Archivo de la etiqueta: problemas

Ejercicios resueltos (Carothers) (3)

Imagen

Solución:

5. Supongamos que a > b, entonces tomando \epsilon = \frac{1}{2} (a-b) >0, hallaremos un N \in \mathbb{N} tal que si n \geq N, es

|a_n -a| < \frac{1}{2} (a-b).

Esto es,

\frac{1}{2} (b-a) < a_n -a < \frac{1}{2} (a-b).    (1)

Tomando el lado izquierdo de (1) y sumando a tenemos

\frac{1}{2} (b+a) < a_n, para n \geq N.  (2)

Pero como hemos supuesto que a >b, concluimos que

b = \frac{1}{2}(b+b) <\frac{1}{2} (b+a) < a_n, para n \geq N.

Esto contradice la suposición inicial de que a_n \leq b para todo n y por ello habrá de ser a \leq b. Obsérvese que hemos probado que el límite de la sucesión será siempre menor o igual que cualquier valor que sea mayor o igual que cada uno de sus elementos.

Sea S = \{a_n : n \in \mathbb{N} \} el recorrido de la sucesión. Evidentemente este conjunto es no vacío. Como hemos supuesto que a_n \leq b, para todo entero positivo n, resulta que dicho conjunto está acotado superiormente y el axioma del supremo garantiza la existencia de \sup S. Por definición es

a_n \leq \sup S, para todo n. (3)

Por lo que haciendo b = \sup S (recordemos el primer apartado ya probado), podemos afirmar que

a= \lim_n a_n \leq \sup S.

6.  Sea (a_n) una sucesión convergente de números reales y sea a su límite. Probaremos primero que el conjunto S = \{a_n : n \in \mathbb{N} \} está acotado. Consideramos \epsilon = 1, hallaremos un entero positivo N, de forma que

|a_n -a | < 1, para n \geq N. (4)

Es decir, -1 < a_n -a < 1 y de aquí a-1 < a_n <a+1. Tomando

L= \min (\{ a_n : n < N \} \cup \{ a-1 \}),

U = \max (\{a_n : n < N \} \cup \{a+1\}),

podemos asegurar que L \leq a_n \leq U, para todo entero positivo n. Esto prueba que S está acotado. En el ejercicio anterior demostramos que en este caso

\lim_n a_n \leq \sup S. (5)

Ahora veremos que se da la desigualdad correspondiente para el ínfimo del recorrido de la sucesión. El desarrollo es en todo similar al ya visto para el caso del supremo. Empezamos suponiendo que existe b con b \leq a_n, para todo n y que a es el límite de la sucesión a_n. Si fuera a <b, entonces para \epsilon = \frac{1}{2} (b-a), concluiríamos que existe un entero positivo N para el que si n \geq N, entonces

a_n -a < \frac{1}{2}(b-a).   (6)

Sumamos a a ambos miembros de (5) y vemos que

a_n < \frac{1}{2}(a+b) <\frac{1}{2}(b+b) = b, para n \geq N.

Esto contradice nuestra suposición inicial por lo que a= \lim_n a_n \geq b. En definitiva, si una sucesión convergente tiene su recorrido acotado inferiormente por b entonces el límite de dicha sucesión es mayor que b. Evidentemente, \inf S es una cota inferior del recorrido por lo que

\inf S \leq \lim_n a_n. (7)

Las desigualdades (5) y (7) son las buscadas en este problema.

Anuncios

Ejercicios de Demidovich (6)

Imagen

Solución:

a) Intentamos despejar el valor de x, teniendo en cuenta el subconjunto del plano S para que el que la expresión tiene sentido. De esta manera, como \arccos y está definida para el intervalo [-1,1], tenemos que si (x,y) \in S \subset \mathbb{R} \times [-1,1], entonces de

x^2 - \arccos y = \pi,

tenemos que

\arccos y = x^2 - \pi,

y = \cos (x^2 -\pi) = -\cos (x^2), con x \in \mathbb{R}, (recordemos que \cos (a -\pi) = - \cos a).

b) Esta expresión exponencial puede simplificarse mediante

10^y = 10-10^x,

y = \log(10-10^x).

Pero hemos de tener en cuenta que 10 -10^x >0, esto es -10^x > -10, o bien 10^x < 10, de donde x<1.

c) Aquí hemos de tener en cuenta la definición de valor absoluto. Por tanto, si y \geq 0, resulta

x+y = 2y,

x-y = 0,

y=x, x \geq 0.

Mientras que si y <0, es

x-y = 2y,

x-3y = 0,

y = \frac{1}{3} x, x <0.

Ejercicios de Carothers (2)

Imagen

Solución:

2. (a). Como A está acotado y es no vacío esto significa que existen L, S, números reales tales que L \leq x \leq S para todo x \in A. Por tanto, el axioma del supremo nos garantiza la existencia de una cota superior mínima y una cota inferior máxima que notaremos como \sup A e \inf A, respectivamente y que, por definición cumplen

-\infty <L \leq \inf A \leq x \leq \sup A \leq S < +\infty, para todo x \in A. (1)

Ahora bien, existen al menos dos elementos en A. Sean estos x,y con x \neq y. El orden total implica que x <y o y<x. En el primer caso, vemos por (1) que

-\infty < \inf A \leq x <y \leq \sup A < +\infty. (2)

Si y<x,  la desigualdad es análoga y en todo caso permite concluir que

-\infty < \inf A < \sup A < +\infty.

(b).  Sea B \subset A con B \neq \emptyset. Si x \in B, entonces x \in A por lo que

x \leq \sup A. (3)

Esto significa que \sup A es una cota superior de B y B está acotado superiormente por lo que existe \sup B y será \sup B \leq \sup A. Del mismo modo, si x \in B, entonces x \in A y concluimos que

\inf A \leq x. (4)

Es decir, B está acotado inferiormente. Como en el caso anterior podemos garantizar la existencia de una cota superior máxima (ínfimo) para B, que verifica \inf A \leq \inf B. Teniendo en cuenta estos resultados concluimos que

\inf A \leq \inf B \leq \sup B \leq \sup A.

(c) Sea ahora B el conjunto de todas las cotas superiores de A. Como A está acotado superiormente podemos garantizar que B es no vacío pues contiene al menos un elemento. Además, por definición de supremo, existe un valor s \in B, que es comparable con todos los elementos x de B y verifica s \leq x. Esto significa que s es el mínimo de B. Ahora bien, si existe mínimo en un conjunto este mínimo es igual al ínfimo de dicho conjunto pues, evidentemente, resultará ser una cota inferior máxima. En símbolos.

\sup A = \min B = \inf B.

3.  Sea A un subconjunto no vacío de \mathbb{R} y supongamos que está acotado superiormente. Sea s = \sup A.  Entonces, (i) s es una cota superior de A ya que por definición el supremo es la menor de las cotas superiores de dicho conjunto. (ii) Supongamos que existe \epsilon >0 tal que para todo a \in A es a \leq s-\epsilon. Entonces como s- \epsilon < s, concluiríamos que a \leq s-\epsilon < s para todo a \in A,  y s no sería la cota superior mínima. Para evitar esta contradicción esto no es posible y para todo \epsilon >0 podremos hallar al menos un a \in A de forma que a > s -\epsilon.

Supongamos que s es una cota superior de A que cumple la condición anterior: para todo \epsilon >0 podremos hallar al menos un a \in A de forma que a > s -\epsilon. Probaremos que s = \sup A. En efecto, si x es una cota superior de A, entonces para todo a \in A es a \leq x, lo que combinado con la desigualdad anterior nos dice que para todo \epsilon >0 es

x > s- \epsilon. (5)

Por tanto, x \geq s y concluimos que s es comparable con todas las cotas superiores de A y resulta menor que todas ellos. Es decir, s = \sup A.  La prueba para el caso del ínfimo es similar y se deja a cargo del lector.

4. Sea A un subconjunto no vacío y acotado superiormente de la recta real. Sea \sup A la menor de sus cotas superiores. Consideremos para cada entero positivo n el valor \epsilon = \frac{1}{n} >0. Entonces, existe para cada n un elemento x_n \in A tal que

\sup A >x_n > \sup A - \frac{1}{n}. (6)

Esto es consecuencia de la definición alternativa de supremo que hemos dado en el ejercicio 3. Ahora restamos \sup A a ambos miembros de (6), le “damos la vuelta” y tenemos

- \frac{1}{n} < x_n - \sup A < 0 < \frac{1}{n}. (7)

Pero esto significa que

| x_n - \sup A| < \frac{1}{n}. (8)

Es decir, \lim x_n = \sup A.

Ejercicios de Demidovich (5)

Imagen

a) Esta función está definida en toda la recta real y su recorrido también es toda la recta real. Además es inyectiva por lo que tiene inversa y resulta simplemente de intercambiar las variables y despejar:

y = 2x+3,

x = 2y+3,

y = \frac{1}{2} (x-3).

b) Esta es una función cuadrática y su dominio es todo \mathbb{R}. Sin embargo, su recorrido es el intervalo [-1, +\infty[. Además no es inyectiva. Por tanto, no tiene inversa general. Ahora bien, podemos considerar una partición de su dominio de manera que en cada uno de los conjuntos de dicha partición la función sea inyectiva.

Imagen

El gráfico anterior nos muestra que los intervalos ] -\infty, 0], ]0, +\infty[ son los mejores candidatos para la partición del dominio. Así pues, la restricción de y=x^2-1 al intervalo ]-\infty, 0] es inyectiva y podemos plantear el mismo proceso de cambio de letras y posterior simplificación:

y= x^2-1,

x= y^2-1,

y= \sqrt{x+1}.

Pero, ¿qué valor tomamos de la raíz? ¿Positivo? ¿Negativo? Es claro que para obtener los valores del intervalo negativo la raíz ha de ser negativa. Por tanto,

y= -\sqrt{x+1}.

Análogamente, para el intervalo ]0, +\infty[, la inversa es y=+ \sqrt{x+1}.

c) Esta función es inyectiva en todo su dominio (que es la recta real). Por tanto,

y= \sqrt[3]{1-x^3},

x = \sqrt[3]{1-y^3},

x^3 = 1-y^3,

y = \sqrt[3]{1-x^3}.

Esta función es su propia inversa. Aquí puedes ver su gráfica.

d) La función logaritmo decimal tiene por dominio el conjunto de los números estrictamente positivos y su recorrido es toda la recta real. Por tanto, ha de ser \frac{x}{2} >0. Esto es x >0. Además en su dominio es inyectiva y tendrá inversa. Seguimos el mismo proceso que en apartados anteriores:

y= \log (\frac{x}{2}),

x = \log (\frac{y}{2}),

10^x = \frac{y}{2},

y= 2 \cdot 10^x.

e) La función arco tangente es la inversa de la función tangente en el intervalo ] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[. En particular, su dominio es toda la recta real y su recorrido el intervalo anterior. Obviamente, la inversa de la función arco tangente será la función tangente.

y= \arctan 3x,

x = \arctan 3y,

\tan x = 3y,

y = \frac{1}{3} \tan x.

Su dominio, como hemos precisado anteriormente, es el intervalo ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[.

Ejercicios de Demidovich (2)

Seguimos con problemas del texto de Demidovich:

Imagen

10. Es fácil ver que la función

g(x) = \frac{|x|+x}{2}

verifica g =f. En efecto, los dominios de ambas son iguales (toda la recta real) y si x > 0, entonces

f(x) = x = \frac{x+x}{2} =\frac{|x|+x}{2} = g(x),

y si x \leq 0, entonces

f(x) = 0 = \frac{x-x}{2} = \frac{x+|x|}{2} = g(x).

En consecuencia, f(x) = g(x) para todo x \in \mathbb{R}.

11. a) Debemos exigir que x+1 \geq 0. Por tanto, x \geq -1 y el dominio de esta función es el intervalo [-1 \infty). El apartado b) es muy diferente. Al ser una raíz cúbica, el radicando puede adoptar cualquier valor real y el dominio es todo \mathbb{R}.

12. El denominador de esta función no puede anularse, por lo que resolvemos la ecuación 4-x^2 = 0 y obtenemos las soluciones x = -2,2. El dominio es entonces, el conjunto (-\infty, -2) \cup (-2,2) \cup (2, \infty), o lo que es lo mismo \mathbb{R} - \{-2,2\}.

13. a) Como en 11, exigimos que x^2-2 \geq 0. Esta inecuación es de segundo grado y debemos estudiarla recurriendo a la ecuación correspondiente x^2-2 = 0, cuyas soluciones son x = -\sqrt{2}, \sqrt{2}. La obtención de las soluciones permite factorizar x^2-2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) y la inecuación queda como (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \geq 0. Es decir, ambos factores han de ser del mismo signo. Esto se puede estudiar cómodamente viendo el signo de cada factor en los intervalos determinados por las raíces: (-\infty, -\sqrt{2}), (-\sqrt{2}, \sqrt{2}), (\sqrt{2}, +\infty). Si hacemos esto vemos que en los intervalos (-\infty, -\sqrt{2}) y (\sqrt{2}, +\infty) el producto de ambos factores es positivo. En consecuencia, el dominio es la unión (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, +\infty), pues también admitimos que el producto sea nulo. Una forma equivalente de llegar al mismo resultado es observar la gráfica de y=x^2-2, la cual es una parábola que da valores positivos precisamente en los intervalos señalados:

Imagen

El apartado b) es análogo.

14. Debemos resolver la inecuación 2+x-x^2 \geq 0. El procedimiento a seguir es el mismo que en 13.

15. Aquí la solución viene de la intersección de los dominios de las funciones y_1 = \sqrt{-x} e y_2 = \frac{1}{\sqrt{2+x}}. En definitiva, resolvemos el sistema:

-x \geq 0,

2+x >0.

Esto es fácil, tenemos que la solución de la primera inecuación es x \leq 0 y la de la segunda x >-2. Por tanto, el dominio buscado es (-\infty, 0] \cap (-2, \infty) = (-2,0].