Bases de Filtro (1)

Sea X un conjunto no vacío y sea \mathcal{P}(X) el conjunto de todas sus partes (subconjuntos). Una clase no vacía \mathcal{H} de partes de X es una familia fundamental sobre X si para para cualesquiera A y B pertenecientes a \mathcal{H} existe al menos un elemento C de \mathcal{H} tal que C \subset A \cap B, siendo C no vacío si la intersección es no vacía.
Es decir, una familia fundamental se caracteriza porque la intersección de dos cualesquiera de sus elementos contiene a otro de sus elementos y si tal intersección es no vacía, entonces el elemento de la familia contenido en la intersección es también no vacío. Obsérvese que si \mathcal{H} es una familia fundamental que no contiene al vacío, entonces \mathcal{H} \cup \{\emptyset \} es también una familia fundamental. En efecto, ahora las intersecciones vacías se obtienen de la forma A \cap B, donde A o B o ambos son vacíos y, obviamente, el vacío está incluido en dicha intersección.

Un tipo especialmente importante de familia fundamental es la base de filtro. Una familia fundamental sobre X es una base de filtro sobre X si no contiene al vacío. Si \mathcal{H} es una base de filtro sobre X, entonces es claro que la intersección de dos cualesquiera de sus elementos ha de contener a un tercero de ellos no vacío. Por tanto, la intersección de elementos de la familia no es nunca vacía.

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