Leyendo el texto “Elements of Abstract Anaylisis” ( Mícheál Ó Seracóid, Ed. Springer Verlag) me he encontrado con una definición de grupo totalmente ordenado equivalente a la dada en anteriores entradas de esta bitácora. Cito la definición tal como aparece en el texto:
Vamos a comentar esta definición pero antes daremos unos conceptos sobre orden.
Una relación binaria sobre un conjunto
, se dice que es un orden estricto si es antireflexiva y transitiva. Es decir, si para cada
es
y para cada
, si
, entonces
. Escribimos entonces
en lugar de
y la definición anterior queda una forma más familiar:
a) Para todo ,
.
b) Para todos , si
e
, entonces
.
Todo orden estricto cumple la antisimetría y que si e
, entonces por b) sería
. Pero esto contradice a) por lo que o bien se cumple una de las dos desigualdades anteriores o ninguna.
A partir de un orden estricto siempre se puede obtener un orden parcial. Basta añadir la diagonal de a la relación. Es decir, si
es un orden estricto en dicho conjunto,
es un orden parcial.
Consideremos ahora un grupo abeliano y una partición de
en tres subconjuntos:
, de forma que
es un semigrupo. Esto significa que
i) .
ii) .
iii) .
Definimos una relación en mediante
, si y sólo si
. Esta relación es un orden estricto conexo. En efecto, sean
. Como
, se sigue que
y la relación es antireflexiva. Si
e
, tenemos que
por lo que
, lo que prueba que $x \prec z$ y la relación es transitiva. Para acabar, la diferencia
es un elemento de
por lo sólo puede ser nula, pertenecer a
o a
, siendo estas posibilidades mutuamente excluyentes. En el primer caso,
. En el segundo,
y en el tercero
y
. Por tanto, todos los elementos de
son comparables en esta relación.
Para acabar, bastará añadir a este orden estricto conexo los elementos para obtener un orden total
. Este orden total conserva la operación del grupo. Sean
y supongamos que
. Entonces
o
. En el primer caso,
, por lo que
y en el segundo trivialmente
y también
.