Lectura 5. De los contenidos a las premedidas (2)

Continuamos con las ideas esbozadas en la lectura 4. Sea (A_n) una sucesión de partes de un conjunto dado \Omega, decimos que es creciente si

A_n \subset A_{n+1}, n=1,2, \ldots.

Si verifica

A_{n+1} \subset A_n, n=1,2, \ldots,

decimos que es una sucesión decreciente. Las sucesiones crecientes y decrecientes tienen límites (esto es coinciden en ellas sus límites superior e inferior) siendo

\lim_n A_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n

el límite de la sucesión creciente y

\lim_n A_n = \cap_{n=1}^{\infty} A_n

el límite de la sucesión decreciente. Sea \mathcal{A} un anillo y \mu un contenido en dicho anillo. Decimos que \mu es

(i) semicontinua por abajo, si para toda sucesión creciente (A_n) de elementos del anillo tal que \lim_n A_n \in \mathcal{A}, se cumple que \lim_n \mu(A_n) = \mu (\lim_n A_n).

(ii) semicontinua por arriba, si para toda sucesión decreciente (B_n) de elementos del anillo tal que para algún p \in \mathbb{N} es \mu(A_p) < \infty y \lim_n B_n \in \mathcal{A}, se cumple que \lim_n \mu(B_n) = \mu(\lim_n B_n).

(iii) \emptyset-continua, si es semicontinua por arriba para toda sucesión decreciente con límite igual al conjunto vacío.

Estamos en condiciones de demostrar el siguiente resultado.

Sea \mathcal{R} un anillo y sea \mu un contenido sobre dicho anillo. Son equivalentes:
(a) \mu es \sigma-aditiva.
(b) \mu es semicontinua por abajo.
Demostración: (a) implica (b).Sea (A_n) una sucesión creciente de elementos del anillo cuyo límite \lim_n A_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n pertenece al anillo. Si para algún p \in \mathbb{N} es \mu(A_p) = + \infty, entonces el carácter monótono de \mu nos lleva a afirmar que
+\infty =\mu(A_q) \leq \mu(A_n) para todo n \geq q,
+\infty =\mu(A_q) \leq \mu(\cup_{n=1}^{\infty} A_n).
En consecuencia,
+\infty = \lim_n \mu(A_n),
+\infty = \mu(\cup_{n=1}^{\infty} A_n) = \mu (\lim_n A_n).
Es decir, \lim_n \mu(A_n) = \mu (\lim_n A_n).
Si suponemos que \mu(A_n) < + \infty para todo n, entonces podemos considerar la sucesión
B_1 = A_1, B_n = A_n - A_{n-1}, n \geq 2.
Dicha sucesión está formada por elementos del anillo y como (A_n) es creciente resulta que son disjuntos dos a dos y verifican
B_n \subset A_n, para todo n,
\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n = \cup_{n=1}^{\infty} A_n.
Sólo resta recordar la propiedad sustractiva (\mu(A-B) = \mu(A)-\mu(B), para B \subset A y \mu(A)<+\infty) y la aditividad numerable para obtener
\mu(\lim_n A_n) = \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n) = \mu(\biguplus_{n=1}^{+\infty} B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n) = \mu(B_1)+ \lim_n \sum_{k=2}^{n} \mu(B_n)= \mu(A_1)+ \lim_n \sum_{k=2}^{n} \mu (A_n - A_{n-1}) = \mu(A_1) + \lim_n \sum_{k=2}^{n} \mu(A_n)-\mu(A_{n-1}) =\mu(A_1)-\mu(A_1)+ \lim_n \mu(A_n) = \lim_n \mu(A_n).
En conclusión \mu es semicontinua por abajo.
(b) implica (a). Sean ahora B_1, B_2, \ldots, elementos de \mathcal{R}, disjuntos dos a dos, cuya unión pertenece a dicho anillo. Definimos una nueva sucesión mediante
A_n = \biguplus_{k=1}^{n} B_k.
Es evidente que los elementos de (A_n) pertenecen al anillo y que la sucesión es creciente. Por tanto,
\mu(\lim_n A_n) = \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n) = \mu(\biguplus_{n=1}^{\infty}B_n) = \lim_n \mu(A_n) = \lim_n \mu(\biguplus_{k=1}^{n} B_k) = \lim_n \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(B_n).
Esto prueba que \mu es una premedida y termina la demostración.

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