Lectura 5. De los contenidos a las premedidas (2)

Continuamos con las ideas esbozadas en la lectura 4. Sea (A_n) una sucesión de partes de un conjunto dado \Omega, decimos que es creciente si

A_n \subset A_{n+1}, n=1,2, \ldots.

Si verifica

A_{n+1} \subset A_n, n=1,2, \ldots,

decimos que es una sucesión decreciente. Las sucesiones crecientes y decrecientes tienen límites (esto es coinciden en ellas sus límites superior e inferior) siendo

\lim_n A_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n

el límite de la sucesión creciente y

\lim_n A_n = \cap_{n=1}^{\infty} A_n

el límite de la sucesión decreciente. Sea \mathcal{A} un anillo y \mu un contenido en dicho anillo. Decimos que \mu es

(i) semicontinua por abajo, si para toda sucesión creciente (A_n) de elementos del anillo tal que \lim_n A_n \in \mathcal{A}, se cumple que \lim_n \mu(A_n) = \mu (\lim_n A_n).

(ii) semicontinua por arriba, si para toda sucesión decreciente (B_n) de elementos del anillo tal que para algún p \in \mathbb{N} es \mu(A_p) < \infty y \lim_n B_n \in \mathcal{A}, se cumple que \lim_n \mu(B_n) = \mu(\lim_n B_n).

(iii) \emptyset-continua, si es semicontinua por arriba para toda sucesión decreciente con límite igual al conjunto vacío.

Estamos en condiciones de demostrar el siguiente resultado.

Sea \mathcal{R} un anillo y sea \mu un contenido sobre dicho anillo. Son equivalentes:
(a) \mu es \sigma-aditiva.
(b) \mu es semicontinua por abajo.
Demostración: (a) implica (b).Sea (A_n) una sucesión creciente de elementos del anillo cuyo límite \lim_n A_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n pertenece al anillo. Si para algún p \in \mathbb{N} es \mu(A_p) = + \infty, entonces el carácter monótono de \mu nos lleva a afirmar que
+\infty =\mu(A_q) \leq \mu(A_n) para todo n \geq q,
+\infty =\mu(A_q) \leq \mu(\cup_{n=1}^{\infty} A_n).
En consecuencia,
+\infty = \lim_n \mu(A_n),
+\infty = \mu(\cup_{n=1}^{\infty} A_n) = \mu (\lim_n A_n).
Es decir, \lim_n \mu(A_n) = \mu (\lim_n A_n).
Si suponemos que \mu(A_n) < + \infty para todo n, entonces podemos considerar la sucesión
B_1 = A_1, B_n = A_n - A_{n-1}, n \geq 2.
Dicha sucesión está formada por elementos del anillo y como (A_n) es creciente resulta que son disjuntos dos a dos y verifican
B_n \subset A_n, para todo n,
\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n.
Sólo resta recordar la propiedad sustractiva (\mu(A-B) = \mu(A)-\mu(B), para B \subset A y \mu(A)<+\infty) y la aditividad numerable para obtener
\mu(\lim_n A_n) = \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n) = \mu(\biguplus_{n=1}^{+\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n) = \mu(B_1)+ \lim_n \sum_{k=2}^{n} \mu(B_n)= \mu(A_1)+ \lim_n \sum_{k=2}^{n} \mu (A_n - A_{n-1}) = \mu(A_1) + \lim_n \sum_{k=2}^{n} \mu(A_n)-\mu(A_{n-1}) =\mu(A_1)-\mu(A_1)+ \lim_n \mu(A_n) = \lim_n \mu(A_n).
En conclusión \mu es semicontinua por abajo.
(b) implica (a). Sean ahora B_1, B_2, \ldots, elementos de \mathcal{R}, disjuntos dos a dos, cuya unión pertenece a dicho anillo. Definimos una nueva sucesión mediante
A_n = \biguplus_{k=1}^{n} B_k.
Es evidente que los elementos de (A_n) pertenecen al anillo y que la sucesión es creciente. Por tanto,
\mu(\lim_n A_n) = \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n) = \mu(\biguplus_{n=1}^{\infty}B_n) = \lim_n \mu(A_n) = \lim_n \mu(\biguplus_{k=1}^{n} B_k) = \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n).
Esto prueba que \mu es una premedida y termina la demostración.

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Lectura 4. De los contenidos a las premedidas (1)

Consideremos un semianillo \mathcal{A} y sea \mu una premedida sobre el anillo. Veremos que se trata de un contenido. En efecto, recordemos que todo semianillo contiene al conjunto vacío por lo que si A,B son elementos de \mathcal{A}, disjuntos y con A \cup B \in \mathcal{A}, entonces podemos formar una sucesión B_n de elementos del semianillo mediante:

B_1 = A, B_2=B, B_n = \emptyset, n \geq 3.

Obviamente esta sucesión está formada por conjuntos disjuntos y es

\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = A \cup B.

Aplicando la aditividad numerable resulta

\mu(A \cup B) =\mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n) = \lim_{n} \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) = \mu(A)+\mu(B).

Por tanto, toda premedida en un anillo es un contenido y por ello será monótona y finitamente subaditiva. Sin embargo, no todo contenido es una premedida y en la lectura anterior vimos una condición suficiente para que esto ocurra. Ahora trataremos de dar condiciones más fuertes y para ello nuestra estructura de soporte serán los anillos.

Sea \mathcal{R} un anillo y sea \mu un contenido (medida finita) sobre dicho anillo. Entonces son equivalentes

(a) \mu es \sigma-aditiva.

(b) \mu es numerablemente subaditiva.

Demostración: (a) implica (b). Supongamos que \mu es \sigma-aditiva y sea (A_n) una sucesión de elementos del anillo \mathcal{R}, definimos una nueva sucesión mediante

B_1 = A_1, B_n = A_n - \cup_{h=1}^{n-1} A_k, n \geq 2.

Como \mathcal{R} es un anillo, la sucesión (B_n) está formada por elementos de dicho anillo que por su construcción son disjuntos dos a dos y verifican

B_n \subset A_n, ,  n=1,2, \ldots,

\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n.

Por tanto, aplicando la monotonía de toda premedida es

\mu (\cup_{n=1}^{\infty} A_n) = \mu (\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu (B_n) = \lim_{n} \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) \leq \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu(A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Esto prueba que toda premedida es numerablemente subaditiva.

(b)  implica (a). Sabemos que todo contenido sobre un anillo verifica

\mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n) \geq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Si el contenido fuera numerablemente subaditivo entonces se daría la desigualdad recíproca y concluiríamos la igualdad. Esto termina la demostración.

Los resultados más interesantes precisan de las nociones de sucesión de conjuntos y de límites de dichas sucesiones. Veremos estos detalles en la siguiente lectura.

Lectura 1. Funciones de conjunto, contenidos, premedidas y medidas

Consideremos un conjunto no vacío \Omega  y sea \mathcal{A} una clase no vacía de partes de \Omega. Toda aplicación

f: \mathcal{A} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}

se denomina función de conjunto. Recordemos que \overline{\mathbb{R}} es la recta real ampliada. En general, nos van a interesar funciones de conjunto no negativas. Esto es, funciones de conjunto cuyos valores sean mayores o iguales que cero. Sea pues,

\mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,+\infty]

una función de conjunto no negativa, diremos que \mu es

  • monótona, si para todos A,B \in \mathcal{A}, tales que A \subset B, es \mu(A) \leq \mu(B),
  • finitamente aditiva (o aditiva), si para cualquier colección A_1, A_2, \ldots, A_n, de elementos de \mathcal{A}, disjuntos dos a dos y tales que \biguplus_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A} es \mu (\biguplus_{i=1}^{n} A_i) = \sum_{i=1}^{n} \mu (A_i),
  • numerablemente aditiva (\sigma-aditiva), si para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de elementos de \mathcal{A}, disjuntos dos a dos y tales que \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A}, se tiene que \mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n),
  • finitamente subaditiva, si para cualquier colección A_1, A_2, \ldots, A_n, de elementos de \mathcal{A} con \cup_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A}, es \mu ( \cup_{i=1}^{n} A_i) \leq \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i),
  • numerablemente subaditiva, si para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de elementos de \mathcal{A}, tales que \cup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A} es \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n )\leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Obsérvese que salvo la condición de monotonía, el resto de condiciones exige el cierre para las uniones (unas veces finitas y otras infinito numerables). Como sabemos, la estructura de anillo de conjuntos es la adecuada para garantizar al menos el cierre para la unión finita. Por ello resultaría natural exigir que la clase a la que se aplica la función de conjunto no negativa sea al menos un anillo. En muchos textos se hace así pero si queremos una mayor generalidad podemos usar la estructura de semianillo.  Además, también es conveniente exigir que la función de conjunto definida sobre el semianillo verifique \mu (\emptyset) = 0 (recordemos que el vacío es elemento de todo semianillo). Así pues, si \mathcal{A} es un semianillo sobre \Omega, diremos que una función de conjunto \mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,+\infty] , es

  • un contenido, si \mu es finitamente aditiva,
  • una premedida, si \mu es numerablemente aditiva,
  • una medida, si \mu es una premedida y \mathcal{A} es una \sigma-álgebra (o un \sigma-anillo),
  • una medida de probabilidad, si \mu es una medida sobre una \sigma-álgebra y \mu(\Omega) = 1.