La diferencia de conjuntos (3)

Vamos a dar algunas propiedades más de la diferencia de conjuntos. En primer lugar, tenemos que si A,B y C son subconjuntos de X, entonces

(5) (A \cup B)- C = (A-C) \cup (B-C).

Para probar esta afirmación volvemos a usar la relación A-B = A \cap B', donde B' representa el complementario de B. Así pues,

(A \cup B)-C = (A \cup B) \cap C' = (A \cap C') \cup (B \cap C') =

(A-C) \cup (B-C).

Tenemos también que

(6) (A \cap B) -C =(A-C) \cap (B-C).

Para probar esto necesitamos algo más de inventiva. Así vemos que

(A \cap B)-C = (A \cap B) \cap C' = A \cap B \cap C' \cap C' =

(A \cap C') \cap (B \cap C') = (A-C) \cap (B-C).

Ahora consideremos familias de conjuntos: (A_i)_{i \in I}, (B_j)_{j \in J}. En particular,

(7) (\cup_{i \in I} A_i) - B= \cup_{i \in I} (A_i - B),

(8)  (\cap_{i \in I} A_i) - B =\cap_{i \in I} (A_i - B).

Vamos a probar la primera de estas igualdades

(\cup_{i \in I} A_i)-B = (\cup_{i \in I} A_i) \cap B' =

\cup_{i \in I} (A_i \cap B') = \cup_{i \in I} (A_i -B).

La demostración de (8) es análoga. Para terminar, planteamos las operaciones

(9) \cup_{i \in I} A_i - \cup_{j \in J} B_j

(10) \cap_{i \in I} A_i - \cap_{j \in J} B_j

y sugerimos al lector que las desarrolle a la luz de lo visto en estas entradas.

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