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Demostrando desigualdades con geometría simple

Captura1

La anterior figura se ha tomado del texto “When Less is More. Visualizing Basic Inequalities” de Claudi Alsina y Roger B. Nelsen y ejemplifica de manera extraordinaria cómo se relacionan la geometría y el cálculo. Justamente dicho texto nos da algunas interesantes demostraciones de desigualdades clásicas utilizando la representación de números reales mediante segmentos de una línea y los siguientes principios:

  1. El principio de inclusión. Cuando un segmento es subconjunto de otro entonces éste es mayor.
  2. El principio geodésico. En el plano euclídeo el camino de menor longitud que une dos puntos es el segmento de recta que tiene a uno como principio y al otro como extremo.
  3. La comparación Pitagórica. En cualquier triángulo el lado opuesto al mayor ángulo es el mayor lado.
  4. La desigualdad del triángulo. En cualquier triángulo la suma de dos de sus lados es mayor que el lado restante.
  5. Comparación de gráficos de funciones. Si el gráfico de y=f(x) yace por encima del gráfico de y=g(x) en un intervalo I, entonces para cada x de dicho intervalo, el segmento que uno (x,f(x)) y (x,g(x)) es positivo, lo que establece que f(x) \geq g(x).

Vamos a utilizar estos principios para demostrar una curiosa desigualdad (el lector interesado puede encontrar el desarrollo más conciso en el texto mencionado). Probaremos que si a,b son números positivos, entonces
\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq \frac{a+b}{\sqrt{2}}.
Vamos a usar la siguiente figura:

grafico1

La longitud del segmento AB es \sqrt{a^2+b^2}, la longitud del segmento BC es también \sqrt{a^2+b^2} mientras que la longitud del segmento AC es \sqrt{ (a+b)^2 + (a+b)^2}. Como vemos en la figura, la longitud del segmento AC es menor que la de la suma de los segmentos AB y BC (principio geodésico), luego

\sqrt{2} (a+b) \leq 2 \sqrt{a^2+b^2}.

Por otro lado, usando el principio 4 (desigualdad del triángulo), es (a+b)+(a+b) \geq 2 \sqrt{a^2+b^2}, quedando

\sqrt{2} (a+b) \leq 2 \sqrt{a^2 + b^2} \leq 2(a+b).

Si multiplicamos todos los miembros de la desigualdad por \frac{1}{2 \sqrt{2}}, obtenemos

\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq \frac{a+b}{\sqrt{2}}.

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El teorema de la altura y su aplicación para dibujar algunos segmentos de longitud irracional

Sabemos que existen números reales que no son racionales. Es decir, números reales que no son expresables en la forma \frac{a}{b} con  a,b \in \mathbb{Z} y b \neq 0. En terminología clásica esto viene a decir que existen segmentos inconmensurables respecto a una unidad dada. Para denotar el conjunto de los números irracionales suele escribirse

\mathbb{R}- \mathbb{Q}

pues la notación \mathbb{I} no es conveniente al no tener el conjunto de tales racionales una estructura algebraica.

Una operación que da lugar “frecuentemente” a números irracionales es la radicación. En particular, sabemos que

Teorema 1: Si n  es un entero positivo que no es un cuadrado perfecto, entonces n^{1/2} es un número irracional.

La demostración de este teorema no es difícil pero exige el conocimiento del teorema fundamental de la aritmética y ciertas propiedades de las ecuaciones. No lo haremos aquí pues no es nuestro objetivo pero prometo hacerlo en otra entrada. Así pues, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, \sqrt{10}, \ldots son números irracionales y como son números reales pueden asignarse a puntos de una recta con origen y unidad dados. Ahora bien, ¿cómo podemos representar tales puntos con regla y compás? Pues existen varias técnicas que usan las propiedades de los triángulos rectángulos. Nosotros vamos a utilizar la propiedad llamada teorema de la altura.

Teorema 2: En todo triángulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional de los catetos.

Vamos a demostrar esta afirmación y para ello utilizaremos las nociones de semejanza y un pequeño dibujo.

teoremaaltura

El triángulo ABC es rectángulo. La altura que se traza sobre la hipotenusa BD tiene longitud h y las proyecciones de los catetos son los segmentos AD y DC de longitudes m y n, respectivamente. Primero probaremos que los triángulos ABD y CBD son rectángulos y semejantes. En efecto, comparten un lado (BD) y tienen los mismos ángulos. Para demostrar esta afirmación, tomamos el triángulo ABC y observamos que el ángulo A es igual a 90-C (pues B es recto y A+B+C = 180). Es decir, en el triángulo ABD el ángulo A es 90-C. Mientras que en el triángulo CBD el ángulo \beta también ha de ser igual a 90-C. Esto prueba que los ángulos correspondientes son iguales. Utilizando la semejanza tenemos que

\frac{h}{m} = \frac{n}{h}.

Esto es, la altura es media proporcional de las proyecciones m y n. Simplificando

h^2 = mn.

Esta última expresión es la que nos va a servir para la representación de números irracionales del tipo expuesto anteriormente. Así, podemos representar con facilidad \sqrt{6} pues podemos escribir

h^2=6=2 \cdot 3,

h = \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 3}.

Lo que nos permite dibujar una circunferencia de diámetro 5=2+3 y obtener la altura \sqrt{6} como muestra el dibujo siguiente:

teoremaaltura2