Análisis

Dominios de funciones reales de variable real

Recordemos que una función real de variable real es aquella que a cada elemento de un determinado subconjunto no vacío de los reales le hace corresponder un único número real a través de una regla precisa. En general, las reglas se obtienen mediante operaciones y si no tenemos una indicación previa, consideramos como dominio o conjunto de partida al mayor subconjunto para el que tales operaciones con sus elementos dan lugar a números reales. Esto se conoce como la regla del máximo dominio.  A continuación vamos a dar algunos ejemplos de cómo emplear esta regla.

Sea la función f(x) = x si x es racional y f(x) = \frac{1}{x} si x es irracional. Observamos que está bien definida pues todo número real es o bien racional o bien irracional. Así, por ejemplo, f(0)= 0 pues 0 es racional, mientras que f(\sqrt{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} pues \sqrt{3} es irracional. El único problema que se nos puede presentar es la división por cero pero esto no va a tener lugar pues al ser 0 racional, la regla que le aplicamos es la identidad y, en consecuencia, el dominio de f es toda la recta real.

Sea ahora la función g(x) =x si x es irracional y g(x) = \frac{1}{x} si x es racional. En este caso, aplicando el mismo razonamiento que para f vemos con facilidad que el máximo dominio es el conjunto (-\infty, 0) \cup (0, \infty), pues debemos evitar la división por cero.

Consideremos h(x) = \sqrt[4]{x-x^3} si x un racional del intervalo (0,1) y h(x) = 0 si x no pertenece al intervalo (0,1). Este caso precisa de un análisis más detallado. En primer lugar, buscaremos la solución de la inecuación

x-x^3 \geq 0,

pues al utilizar una raíz de índice par debemos exigir que el radicando sea positivo o nulo para obtener números reales.  Descomponemos en factores

x(1-x^2) \geq 0

x(1-x)(1+x) \geq 0.

Por tanto, tenemos que ver el signo del producto de factores en los intervalos (-\infty,-1), (-1,0), (0,1), (1, \infty). La siguiente tabla nos aclara el proceso

tabla1

Así pues, tenemos como solución de la inecuación

(-\infty,-1] \cup [0,1].

Ahora bien, la regla que define h en este caso nos exige que sólo consideremos los racionales del intervalo (0,1).  Por tanto, el dominio de h es

(-\infty,0] \cup [1, \infty) \cup (\mathbb{Q} \cap (0,1)).

Lo que viene a ser el conjunto de todos los número reales que están fuera del intervalo (0,1) junto con los racionales que estén dentro de dicho intervalo.

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Apuntes

El teorema de la altura y su aplicación para dibujar algunos segmentos de longitud irracional

Sabemos que existen números reales que no son racionales. Es decir, números reales que no son expresables en la forma \frac{a}{b} con  a,b \in \mathbb{Z} y b \neq 0. En terminología clásica esto viene a decir que existen segmentos inconmensurables respecto a una unidad dada. Para denotar el conjunto de los números irracionales suele escribirse

\mathbb{R}- \mathbb{Q}

pues la notación \mathbb{I} no es conveniente al no tener el conjunto de tales racionales una estructura algebraica.

Una operación que da lugar “frecuentemente” a números irracionales es la radicación. En particular, sabemos que

Teorema 1: Si n  es un entero positivo que no es un cuadrado perfecto, entonces n^{1/2} es un número irracional.

La demostración de este teorema no es difícil pero exige el conocimiento del teorema fundamental de la aritmética y ciertas propiedades de las ecuaciones. No lo haremos aquí pues no es nuestro objetivo pero prometo hacerlo en otra entrada. Así pues, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, \sqrt{10}, \ldots son números irracionales y como son números reales pueden asignarse a puntos de una recta con origen y unidad dados. Ahora bien, ¿cómo podemos representar tales puntos con regla y compás? Pues existen varias técnicas que usan las propiedades de los triángulos rectángulos. Nosotros vamos a utilizar la propiedad llamada teorema de la altura.

Teorema 2: En todo triángulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional de los catetos.

Vamos a demostrar esta afirmación y para ello utilizaremos las nociones de semejanza y un pequeño dibujo.

teoremaaltura

El triángulo ABC es rectángulo. La altura que se traza sobre la hipotenusa BD tiene longitud h y las proyecciones de los catetos son los segmentos AD y DC de longitudes m y n, respectivamente. Primero probaremos que los triángulos ABD y CBD son rectángulos y semejantes. En efecto, comparten un lado (BD) y tienen los mismos ángulos. Para demostrar esta afirmación, tomamos el triángulo ABC y observamos que el ángulo A es igual a 90-C (pues B es recto y A+B+C = 180). Es decir, en el triángulo ABD el ángulo A es 90-C. Mientras que en el triángulo CBD el ángulo \beta también ha de ser igual a 90-C. Esto prueba que los ángulos correspondientes son iguales. Utilizando la semejanza tenemos que

\frac{h}{m} = \frac{n}{h}.

Esto es, la altura es media proporcional de las proyecciones m y n. Simplificando

h^2 = mn.

Esta última expresión es la que nos va a servir para la representación de números irracionales del tipo expuesto anteriormente. Así, podemos representar con facilidad \sqrt{6} pues podemos escribir

h^2=6=2 \cdot 3,

h = \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 3}.

Lo que nos permite dibujar una circunferencia de diámetro 5=2+3 y obtener la altura \sqrt{6} como muestra el dibujo siguiente:

teoremaaltura2