Leyendo el texto “Elements of Abstract Anaylisis” ( Mícheál Ó Seracóid, Ed. Springer Verlag) me he encontrado con una definición de grupo totalmente ordenado equivalente a la dada en anteriores entradas de esta bitácora. Cito la definición tal como aparece en el texto:
Vamos a comentar esta definición pero antes daremos unos conceptos sobre orden.
Una relación binaria 
sobre un conjunto 
, se dice que es un orden estricto si es antireflexiva y transitiva. Es decir, si para cada 
es 
y para cada 
, si 
, entonces 
. Escribimos entonces 
en lugar de y la definición anterior queda una forma más familiar:
a) Para todo , 
.
b) Para todos , si 
e 
, entonces 
.
Todo orden estricto cumple la antisimetría y que si e 
, entonces por b) sería 
. Pero esto contradice a) por lo que o bien se cumple una de las dos desigualdades anteriores o ninguna.
A partir de un orden estricto siempre se puede obtener un orden parcial. Basta añadir la diagonal de a la relación. Es decir, si es un orden estricto en dicho conjunto, 
es un orden parcial.
Consideremos ahora un grupo abeliano 
y una partición de 
en tres subconjuntos: 
, de forma que 
es un semigrupo. Esto significa que
i) 
.
ii) 
.
iii) 
.
Definimos una relación en mediante , si y sólo si 
. Esta relación es un orden estricto conexo. En efecto, sean 
. Como 
, se sigue que y la relación es antireflexiva. Si e , tenemos que 
por lo que 
, lo que prueba que $x \prec z$ y la relación es transitiva. Para acabar, la diferencia 
es un elemento de por lo sólo puede ser nula, pertenecer a 
o a 
, siendo estas posibilidades mutuamente excluyentes. En el primer caso, 
. En el segundo, y en el tercero 
y . Por tanto, todos los elementos de son comparables en esta relación.
Para acabar, bastará añadir a este orden estricto conexo los elementos 
para obtener un orden total 
. Este orden total conserva la operación del grupo. Sean y supongamos que 
. Entonces 
o . En el primer caso, 
, por lo que 
y en el segundo trivialmente 
y también .
