n} entonces se hallará en una infinidad de A_{n}. Por ejemplo,  podemos ver que cualquier x real que cumpla

\frac{1}{n}-1 < x < \frac{1}{n}+1, para todo n,

pertenece a \lim \sup A_{n} pues se halla en una infinidad de conjuntos de la forma (x_{n}-1, x_{n}+1), con x_{n} racional. El lector puede comprobar con la siguiente figura que (0,1) \subset \lim \sup A_{n}.

Imagen

Es fácil ver que “trasladando” esta argumentación podemos “cubrir” toda la recta real. Por ejemplo, si sumamos \frac{1}{2}, resulta

\frac{1}{2}+\frac{1}{n}-1 <x < \frac{1}{2} + \frac{1}{n}+1, para todo n,

Luego es (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \subset \lim \sup A_{n}. Por tanto, \lim \sup A_{n} = \mathbb{R}.

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Un caso de convergencia de series de funciones indicadoras

En el caso de una sucesión de subconjuntos disjuntos (A_{n})_{n} de un conjunto X podemos garantizar la igualdad:

\chi_{\cup_{n=1}^{\infty} A_{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \chi_{A_{n}}.

Debemos demostrar que para cada x \in X, la serie
\sum_{n=1}^{\infty} \chi_{A_{n}}(x).
converge a \chi_{\cup_{n=1}^{\infty} A_{n}}(x). Sabemos que
\chi_{\cup_{n=1}^{\infty} A_{n}}(x) = \sup \{ \chi_{A_{n}}(x) : n \in \mathbb{N} \}.
Si x pertenece a \cup_{n=1}^{\infty} A_{n}, entonces x pertenece a uno y sólo uno de los conjuntos A_{n} (ya que la sucesión es disjunta). Sea x \in A_{r}. Entonces
\chi_{A_{k}}(x) = 0, \quad \text{si} \quad k \neq r,
pero
\chi_{A_{r}}(x) = 1
Por tanto,
\sup \{ \chi_{A_{n}}(x) : n \in \mathbb{N} \}= \sup \{0,1 \} = 1.
Por otro lado,
\sum_{k=1}^{r-1} \chi_{A_{k}} (x) = 0,
mientras que
\sum_{k=1}^{s} \chi_{A_{k}} (x) = 1, \quad \text{si} \quad s \geq r.
En consecuencia,
\sum_{n=1}^{\infty} \chi_{A_{n}} (x) = \lim_{n} \sum_{k=1}^{n}\chi_{A_{k}}(x) = 1.
Para acabar, si x \notin \cup_{n=1}^{\infty} A_{n}, entonces x \notin A_{n} para todo n y de aquí
\sup \{ \chi_{A_{n}}(x) : n \in \mathbb{N} \}= \sup \{0\} = 0,
y también
\sum_{k=1}^{n} \chi_{A_{k}} (x) = 0, \quad \text{para todo} \quad n.
Por ello
\sum_{n=1}^{\infty} \chi_{A_{n}} (x) = \lim_{n} \sum_{k=1}^{n}\chi_{A_{k}}(x) = 0.
Esto termina la demostración.

Diferencia simétrica generalizada

La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \Delta B de los elementos que se hallan sólo en uno de los conjuntos. Más precisamente,

A \Delta B = (A \cup B) - (A \cap B) = (A-B) \cup (B-A).

Diferencia simétrica de dos conjuntos.

Diferencia simétrica de dos conjuntos.

La diferencia simétrica es una operación conmutativa y asociativa. Esto permite generalizarla para un número n de conjuntos. Es decir, tiene sentido la escritura

\Delta_{i=1}^{n} E_{i},

donde E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{n} es una colección de n subconjuntos de un conjunto dado X. Probaremos que \Delta_{i=1}^{n} E_{i} es el conjunto de los elementos de X que se hallan justo en un número impar de conjuntos E_{i}.

Diferencia simétrica de tres conjuntos.

Diferencia simétrica de tres conjuntos.

Hacemos la prueba por inducción sobre n. Para n=1 y n=2 es inmediata por definición de diferencia simétrica. Sea cierto para k \geq 2 y sea x \in \Delta_{i=1}^{k+1} E_{i}. Como

\Delta_{i=1}^{k+1} E_{i} = (\Delta_{i=1}^{k} E_{i}) \Delta E_{k+1},

entonces x \in \Delta_{i=1}^{k} E_{i} y x \notin E_{k+1} o x \notin \Delta_{i=1}^{k} E_{i} y x \in E_{k+1}. En el primer caso, aplicando la inducción, x pertenece a una cantidad impar de conjuntos E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k} y, evidentemente, también a una cantidad impar de conjuntos de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}, E_{k+1} (pues no pertenece a E_{k+1}) y, en el segundo caso x pertenece a E_{k+1} pero puede pertenecer a una cantidad par de conjuntos E_{i} de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}. Si x pertenece sólo a E_{k+1}, entonces es evidente que pertenece a una cantidad impar de conjuntos de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}, E_{k+1} y si pertenece además a una cantidad par de conjuntos E_{i} de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}, es inmediato que pertenecerá a una cantidad impar de conjuntos E_{i} de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}, E_{k+1} (pues añadimos uno más y par más uno es impar). Por tanto,  la diferencia simétrica \Delta_{i=1}^{k+1} E_{i} es el conjunto de los elementos de X que se hallan en un número impar de conjuntos de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}, E_{k+1} y esto termina la demostración.

Referencias:

Wikipedia

Mathematics

Sucesiones disjuntas de conjuntos y convergencia.

Una sucesión (A_{n})_{n} de subconjuntos de un conjunto X, se dice que es convergente si coinciden sus límites inferior y superior. Recordemos que tales límites se pueden definir mediante operaciones conjuntistas:

\lim \inf A_{n} = \cup_{n=1}^{\infty}(\cap_{k=n}^{\infty} A_{k}),

\lim \sup A_{n} = \cap_{n=1}^{\infty}(\cap_{k=n}^{\infty}A_{k}).

 Vamos a probar que cuando la sucesión está formada por conjuntos disjuntos converge y lo hace al conjunto vacío.

Sea (A_{n})_{n} una sucesión disjunta de partes de X. Definimos la sucesión
D_{n} =\cup_{k=n}^{\infty} A_{k}.
Sabemos que esta sucesión D_{n} es decreciente por su misma construcción y que \lim \sup A_{n} = \lim D_{n}= \cap_{n=1}^{\infty} D_{n}. Probaremos que esta intersección es vacía. Supongamos que x \in \cap_{n=1}^{\infty} D_{n}, entonces x \in D_{1} y hallaremos i \geq 1, tal que x \in A_{i}, pero también x \in D_{i+1}, lo que implica que existe A_{j} con j > i para el que x \in A_{j}. Esto contradice el carácter disjunto de la sucesión (A_{n})_{n} y por tanto, la intersección es vacía. Es decir,
\lim \sup A_{n} = \cap_{n=1}^{\infty} D_{n} = \emptyset
Como \lim \inf A_{n} \subset \lim \sup A_{n}, también es \lim \inf A_{n} = \emptyset. Al coincidir límite superior e inferior, la sucesión disjunta es convergente al vacío.

El método de los buenos conjuntos

Como paso previo a la demostración del teorema de las clases monótonas se suele utilizar el resultado de que si \mathcal{R} es un anillo (álgebra) sobre un conjunto X, la clase monótona generada por dicho anillo \mathcal{M}(\mathcal{R}) es también un anillo (álgebra). En la prueba de este enunciado se ejemplifica de manera muy interesante el método llamado de “los buenos conjuntos”.  Veamos la demostración.

Todo anillo contiene al conjunto vacío por lo que \mathcal{M}(\mathcal{R}) es una clase no vacía. Para probar que dicha clase es un anillo utilizaremos el método de los buenos conjuntos. Empezaremos definiendo la clase
\mathcal{U} =\{ A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) : A' \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) \}.
(donde A' designa el complementario de A). Esta clase contiene al anillo \mathcal{R} y si (A_{n})_{n} es una sucesión monótona creciente de elementos de \mathcal{U}, entonces \cup_{n} A_{n} \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), y la sucesión (A'_{n})_{n} será decreciente y estará formada también por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}) por lo que
(\bigcup_{n} A_{n})' = \bigcap_{n} A_{n}' \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
Si consideramos una sucesión decreciente (B_{n})_{n} de elementos de \mathcal{U}, el resultado es análogo. Esto significa que \mathcal{U} es una clase monótona que incluye a \mathcal{R} por lo que \mathcal{U}=\mathcal{M} (\mathcal{R}) y la clase monótona es cerrada para el paso al complementario. Sea la clase
\mathcal{E} = \{ A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) : A \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), \forall B \in \mathcal{R} \}.
Probaremos que es una clase monótona. En primer lugar, \mathcal{R} \subset \mathcal{E}, pues el anillo es cerrado para la unión finita. Sea (A_{n})_{n} una sucesión creciente de elementos de \mathcal{E}. Entonces, \cup_{n} A_{n} pertenece a \mathcal{M}(\mathcal{R}), la sucesión (A_{n} \cup B)_{n}, con B \in \mathcal{R}, está formada por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}) y también es creciente por lo que
\bigcup_{n} (A_{n} \cup B) = (\bigcup_{n} A_{n})\cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
Es decir, \cup_{n} A_{n} \in \mathcal{E}. Para el caso de una sucesión decreciente (B_{n})_{n} de elementos de \mathcal{E}, es \cap_{n} B_{n} un elemento de \mathcal{M}(\mathcal{R}), la sucesión (B_{n} \cup B)_{n}, con B \in \mathcal{R}, también es decreciente y está formada por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}), luego
\bigcap_{n}(B_{n} \cup B) = (\bigcap_{n} B_{n}) \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
En consecuencia, \cap_{n} B_{n} \in \mathcal{E}. Eso prueba que \mathcal{E} es clase monótona y, por su definición, \mathcal{E} = \mathcal{M}(\mathcal{R}). Para acabar, definimos la clase
\mathcal{D} = \{ B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}): A \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), \forall A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) \}.
Entonces, por lo demostrado para la clase \mathcal{E}, se tiene que \mathcal{R} \subset \mathcal{D}. Sólo nos restará probar que es una clase monótona. Sea (B_{n})_{n} una sucesión creciente de elementos de \mathcal{D}. Por definición, \cup_{n} B_{n} \in \mathcal{M}(\mathcal{R}). La sucesión ( A \cup B_{n})_{n}, para A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), será también creciente y además

\bigcup_{n} (B_{n} \cup A) = (\bigcup_{n} B_{n}) \cup A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).

Es decir, \cup_{n} B_{n} \in \mathcal{D}. Para el caso de una sucesión decreciente, la prueba es análoga. Como \mathcal{D} es una clase monótona que contiene a \mathcal{R} y está contenida en \mathcal{M}(\mathcal{R}), concluimos que \mathcal{D} = \mathcal{M}(\mathcal{R}) y \mathcal{M}(\mathcal{R}) es cerrada para la unión. Esto era lo que nos restaba para probar que \mathcal{M}(\mathcal{R}) es un anillo.
En el caso de que el punto de partida sea un álgebra el resultado es análogo pues sólo faltaría comprobar que el conjunto X pertenece a \mathcal{M}(\mathcal{R}). Pero esto es inmediato, pues si \mathcal{R} es un álgebra, entonces X \in \mathcal{R} \subset \mathcal{M}(\mathcal{R}).

Todo abierto de topología usual de la recta real es unión numerable de intervalos abiertos disjuntos

Me he dado cuenta de que este resultado es muy importante en el desarrollo de ciertos problemas por lo que merece una demostración.

Sea A un abierto de la topología usual en \mathbb{R}. Si A es vacío podemos escribir A= (a,a) con a un número real cualquiera y el enunciado se verifica de forma trivial. Sea A no vacío. Es evidente que dado x \in A, existe al menos un \epsilon >0, tal que x \in (x-\epsilon, x+\epsilon) \subset A. Los conjuntos L=\{ a \in \overline{\mathbb{R}} : (a,x) \subset A \}, \quad U =\{b \in \overline{\mathbb{R}} : (x,b) \subset A \} son no vacíos, pues a=x-\epsilon \in L y b=x+\epsilon \in U. Además al considerar que están formados por elementos de la recta ampliada podemos obtener \inf L y \sup U (si L está acotado inferiormente, el valor del ínfimo será real y si no lo está será - \infty. Para el caso de U si está acotado superiormente, el valor será real y si no lo está será +\infty). Con ellos formamos el intervalo abierto I_{x} = (\inf L, \sup U ).

Si suponemos que existe otro intervalo abierto J tal que I_{x} \subset J \subset A, entonces, por definición de I_{x}, habrá de ser I_{x}=J. Se dice entonces que I_{x} es un intervalo componente. Consideremos la colección \{I_{x} : x \in A \} de los intervalos componentes. Es claro que A = \cup_{x \in A} I_{x}. Esta unión es disjunta ya que si x e y son elementos de A y z \in I_{x} \cap I_{y}, entonces
z \in I_{x} \subset I_{x} \cup I_{y} \subset A.
Pero I_{x} \cup I_{y} es un intervalo abierto (al ser su intersección no vacía) y, en consecuencia, I_{x} = I_{x} \cup I_{y}. Análogamente, se prueba que I_{y} = I_{x} \cup I_{y}. Por tanto, I_{x} = I_{y}. Finalmente, consideremos el conjunto \mathbb{Q} de los números racionales en la forma
\mathbb{Q}= \{q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}, \ldots \}
En cada intervalo componente I_{x} de A habrá números racionales. La aplicación f: \{I_{x} : x \in A \} \rightarrow \mathbb{N}, definida por
f(I_{x}) = \min \{n \in \mathbb{N} : q_{n} \in I_{x} \}
es inyectiva, ya que si f(I_{x}) = f(I_{y}) entonces existe un racional q que pertenece a ambos intervalos y al ser éstos disjuntos concluimos que I_{x} = I_{y}. Por tanto,
|\{I_{x} : x \in A \}| \leq |\mathbb{N}|
y la unión es numerable.