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El principio arquimediano y sus equivalencias

En el cuerpo de los números reales sabemos que se verifica el principio arquimediano. Esto es, que dados x,y, números reales positivos, existe al menos un entero n para el que y< nx. La prueba de este hecho suele derivarse del axioma del supremo. También se suele utilizar el principio arquimediano para probar que el conjunto de los racionales es denso en los reales. En esta entrada vamos a partir del contexto más general de un cuerpo ordenado cualquiera y vamos a demostrar que el principio arquimediano es en realidad equivalente a la densidad de los racionales, los cuales se hallan presentes en dicho cuerpo mediante el isomorfismo natural.

Teorema: Sea K un cuerpo conmutativo totalmente ordenado. Son equivalentes

(a) Para todo x \in K, existe un entero positivo n \in K, tal que x <n.

(b) Para todos x,y de K, con y>0, podemos hallar un entero positivo n \in K que verifica x <ny.

(c) Para todo \epsilon >0, existe un entero positivo n \in K, tal que \frac{1}{n} < \epsilon.

(d) El conjunto de los racionales de K es denso en K.

Demostración. (a) implica (b). Como y>0, concluimos que existe y^{-1} >0 por lo que tomando xy^{-1} y aplicando (a) vemos que existe un entero positivo n que cumple

xy^{-1} <n.

Multiplicando ambos miembros por y llegamos a x <ny. El lector debe observar que esta desigualdad es equivalente a la que hemos dado para el caso de los números reales.

(b) implica (c). Sean x=1 e y= \epsilon>0. En virtud de (b), existe n \in K para el que

1 <n \epsilon.

Es decir, \frac{1}{ \epsilon} <n.

(c) implica (d). Este apartado es el más complicado de probar. Hemos de concluir que para todo x<y existe un racional z \in K, de forma que x<z<y. Vamos a analizar cuatro casos:

(1) Si es x <0 <y. La conclusión es inmediata haciendo z = 0.

(2) Si es 0< x <y, tomamos \epsilon = y-x >0 y aplicando (c) existe al menos un entero positivo n \in K para el que \frac{1}{n} < y-x. El valor \frac{1}{ny} es también positivo y aplicando de nuevo (c), hallamos p, entero positivo, que cumple \frac{1}{p} < \frac{1}{ny}, o lo que es lo mismo y < \frac{p}{n}. Por tanto, el conjunto

A= \{ p \in \mathbb{N} : y \leq \frac{p}{n} \}

es no vacío. Aplicando la buena ordenación de los naturales hallaremos un mínimo q para el conjunto A. Dicho mínimo será positivo (pues y>0 y permite afirmar que

z=\frac{q-1}{n} <y,

ya que q-1 \notin A. Finalmente de

x =y-(y-x) < \frac{q}{n} -\frac{1}{n} = \frac{q-1}{n},

vemos que x < \frac{q-1}{n} <y y este cociente de enteros es el racional z buscado.

(3) Si es x <y <0, entonces 0<-y <-x y aplicamos (2), con la salvedad de que si 0<-y<z<-x, entonces x<-z<y<0.

(4). Supongamos que x=0<y. Aplicando (c) deducimos que para \epsilon =y existe n, entero positivo, que cumple x=0< \frac{1}{n} <y. Esto significa que el racional buscado es z = \frac{1}{n}. Si es x<y=0, entonces 0=y<-x y aplicamos lo mismo,

(d) implica (a). Sea x \in K. Si x <1, trivialmente basta tomar n=1 y no hay nada que probar. Supongamos que x>1. Entonces \frac{1}{x} >0 y como los racionales de K son densos en K, hallamos \frac{m}{n}, de manera que

0<\frac{m}{n} < \frac{1}{x}.

Obviamente es mx = x+x+ \ldots +x \quad (m \quad \text{veces})> x,  pues x>0. En consecuencia,

0<x <mx = \frac{m}{n} nx <\frac{1}{x} nx = n.

Esto termina la demostración.

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Cuerpos ordenados

Sabemos que un cuerpo conmutativo (K,+, ) no es más que un anillo unitario y conmutativo donde todo elemento diferente del cero aditivo tiene inverso multiplicativo. Por ello, la estructura de cuerpo totalmente ordenado se obtiene considerándolo como un anillo totalmente ordenado. Esto es, se considera una 4-tupla

(K,+, , P),

donde (K,+, ) es un cuerpo conmutativo, P un subconjunto de K, tal que (P, -P, \{0\}) es una partición de K, (P,+) un semigrupo y (P, ) un magma. Como ya demostramos en la entrada relativa a anillos ordenados, todo cuerpo ordenado, al ser un anillo unitario y conmutativo ordenado, tiene característica cero. También vimos una serie de propiedades que verificaban las desigualdades. Las completaremos con una serie de nuevas desigualdades y llegaremos a la conclusión de que el orden en el cuerpo es denso y dicho cuerpo es infinito.

Sean x,y,a,b elementos del cuerpo ordenado K. Entonces si \leq es el orden total de dicho cuerpo,

a)Las desigualdades x \leq y y a \leq b, implican x+a \leq y+b.
b) Si es x > 0, entonces x^{-1} \geq 0.
c) Si se cumple 0 < x \leq y, entonces 0 < y^{-1} \leq x^{-1}.
d) Si tenemos x \leq y < 0, entonces y^{-1} \leq x^{-1}.

a) Como y-x \in P \cup \{0\} y también b-a \in P \cup \{0\}, resulta que su suma

(y-x)+(b-a) = (y+b)-(x+a)

es un elemento de P \cup \{0\}, lo que nos permite afirmar que x+a \leq y+b.

b) Si x > 0  y suponemos que x^{-1} <0, resultaría que x x^{-1} = 1 <0. Pero sabemos que en todo anillo unitario y conmutativo ordenado es 1 >0. Para evitar esta contradicción, es x^{-1} >0.

c) Supongamos que es x^{-1} < y^{-1}. Entonces multiplicando ambos miembros por x>0, resulta

xx^{-1} < y^{-1} x,

es decir, 1 < y^{-1} x. Volviendo a multiplicar por y >0 ambos miembros

y < (y^{-1} x)y,

expresión que, en virtud de la asociatividad y conmutatividad del producto viene a dar

y <x.

Pero esto contradice nuestra suposición inicial . Por tanto,

0 < y^{-1} \leq x^{-1}.

d) La prueba es análoga a la de c).

Recordemos ahora que un orden \leq es denso en un conjunto X si para todos a,b \in X, tales que a \leq b y a \neq b, existe un c \in X, con c \neq a,b, tal que a \leq c \leq b. Es decir, que si tenemos dos elementos, uno mayor que el otro, entre ellos hay un tercero que es mayor que el menor y menor que el mayor.  Para probar que todo cuerpo ordenado tiene un orden denso primero probaremos que todo cuerpo ordenado es infinito y para ello usaremos la idea de aplicación que preserva el orden. 

Definición: Sean (A, \leq) y (B, \preceq) conjuntos ordenados. Una aplicación

\phi : A \rightarrow B

se dice que preserva el orden si a \leq a' implica \phi(a) \preceq \phi(a'), para todos a, a' \in A.

Cuando los conjuntos A y B tienen además estructura algebraica podemos considerar homomorfismos que preserven el orden. Esto es, aplicaciones que además de conservar las operaciones también conserven el orden.

Teorema: Todo cuerpo ordenado contiene un subanillo isomorfo al anillo de los enteros \mathbb{Z}.

Demostración: Sea 1 el neutro multiplicativo del cuerpo K, definimos para cada entero n \in \mathbb{Z}, el elemento

1+1+ \ldots+1 (n veces), si n >0,

0 si n=0

-(1+1+ \ldots +1) (-n) veces, si n<0.

Comprobaremos que esta asignación determina una aplicación f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{K} que conserva las operaciones y el orden y además resulta inyectiva. En efecto, la definición es correcta ya que sólo es posible asignar un elemento del cuerpo a cada entero. Además, sean n,m enteros, trivialmente comprobamos que f(n+m)=f(n)+f(m) y también f(nm) = f(n)f(m). Para acabar si n <m, entonces f(n) < f(m).
Esta última propiedad nos muestra además que f es inyectiva pues si n \neq m, entonces en virtud del orden total definido en los enteros, será n < m o m <n, luego las imágenes f(n) y f(m) tienen la misma relación que sus originales y no son iguales.

Por tanto, existe en todo cuerpo ordenado un subconjunto infinito y así todo cuerpo ordenado es infinito (aunque no precisemos de qué tipo). Ahora veremos que el orden es denso.

Teorema: Todo cuerpo ordenado tiene un orden denso.

Demostración: Sean a,b elementos del cuerpo ordenado K  con a < b, entonces

a+a < a+b < b+b,

2a < a+b < b+b,

(donde utilizamos x+x = 1x+1x = (1+1)x = 2x, siendo 2 el elemento correspondiente al entero 2 en el isomorfismo de orden anterior). Como 2> 0, entonces

a <2^{-1} (a+b) < b.

Esto prueba que el orden es denso.