Números perfectos

Recordemos que los números perfectos fueron definidos por Euclides como aquellos que son iguales a la suma de todos sus divisores propios, es decir, iguales a la suma de todos sus divisores diferentes de él mismo. Por ejemplo, 6 es un número perfecto puesto que 6=1+2+3. Existen otros números pefectos como 28, 496, 8128. 33550336, etc. Los cuatro primeros números perfectos (6, 28, 496 y 8128) se conocían en la antigüedad clásica (Nicómaco de Gerasa los incluyó en su “Introductio Arithmeticae”) y los restantes se han ido descubriendo a lo largo de la historia (algunos muy recientemente). Todavía no se sabe si hay infinitos de ellos. Fue también Euclides quien dio una condición suficiente para que un número par sea perfecto. Veamos cómo lo hizo. Consideremos un número entero de la forma
N = p 2^{a}
donde p es primo y a es un entero positivo. ¿Cómo son los divisores de este número? Pues se obtienen mediante los diferentes productos de los divisores de cada factor. Es decir,
1, 2, 2^{2}, \cdots, 2^{a-1}, 2^{a}, p, 2p, 2^{2} p, \cdots, 2^{a-1} p, 2^{a} p
Si quitamos el último de ellos (para tener sólo los menores que N) y los sumamos, obtenemos

S = (1+2+2^{2} + \cdots + 2^{a} ) + (p +2p + \cdots + p 2^{a-1}) = (2^{a+1} -1) + p (2^{a} -1)

Si N fuera perfecto, entonces N = S . Es decir,

p 2^{a} = (2^{a+1} -1)+ p(2^{a} -1)
de donde simplificando concluimos que
p = 2^{a+1} -1
Esto significa que p es un primo de Mersenne. En definitiva, si suponemos que N es perfecto ha de tener la forma
N = (2^{a+1}-1) 2^{a}
siendo (2^{a+1}-1) primo (observe el lector que N es par). Tenemos ya una condición necesaria para que un número par sea número perfecto. Parece ser que se conocía también que esta condición era suficiente aunque Euclides no la dejo establecida. Fue el gran matemático Euler quien nos dio la interesante demostración que pasamos a explicar.
Sea N un número par. Es claro que 2 es uno de los factores primos de N. En particular, podemos factorizar N en la forma
N = 2^{n} u
donde n es un entero positivo y u es impar. Los divisores de N se obtienen como antes y de ellos sólo podemos concluir que la suma de todos es
S=(2^{n+1}-1) U
donde U es la suma de los divisores de u (¿por qué? se preguntará el lector). Si suponemos que N es perfecto, entonces 2N = S, ya que hemos incluido ahora a N entre sus divisores. Así pues,

(2^{n+1} -1) U = 2^{n+1} u
Operando esta expresión vemos que

2^{n+1} (U-u) = u
Meditemos sobre esta última igualdad. Resulta que U-u es la suma de todos los divisores de u menos u mismo y que resulta que al multiplicar esta suma por una potencia no nula de 2 se obtiene el valor u. Es claro que esto significa que U-u es un divisor de u. Pero esto resulta absurdo a menos que U-u sea igual a la unidad ya que ¿cómo puede ser un divisor de u y al mismo tiempo la suma de todos los divisores de u menos u mismo?. Por tanto, si U-u=1 se concluye que u es primo y
N = p 2^{n}
pero esto significa que al ser N perfecto (ver demostración anterior) debe escribirse como
N = (2^{n+1} -1) 2^{n}
Hemos probado entonces que todo número perfecto par es de esta manera y sólo de esta manera. Todavía no se sabe si existen números perfectos impares pero sí algo de las características que deberían tener en caso de existir (serían muy grandes).

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