Análisis, Consultorio

Consultorio: Una desigualdad a demostrar (III)

Como último detalle relativo a la desigualdad que estamos tratando vamos a probar precisamente la desigualdad de las medias aritmética y geométrica (AM-GM para abreviar).

Supongamos que dados n números positivos a_1, a_2, \ldots, a_n es A_n = \frac{ \sum_{i=1}^{n} a_i}{n} su media aritmética. Hemos visto que se cumple

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n

para todo n \geq 2. Reiterando esta desigualdad

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n \geq A_{n-2}^{n-2} a_{n-1} a_n \geq \ldots \geq A_{1}^{1} a_2 \ldots a_{n-1} a_{n}.

Ahora bien, A_1 = a_1 por lo que queda

A_{n}^{n} \geq a_1 a_2 \ldots a_{n-1} a_n,

A_{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_{n-1} a_n}.

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Análisis, Consultorio

Consultorio: Una desigualdad a demostrar (II)

Vamos a demostrar la desigualdad de la entrada anterior:

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n,

utilizando la desigualdad de la media aritmética y geométrica. Esto es, utilizando el hecho de que si a_1, a_2, \ldots, a_n son n números reales positivos, entonces

\frac{ a_1+ a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{ a_1 a_2 \cdots a_n}.

Como hemos visto antes, podemos escribir

A_n =\frac{a_1+ a_2 + \ldots +a _n}{n} = \frac{ (n-1) A_{n-1} + a_n}{n}.

Por lo que si aplicamos la desigualdad de la medias aritmética y geométrica a los n términos

A_{n-1}, \ldots A_{n-1},  (n-1 veces),

a_n,

tenemos

A_n = \frac{(n-1) A_{n-1} + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{A_{n-1}^{n-1} a_n}

luego

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n.