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Estructuras algebraicas (Anillos)

Consideremos un conjunto no vacío A, dotado de dos operaciones que convenimos en llamar suma y producto y en simbolizarlas como tales, aunque su naturaleza no sea la de las operaciones aritméticas usuales. Decimos que A es un anillo si respecto a la suma es un grupo conmutativo, respecto al producto es un semigrupo y el producto es distributivo respecto a la suma por ambos lados. Es decir, si para cualesquiera x,y,z \in A es

(x+y)+z = x+(y+z) ,

x+y=y+x , y también

x(yz) = (xy)z ;

existe un elemento 0 \in A tal que

x+0 = 0+x = x para todo x \in A;

dado x \in A siempre es posible hallar y \in A tal que

x+y = y+x = 0 ,

y finalmente se cumple que

x(y+z) = xy+xz y (x+y)z = xz + yz .

En cualquier anillo se precisa de la existencia de un cero (neutro aditivo). Por tanto, si tomamos un conjunto unitario A = \{a \} y definimos en él dos operaciones como a+ a = a y a a = a , tendremos trivialmente un anillo donde el único elemento ( a) hace el papel del cero. Un ejemplo más interesante de anillo es el de los números enteros \mathbb{Z}= \{ \cdots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 , \cdots \} con la suma y el producto aritméticos. Dentro de los anillos podemos aplicar las reglas de cálculo habituales. Por ejemplo, si A es un anillo y  x, y, z son elementos de dicho anillo, tenemos

(x -y ) z = xz -yz

Entendiendo que -y representa al opuesto de y . La demostración de esta última desigualdad resulta clarificadora pues nos muestra los procesos sutiles con los que hemos de trabajar en álgebra abstracta. En efecto, tomamos (x-y) z + y z y aplicamos la propiedad distributiva del producto respecto a la suma, la propiedad asociativa de la suma y la existencia de neutro aditivo, para obtener

(x-y) z + y z  = ((x-y) + y) z = (x+ (-y+y))z = (x+0) z = xz

Ahora sólo restaría sumar a ambos miembros el opuesto de yz para llegar a la igualdad pedida

(x-y) z + y z -yz = xz -yz

(x-y)z = xz -yz

El lector observará el especial cuidado con el que se han de usar las propiedades establecidas en el anillo y, sobre todo, cómo ha de evitarse la tentación de “abreviar” inspirándose en la familiaridad de los símbolos.

Si un anillo A tiene elemento neutro para el producto se llama anillo unitario. Dicho neutro multiplicativo se suele notar como 1_{A} , o simplemente 1 si no hay confusión. Para evitar trivialidades supondremos que en un anillo unitario hay al menos dos elementos diferentes: el uno y el cero.  Cuando el producto es conmutativo decimos que el anillo es conmutativo. La teoría de anillos es una rama del álgebra de profundas y extensas implicaciones. En próximas entradas intentaremos mostrar algunas ideas más sobre esta estructura.

Referencias:

Wikipedia (castellano)

Anillos y Cuerpos Conmutativos, José M. Gamboa, Jesús M. Ruíz, Cuadernos de la Uned

Wikipedia (inglés)

Álgebra, Roger Godement, Ed. Tecnos

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